Flujo

Cualquier efecto que parece pasar a través de una superficie o sustancia.

El flujo describe cualquier efecto que parece pasar o viajar (ya sea que realmente se mueva o no) a través de una superficie o sustancia. El flujo es un concepto de matemáticas aplicadas y cálculo vectorial que tiene muchas aplicaciones en la física . Para los fenómenos de transporte , el flujo es una cantidad vectorial que describe la magnitud y dirección del flujo de una sustancia o propiedad. En cálculo vectorial, el flujo es una cantidad escalar , definida como la integral de superficie de la componente perpendicular de un campo vectorial sobre una superficie. ^[1]

Terminología

La palabra flujo proviene del latín : fluxus significa "fluir" y fluere es "fluir". ^[2] Como fluxión , este término fue introducido en el cálculo diferencial por Isaac Newton .

El concepto de flujo de calor fue un aporte clave de Joseph Fourier , en el análisis de los fenómenos de transferencia de calor. ^[3] Su tratado fundamental Théorie analytique de la chaleur ( La teoría analítica del calor ), ^[4] define la fluxión como una cantidad central y procede a derivar las ahora bien conocidas expresiones de flujo en términos de diferencias de temperatura a través de una losa, y luego, de manera más general, en términos de gradientes de temperatura o diferenciales de temperatura, entre otras geometrías. Se podría argumentar, basándose en el trabajo de James Clerk Maxwell , ^[5] que la definición de transporte precede a la definición de flujo utilizada en electromagnetismo . La cita específica de Maxwell es:

En el caso de los flujos, debemos tomar la integral, sobre una superficie, del flujo que pasa por cada elemento de la superficie. El resultado de esta operación se llama integral de superficie del flujo. Representa la cantidad que pasa por la superficie.

—James  Clerk Maxwell

Según la definición de transporte, el flujo puede ser un único vector o puede ser un campo vectorial/función de posición. En el último caso, el fundente se puede integrar fácilmente sobre una superficie. Por el contrario, según la definición de electromagnetismo, el flujo es la integral sobre una superficie; No tiene sentido integrar un flujo de segunda definición, ya que sería integrar dos veces sobre una superficie. Por lo tanto, la cita de Maxwell sólo tiene sentido si se utiliza "flujo" de acuerdo con la definición de transporte (y además es un campo vectorial en lugar de un vector único). Esto es irónico porque Maxwell fue uno de los principales desarrolladores de lo que ahora llamamos "flujo eléctrico" y "flujo magnético" según la definición de electromagnetismo. Sus nombres de acuerdo con la cita (y la definición de transporte) serían "integral de superficie de flujo eléctrico" e "integral de superficie de flujo magnético", en cuyo caso "flujo eléctrico" se definiría como "campo eléctrico" y "flujo magnético". "definido como "campo magnético". Esto implica que Maxwell concibió estos campos como flujos de algún tipo.

Dado un flujo según la definición de electromagnetismo, la densidad de flujo correspondiente , si se usa ese término, se refiere a su derivada a lo largo de la superficie que fue integrada. Según el teorema fundamental del cálculo , la densidad de flujo correspondiente es un flujo según la definición de transporte. Dada una corriente como la corriente eléctrica (carga por tiempo), la densidad de corriente también sería un flujo según la definición de transporte: carga por tiempo por área. Debido a las definiciones contradictorias de flujo y la intercambiabilidad de flujo , flujo y corriente en inglés no técnico, todos los términos utilizados en este párrafo a veces se usan de manera intercambiable y ambigua. Los fundentes de hormigón en el resto de este artículo se utilizarán de acuerdo con su amplia aceptación en la literatura, independientemente de a qué definición de fundente corresponda el término.

Flujo como caudal por unidad de área

En los fenómenos de transporte ( transferencia de calor , transferencia de masa y dinámica de fluidos ), el flujo se define como la tasa de flujo de una propiedad por unidad de área, que tiene las dimensiones [cantidad]·[tiempo] ⁻¹ ·[área] ⁻¹ . ^[6] El área es la superficie por la que la propiedad fluye "a través" o "a través". Por ejemplo, la cantidad de agua que fluye a través de una sección transversal de un río cada segundo dividida por el área de esa sección transversal, o la cantidad de energía solar que cae sobre una porción de tierra cada segundo dividida por el área de la porción, son tipos de flujo.

