En álgebra conmutativa y geometría algebraica , teoría de la eliminación es el nombre clásico de los enfoques algorítmicos para eliminar algunas variables entre polinomios de varias variables, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .
La teoría de la eliminación clásica culminó con el trabajo de Francis Macaulay sobre las resultantes multivariadas , como se describe en el capítulo sobre la teoría de la eliminación en las primeras ediciones (1930) de Moderne Algebra de Bartel van der Waerden . Después de eso, la mayoría de los geómetras algebraicos ignoraron la teoría de la eliminación durante casi treinta años, hasta la introducción de nuevos métodos para resolver ecuaciones polinómicas, como las bases de Gröbner , que eran necesarias para el álgebra informática .
El campo de la teoría de la eliminación fue motivado por la necesidad de métodos para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .
Uno de los primeros resultados fue el teorema de Bézout , que limita el número de soluciones (en el caso de dos polinomios en dos variables en tiempo de Bézout).
Excepto por el teorema de Bézout, el enfoque general fue eliminar variables para reducir el problema a una sola ecuación en una variable.
El caso de las ecuaciones lineales se resolvió completamente mediante la eliminación gaussiana , donde el antiguo método de la regla de Cramer no procede por eliminación y funciona sólo cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. En el siglo XIX, esto se extendió a las ecuaciones diofánticas lineales y al grupo abeliano con la forma normal de Hermite y la forma normal de Smith .
Antes del siglo XX, se introdujeron diferentes tipos de eliminantes , incluidas las resultantes , y varios tipos de discriminantes . En general, estos eliminantes también son invariantes ante diversos cambios de variables y también son fundamentales en la teoría invariante .
Todos estos conceptos son efectivos, en el sentido de que sus definiciones incluyen un método de cálculo. Alrededor de 1890, David Hilbert introdujo métodos no efectivos, y esto fue visto como una revolución, que llevó a la mayoría de los geómetras algebraicos de la primera mitad del siglo XX a intentar "eliminar la eliminación". Sin embargo , se puede considerar que el Nullstellensatz de Hilbert pertenece a la teoría de la eliminación, ya que afirma que un sistema de ecuaciones polinómicas no tiene solución si y sólo si se pueden eliminar todas las incógnitas para obtener la ecuación constante 1 = 0.
La teoría de la eliminación culminó con el trabajo de Leopold Kronecker , y finalmente Macaulay , quienes introdujeron las resultantes multivariadas y las U-resultantes , proporcionando métodos de eliminación completos para sistemas de ecuaciones polinómicas, que se describen en el capítulo sobre Teoría de la eliminación en las primeras ediciones (1930) de Álgebra moderna de van der Waerden .
Más tarde, la teoría de la eliminación se consideró anticuada y se eliminó de ediciones posteriores de Moderne Algebra . Fue generalmente ignorado hasta la introducción de las computadoras , y más específicamente del álgebra informática , que nuevamente hizo relevante el diseño de algoritmos de eliminación eficientes, en lugar de la mera existencia y resultados estructurales. Los principales métodos para esta renovación de la teoría de la eliminación son las bases de Gröbner y la descomposición algebraica cilíndrica , introducidas alrededor de 1970.
También hay una faceta lógica en la teoría de la eliminación, como se ve en el problema de satisfacibilidad booleana . En el peor de los casos, presumiblemente es difícil eliminar variables computacionalmente. Eliminación de cuantificador es un término utilizado en lógica matemática para explicar que, en algunas teorías, toda fórmula equivale a una fórmula sin cuantificador. Este es el caso de la teoría de polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado , donde la teoría de la eliminación puede verse como la teoría de los métodos para hacer que la eliminación de cuantificadores sea algorítmicamente efectiva. La eliminación de cuantificadores sobre los reales es otro ejemplo, fundamental en geometría algebraica computacional .