Flujo de masa

Cantidad vectorial que describe el caudal másico a través de un área determinada

En física e ingeniería , el flujo másico es la tasa de flujo másico por unidad de área. Sus unidades del SI son kg ⋅ s ⁻¹  ⋅ m ⁻² . Los símbolos comunes son j , J , q , Q , φ o Φ ( griego Phi minúscula o mayúscula ), a veces con el subíndice m para indicar que la masa es la cantidad que fluye.

Esta cantidad de flujo también se conoce simplemente como "flujo másico". ^[1] "Flujo másico" también puede referirse a una forma alternativa de flujo en la ley de Fick que incluye la masa molecular , o en la ley de Darcy que incluye la densidad de masa . ^[2] Con menos frecuencia, la ecuación definitoria para el flujo másico en este artículo se usa indistintamente con la ecuación definitoria en la tasa de flujo másico . ^[a]

Definición

Matemáticamente, el flujo de masa se define como el límite donde es la corriente de masa (flujo de masa m por unidad de tiempo t ) y A es el área a través de la cual fluye la masa. $${\displaystyle j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},}$$ $${\displaystyle I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}$$

Para el flujo de masa como un vector j _m , la integral de superficie de este sobre una superficie S , seguida por una integral sobre la duración de tiempo t ₁ a t ₂ , da la cantidad total de masa que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂ − t ₁ ): $${\displaystyle \Delta m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

El área necesaria para calcular el flujo es real o imaginaria, plana o curva, ya sea como área de sección transversal o como superficie.

Por ejemplo, para las sustancias que pasan a través de un filtro o una membrana , la superficie real es el área de la superficie (generalmente curva) del filtro, macroscópicamente , ignorando el área abarcada por los orificios en el filtro/membrana. Los espacios serían áreas de sección transversal. Para los líquidos que pasan a través de una tubería, el área es la sección transversal de la tubería, en la sección considerada.

El área vectorial es una combinación de la magnitud del área por la que pasa la masa, A , y un vector unitario normal al área, . La relación es . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Si el flujo de masa j _m pasa a través del área en un ángulo θ con respecto a la normal del área , entonces donde · es el producto escalar de los vectores unitarios. Es decir, el componente del flujo de masa que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j _m cos θ . Si bien el componente del flujo de masa que pasa tangencialmente al área está dado por j _m sen θ , en realidad no hay ningún flujo de masa que pase a través del área en la dirección tangencial. El único componente del flujo de masa que pasa normal al área es el componente coseno. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta }$$

Ejemplo

Consideremos una tubería de agua que fluye . Supongamos que la tubería tiene una sección transversal constante y consideramos una sección recta de la misma (sin curvas/uniones), y el agua fluye de manera constante a una velocidad constante, en condiciones estándar . El área A es el área de la sección transversal de la tubería. Supongamos que la tubería tiene un radio r = 2 cm = 2 × 10 ⁻² m . El área es entonces Para calcular el flujo de masa j _m (magnitud), también necesitamos la cantidad de masa de agua transferida a través del área y el tiempo empleado. Supongamos que un volumen V = 1,5 L = 1,5 × 10 ⁻³ m ³ pasa a través en un tiempo t = 2 s. Suponiendo que la densidad del agua es ρ = 1000 kg m ⁻³ , tenemos: (ya que el volumen inicial que pasa a través del área era cero, el final es V , por lo que la masa correspondiente es m ), por lo que el flujo de masa es $${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.}$$

Sustituyendo los números obtenemos: que es aproximadamente 596,8 kg s ⁻¹ m ⁻² . $${\displaystyle j_{m}={\frac {1000\times \left(1.5\times 10^{-3}\right)}{\pi \times \left(2\times 10^{-2}\right)^{2}\times 2}}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},}$$

Ecuaciones para fluidos

Ecuación alternativa

Usando la definición vectorial, el flujo de masa también es igual a: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }$$

dónde:

• ρ = densidad de masa,
• u = campo de velocidades de los elementos de masa que fluyen (es decir, en cada punto del espacio la velocidad de un elemento de materia es algún vector de velocidad u ).

A veces esta ecuación se puede utilizar para definir j _m como un vector.

Flujos másicos y molares para fluidos compuestos

Flujos de masa

En el caso de que el fluido no sea puro, es decir, sea una mezcla de sustancias (técnicamente contiene varias sustancias componentes), los flujos de masa deben considerarse por separado para cada componente de la mezcla.

Al describir el flujo de fluidos (es decir, el flujo de materia), es apropiado el flujo de masa. Al describir el transporte de partículas (movimiento de una gran cantidad de partículas), es útil utilizar una cantidad análoga, llamada flujo molar .

Usando masa, el flujo de masa del componente i es $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.}$$

El flujo de masa baricéntrico del componente i es donde es la velocidad de masa promedio de todos los componentes de la mezcla, dada por donde $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$$

• ρ = densidad de masa de toda la mezcla,
• ρ _i = densidad de masa del componente i ,
• u _i = velocidad del componente i .

El promedio se toma sobre las velocidades de los componentes.

Flujos molares

Si reemplazamos la densidad ρ por la "densidad molar", concentración c , tenemos los análogos del flujo molar .

El flujo molar es el número de moles por unidad de tiempo por unidad de área, generalmente: $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .}$$

Por lo tanto, el flujo molar del componente i es (número de moles por unidad de tiempo por unidad de área): y el flujo molar baricéntrico del componente i es donde este tiempo es la velocidad molar promedio de todos los componentes en la mezcla, dada por: $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$$

Uso

El flujo de masa aparece en algunas ecuaciones de la hidrodinámica , en particular en la ecuación de continuidad , que es un enunciado de la conservación de la masa de un fluido. En hidrodinámica, la masa solo puede fluir de un lugar a otro. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}$$

El flujo molar ocurre en la primera ley de difusión de Fick : donde D es el coeficiente de difusión . $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n}$$

Véase también

• Fracción de flujo de masa
• Flujo
• Ley de Fick
• Ley de Darcy
• Flujo de masa de las olas y momento de las olas
• Definición de ecuación (química física)
• Densidad de momento

Notas

1. Por ejemplo, en Mecánica de fluidos, Schaum et al. ^[3] utilizan la definición de flujo de masa como ecuación en el artículo sobre la tasa de flujo de masa.

Referencias

1. "ISO 80000-4:2019 Magnitudes y unidades - Parte 4: Mecánica". ISO . Consultado el 2024-10-02 .
2. "Tesauro: Flujo de masa" . Consultado el 24 de diciembre de 2008 .^{[ enlace muerto permanente ]}
3. Mecánica de fluidos, M. Potter, DC Wiggart, esquemas de Schuam, McGraw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8 
4. Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66110-5