Definición matemática general (transporte)

Las líneas de campo de un campo vectorial F a través de superficies con unidad normal n , el ángulo de n a F es θ . El flujo es una medida de la cantidad de campo que pasa a través de una superficie determinada. F se descompone en componentes perpendiculares (⊥) y paralelas (‖) a n . Sólo la componente paralela contribuye al flujo porque es la extensión máxima del campo que pasa a través de la superficie en un punto; la componente perpendicular no contribuye.
Arriba: Tres líneas de campo que pasan por una superficie plana, una normal a la superficie, una paralela y una intermedia.
Abajo: Línea de campo a través de una superficie curva , que muestra la configuración de la unidad normal y el elemento de superficie para calcular el flujo.

Para calcular el flujo de un campo vectorial F (flechas rojas) a través de una superficie S , la superficie se divide en pequeños parches dS . El flujo a través de cada parche es igual al componente normal (perpendicular) del campo, el producto escalar de F ( x ) con el vector normal unitario n ( x ) (flechas azules) en el punto x multiplicado por el área dS . La suma de F · n , dS para cada parche en la superficie es el flujo a través de la superficie

Aquí hay 3 definiciones en orden creciente de complejidad. Cada uno es un caso especial de los siguientes. En todos los casos, el símbolo frecuente j , (o J ) se utiliza para flujo, q para la cantidad física que fluye, t para tiempo y A para área. Estos identificadores se escribirán en negrita cuando y sólo cuando sean vectores.

Primero, el flujo como un escalar (único):

$${\displaystyle j={\frac {I}{A}},}$$

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.}$$

A.

En segundo lugar, el flujo como un campo escalar definido a lo largo de una superficie, es decir, una función de puntos sobre la superficie:

$${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$

$${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

qpAqAp

Finalmente, el flujo como campo vectorial :

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$

$${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$

qIabuso de notación ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Propiedades

Estas definiciones directas, especialmente la última, son bastante difíciles de manejar. Por ejemplo, la construcción arg max es artificial desde la perspectiva de mediciones empíricas, cuando con una veleta o similar se puede deducir fácilmente la dirección del flujo en un punto. En lugar de definir directamente el flujo vectorial, suele ser más intuitivo enunciar algunas propiedades al respecto. Además, a partir de estas propiedades se puede determinar de todos modos el flujo de forma inequívoca.

Si el flujo j pasa a través del área formando un ángulo θ con respecto al área normal , entonces el producto escalar ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .}$$

jθjθ , pero en realidad noa travésúnico

Para el flujo vectorial, la integral de superficie de j sobre una superficie S da el flujo adecuado por unidad de tiempo a través de la superficie:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,}$$

Aárea vectorialAvector unitario ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Finalmente, podemos integrar nuevamente durante el tiempo t ₁ a t ₂ , obteniendo la cantidad total de la propiedad que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂  −  t ₁ ):

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.}$$

Flujos de transporte

Ocho de las formas más comunes de flujo de la literatura sobre fenómenos de transporte se definen de la siguiente manera:

1. Flujo de momento , la tasa de transferencia de impulso a través de una unidad de área (N·s·m ⁻² ·s ⁻¹ ). ( Ley de viscosidad de Newton ) ^[7]
2. Flujo de calor , la tasa de flujo de calor a través de una unidad de área (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). ( Ley de conducción de Fourier ) ^[8] (Esta definición de flujo de calor se ajusta a la definición original de Maxwell). ^[5]
3. Flujo de difusión , la velocidad de movimiento de las moléculas a través de una unidad de área (mol · m ⁻² · s ⁻¹ ). ( Ley de difusión de Fick ) ^[7]
4. Flujo volumétrico , tasa de flujo volumétrico a través de una unidad de área (m ³ · m ⁻² · s ⁻¹ ). ( Ley de Darcy del flujo de aguas subterráneas )
5. Flujo de masa , la tasa de flujo de masa a través de una unidad de área (kg · m ⁻² · s ⁻¹ ). (O una forma alternativa de la ley de Fick que incluye la masa molecular, o una forma alternativa de la ley de Darcy que incluye la densidad).
6. Flujo radiativo , la cantidad de energía transferida en forma de fotones a una cierta distancia de la fuente por unidad de área por segundo (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). Utilizado en astronomía para determinar la magnitud y clase espectral de una estrella. También actúa como una generalización del flujo de calor, que es igual al flujo radiativo cuando se restringe al espectro electromagnético.
7. Flujo de energía , la tasa de transferencia de energía a través de una unidad de área (J·m ⁻² ·s ⁻¹ ). El flujo radiativo y el flujo de calor son casos específicos de flujo de energía.
8. Flujo de partículas, la tasa de transferencia de partículas a través de una unidad de área ([número de partículas] m ⁻² ·s ⁻¹ )

Estos flujos son vectores en cada punto del espacio y tienen una magnitud y dirección definidas. Además, se puede tomar la divergencia de cualquiera de estos flujos para determinar la tasa de acumulación de la cantidad en un volumen de control alrededor de un punto determinado en el espacio. Para un flujo incompresible , la divergencia del flujo volumétrico es cero.

Difusión química

Como se mencionó anteriormente, el flujo molar químico de un componente A en un sistema isobárico isotérmico se define en la ley de difusión de Fick como:

$${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

símbolo nablade gradienteD _AB²⁻¹c _Aconcentraciónmol^3[9]

Este flujo tiene unidades de mol · m ⁻² · s ⁻¹ y se ajusta a la definición original de flujo de Maxwell. ^[5]

Para gases diluidos, la teoría cinética molecular relaciona el coeficiente de difusión D con la densidad de partículas n = N / V , la masa molecular m , la sección transversal de colisión y la temperatura absoluta T mediante ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

camino libre medioconstante de Boltzmann kvelocidad media

En flujos turbulentos, el transporte por movimiento de remolinos se puede expresar como un coeficiente de difusión muy aumentado.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las partículas de masa m en el estado cuántico ψ ( r , t ) tienen una densidad de probabilidad definida como

$${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.}$$

elemento de volumen³ r

$${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .}$$

sección transversal

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right).}$$

^[10][11]

Flujo como integral de superficie

Definición matemática general (integral de superficie)

El flujo visualizado. Los anillos muestran los límites de la superficie. Las flechas rojas representan el flujo de cargas, partículas fluidas, partículas subatómicas, fotones, etc. El número de flechas que pasan por cada anillo es el flujo.

Como concepto matemático, el flujo está representado por la integral de superficie de un campo vectorial , ^[12]

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A}$

donde F es un campo vectorial y d A es el área vectorial de la superficie A , dirigida como la normal a la superficie . Para el segundo, n es el vector unitario normal a la superficie que apunta hacia afuera.

La superficie tiene que ser orientable , es decir, que se puedan distinguir dos lados: la superficie no se pliega sobre sí misma. Además, la superficie tiene que estar realmente orientada, es decir, utilizamos una convención en cuanto a fluir en qué dirección se cuenta positiva; El flujo hacia atrás se cuenta entonces como negativo.

La normal a la superficie suele estar dirigida por la regla de la mano derecha .

Por el contrario, se puede considerar el flujo como la cantidad más fundamental y llamar al campo vectorial densidad de flujo.

A menudo, un campo vectorial se dibuja mediante curvas (líneas de campo) que siguen el "flujo"; la magnitud del campo vectorial es entonces la densidad de líneas y el flujo a través de una superficie es el número de líneas. Las líneas se originan en áreas de divergencia positiva (fuentes) y terminan en áreas de divergencia negativa (sumideros).

Vea también la imagen de la derecha: el número de flechas rojas que pasan a través de una unidad de área es la densidad de flujo, la curva que rodea las flechas rojas denota el límite de la superficie y la orientación de las flechas con respecto a la superficie denota el signo de el producto interno del campo vectorial con las normales de la superficie.

Si la superficie encierra una región 3D, normalmente la superficie se orienta de manera que la afluencia se cuente como positiva; lo contrario es la salida .

El teorema de divergencia establece que el flujo neto de salida a través de una superficie cerrada, en otras palabras, el flujo neto de salida desde una región 3D, se encuentra sumando el flujo neto local de cada punto de la región (que se expresa mediante la divergencia ).

Si la superficie no está cerrada, tiene como límite una curva orientada. El teorema de Stokes establece que el flujo de la curvatura de un campo vectorial es la integral de línea del campo vectorial sobre este límite. Esta integral de trayectoria también se llama circulación , especialmente en dinámica de fluidos. Por tanto, el rizo es la densidad de circulación.

Podemos aplicar el flujo y estos teoremas a muchas disciplinas en las que vemos corrientes, fuerzas, etc., aplicadas a través de áreas.

Electromagnetismo

Flujo eléctrico

Una "carga" eléctrica, como un solo protón en el espacio, tiene una magnitud definida en culombios. Tal carga tiene un campo eléctrico que la rodea. En forma gráfica, el campo eléctrico de una carga puntual positiva se puede visualizar como un punto que irradia líneas de campo eléctrico (a veces también llamadas "líneas de fuerza"). Conceptualmente, se puede considerar el flujo eléctrico como "el número de líneas de campo" que pasan por un área determinada. Matemáticamente, el flujo eléctrico es la integral de la componente normal del campo eléctrico en un área determinada. Por lo tanto, las unidades de flujo eléctrico son, en el sistema MKS , newtons por culombio multiplicado por metros cuadrados, o N m ² /C. (La densidad de flujo eléctrico es el flujo eléctrico por unidad de área y es una medida de la intensidad del componente normal del campo eléctrico promediada sobre el área de integración. Sus unidades son N/C, igual que el campo eléctrico en unidades MKS. )

Se utilizan dos formas de flujo eléctrico , una para el campo E : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

y uno para el campo D (llamado desplazamiento eléctrico ):

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

Esta cantidad surge en la ley de Gauss , que establece que el flujo del campo eléctrico E fuera de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica Q _A encerrada en la superficie (independientemente de cómo se distribuya esa carga), la forma integral es:

${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$

donde ε ₀ es la permitividad del espacio libre .

Si se considera el flujo del vector de campo eléctrico, E , para un tubo cerca de una carga puntual en el campo de la carga pero que no la contiene con lados formados por líneas tangentes al campo, el flujo para los lados es cero y hay un flujo igual y opuesto en ambos extremos del tubo. Esto es una consecuencia de la ley de Gauss aplicada a un campo cuadrado inverso. El flujo para cualquier superficie transversal del tubo será el mismo. El flujo total para cualquier superficie que rodee una carga q es q / ε ₀ . ^[15]

En el espacio libre, el desplazamiento eléctrico viene dado por la relación constitutiva D = ε ₀ E , por lo que para cualquier superficie delimitadora el flujo del campo D es igual a la carga Q _A dentro de ella. Aquí la expresión "flujo de" indica una operación matemática y, como puede verse, el resultado no es necesariamente un "flujo", ya que en realidad nada fluye a lo largo de líneas de campo eléctrico.

Flujo magnético

La densidad de flujo magnético ( campo magnético ) que tiene la unidad Wb/m ² ( Tesla ) se denota por B , y el flujo magnético se define de manera análoga: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

con la misma notación anterior. La cantidad surge en la ley de inducción de Faraday , donde el flujo magnético depende del tiempo, ya sea porque el límite depende del tiempo o porque el campo magnético depende del tiempo. En forma integral:

${\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

donde d ℓ es un elemento lineal vectorial infinitesimal de la curva cerrada , con magnitud igual a la longitud del elemento lineal infinitesimal , y dirección dada por la tangente a la curva , con el signo determinado por la dirección de integración. ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle \partial A}$

La tasa de cambio temporal del flujo magnético a través de un bucle de alambre es menos la fuerza electromotriz creada en ese alambre. La dirección es tal que si se permite que la corriente pase a través del cable, la fuerza electromotriz provocará una corriente que "se opone" al cambio en el campo magnético produciendo por sí misma un campo magnético opuesto al cambio. Esta es la base de los inductores y de muchos generadores eléctricos .

flujo puntual

Usando esta definición, el flujo del vector de Poynting S sobre una superficie específica es la velocidad a la que la energía electromagnética fluye a través de esa superficie, definida como antes: ^[14]

${\displaystyle \Phi _{S}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

El flujo del vector de Poynting a través de una superficie es la potencia electromagnética , o energía por unidad de tiempo , que pasa a través de esa superficie. Esto se usa comúnmente en el análisis de radiación electromagnética , pero también tiene aplicación a otros sistemas electromagnéticos.

De manera confusa, el vector de Poynting a veces se llama flujo de potencia , que es un ejemplo del primer uso de flujo, arriba. ^[16] Tiene unidades de vatios por metro cuadrado (W/m ² ).

unidades de radiometría SI

1. Las organizaciones de normalización recomiendan que las cantidades radiométricas se indiquen con el sufijo "e" (de "energético") para evitar confusiones con cantidades fotométricas o de fotones .
2. A veces se ven símbolos alternativos: W o E para energía radiante, P o F para flujo radiante, I para irradiancia, W para salida radiante.
3. Las cantidades espectrales dadas por unidad de frecuencia se indican con el sufijo " ν " (letra griega nu , que no debe confundirse con la letra "v", que indica una cantidad fotométrica).
4. Las cantidades espectrales dadas por unidad de longitud de onda se indican con el sufijo " λ ".
5. Las cantidades direccionales se indican con el sufijo " Ω ".

Ver también

• Portal de matemáticas

• magnitud AB
• Generador de compresión de flujo bombeado explosivamente
• Flujo de covarianza de remolinos (también conocido como correlación de remolinos, flujo de remolinos)
• Instalación de prueba de flujo rápido
• Fluencia (flujo del primer tipo para haces de partículas)
• Dinámica de fluidos
• Huella de flujo
• Fijación de flujo
• Cuantización de flujo
• ley de gauss
• Ley del cuadrado inverso
• Jansky (unidad de densidad de flujo espectral no SI)
• Flujo de calor latente
• Flujo luminoso
• Flujo magnético
• Cuántico de flujo magnético
• flujo de neutrones
• flujo puntual
• teorema de poynting
• flujo radiante
• Cuántica rápida de flujo único
• Flujo de energía sonora
• Flujo volumétrico (flujo de primer tipo para fluidos)
• Caudal volumétrico (flujo del segundo tipo para fluidos)

Notas

1. Purcell, pág. 22-26
2. Weekley, Ernesto (1967). Un diccionario etimológico del inglés moderno . Publicaciones de Courier Dover. pag. 581.ISBN _ 0-486-21873-2.
3. Herivel, John (1975). Joseph Fourier: el hombre y el físico . Oxford: Prensa de Clarendon. págs. 181-191. ISBN 0198581491.
4. Fourier, José (1822). Théorie analytique de la chaleur (en francés). París: Firmin Didot Père et Fils. OCLC  2688081.
5. Maxwell, James Clerk (1892). Tratado sobre Electricidad y Magnetismo . ISBN 0-486-60636-8.
6. Pájaro, R. Byron ; Stewart, Warren E.; Pie ligero, Edwin N. (1960). Fenómenos del transporte . Wiley. ISBN 0-471-07392-X.
7. PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Principios esenciales de la física (2ª ed.). Juan Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
8. Carslaw, HS; Jaeger, JC (1959). Conducción de calor en sólidos (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853303-9.
9. Welty; Wicks, Wilson y Rorrer (2001). Fundamentos de la transferencia de momento, calor y masa (4ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-38149-7.
10. D. McMahon (2006). "Mecánica cuántica desmitificada" . Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
11. Sakurai, JJ (1967). Mecánica Cuántica Avanzada . Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
12. Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 100.ISBN _ 978-0-07-161545-7.
13. Beca IS; WR Phillips (2008). Electromagnetismo . Física de Manchester (2ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-92712-9.
14. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson, Dorling Kindersley . ISBN 978-81-7758-293-2.
15. Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 4: Electrostática
16. Wangsness, Roald K. (1986). Campos electromagnéticos (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.p.357

• Browne, Michael, doctorado (2010). Física para la Ingeniería y la Ciencia, 2ª Edición . Esquemas de Schaum. Nueva York, Toronto: McGraw-Hill Publishing . ISBN 978-0-0716-1399-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Purcell, Edward, doctorado (2013). Electricidad y Magnetismo, 3ª Edición . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 978110-7014022.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Otras lecturas

• Stauffer, PH (2006). "Flux desconcertado: una propuesta para un uso coherente". Agua Subterránea . 44 (2): 125-128. Código Bib : 2006GrWat..44..125S. doi : 10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x . PMID  16556188. S2CID  21812226.

enlaces externos

• La definición del diccionario de flujo en Wikcionario