En geometría proyectiva , una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos , inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que derivan los espacios proyectivos. [1] Es una biyección que asigna líneas a líneas, y por lo tanto una colineación . En general, algunas colineaciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios proyectivos reales de dimensión al menos dos. Los sinónimos incluyen proyectividad , transformación proyectiva y colineación proyectiva .
Históricamente, las homografías (y los espacios proyectivos) se han introducido para estudiar la perspectiva y las proyecciones en la geometría euclidiana , y el término homografía , que, etimológicamente, significa aproximadamente "dibujo similar", data de esta época. A finales del siglo XIX, se introdujeron definiciones formales de espacios proyectivos, que ampliaron los espacios euclidianos y afines mediante la adición de nuevos puntos llamados puntos en el infinito . El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que se ha demostrado que son equivalentes. Un espacio proyectivo puede construirse como el conjunto de las líneas de un espacio vectorial sobre un cuerpo dado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas del álgebra lineal para el estudio de las homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyectivo a través de un conjunto de axiomas, que no involucran explícitamente ningún cuerpo ( geometría de incidencia , ver también geometría sintética ); En este contexto, las colineaciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como colineaciones específicas, por lo que se denominan "colineaciones proyectivas".
Para simplificar, a menos que se indique lo contrario, se supone que los espacios proyectivos considerados en este artículo están definidos sobre un cuerpo (conmutativo) . De manera equivalente, se supone que el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues son verdaderos. Una gran parte de los resultados siguen siendo verdaderos o pueden generalizarse a geometrías proyectivas para las que estos teoremas no son válidos.
Históricamente, el concepto de homografía se introdujo para comprender, explicar y estudiar la perspectiva visual y, específicamente, la diferencia de apariencia de dos objetos planos vistos desde diferentes puntos de vista.
En el espacio euclidiano tridimensional, una proyección central desde un punto O (el centro) sobre un plano P que no contiene a O es la aplicación que envía un punto A a la intersección (si existe) de la línea OA y el plano P . La proyección no está definida si el punto A pertenece al plano que pasa por O y es paralelo a P . La noción de espacio proyectivo se introdujo originalmente extendiendo el espacio euclidiano, es decir, añadiéndole puntos en el infinito , con el fin de definir la proyección para cada punto excepto O .
Dado otro plano Q , que no contiene O , la restricción a Q de la proyección anterior se llama perspectividad .
Con estas definiciones, una perspectividad es sólo una función parcial , pero se convierte en una biyección si se extiende a espacios proyectivos. Por lo tanto, esta noción se define normalmente para espacios proyectivos. La noción también se generaliza fácilmente a espacios proyectivos de cualquier dimensión, sobre cualquier cuerpo , de la siguiente manera:
Dados dos espacios proyectivos P y Q de dimensión n , una perspectividad es una biyección de P a Q que puede obtenerse incrustando P y Q en un espacio proyectivo R de dimensión n + 1 y restringiendo a P una proyección central sobre Q.
Si f es una perspectividad de P a Q , y g una perspectividad de Q a P , con un centro diferente, entonces g ⋅ f es una homografía de P consigo misma, que se llama colineación central , cuando la dimensión de P es al menos dos. (Véase § Colineaciones centrales más abajo y Perspectividad § Colineaciones de perspectiva .)
Originalmente, una homografía se definió como la composición de un número finito de perspectividades. [2] Es parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) que esta definición coincide con la definición más algebraica esbozada en la introducción y detallada a continuación.
Un espacio proyectivo P( V ) de dimensión n sobre un cuerpo K puede definirse como el conjunto de las rectas que pasan por el origen en un espacio K -vectorial V de dimensión n + 1 . Si se ha fijado una base de V , un punto de V puede representarse por un punto ( x 0 , ..., x n ) de K n +1 . Un punto de P( V ), al ser una recta en V , puede representarse por las coordenadas de cualquier punto distinto de cero de esta recta, que se denominan coordenadas homogéneas del punto proyectivo.
Dados dos espacios proyectivos P( V ) y P( W ) de la misma dimensión, una homografía es una aplicación de P( V ) a P( W ), que se induce por un isomorfismo de espacios vectoriales f : V → W . Tal isomorfismo induce una biyección de P( V ) a P( W ), debido a la linealidad de f . Dos de estos isomorfismos, f y g , definen la misma homografía si y solo si hay un elemento distinto de cero a de K tal que g = af .
Esto puede escribirse en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: Una homografía φ puede definirse por una matriz no singular ( n + 1 ) × ( n + 1 ) [ a i , j ], llamada matriz de la homografía . Esta matriz se define hasta la multiplicación por un elemento distinto de cero de K . Las coordenadas homogéneas [ x 0 : ... : x n ] de un punto y las coordenadas [ y 0 : ... : y n ] de su imagen por φ están relacionadas por
Cuando los espacios proyectivos se definen añadiendo puntos en el infinito a los espacios afines (completación proyectiva) las fórmulas anteriores se convierten, en coordenadas afines,
que generaliza la expresión de la función homográfica de la siguiente sección. Esto define sólo una función parcial entre espacios afines, que se define sólo fuera del hiperplano donde el denominador es cero.
La línea proyectiva sobre un cuerpo K puede identificarse con la unión de K y un punto, llamado el "punto en el infinito" y denotado por ∞ (ver Línea proyectiva ). Con esta representación de la línea proyectiva, las homografías son las aplicaciones
que se llaman funciones homográficas o transformaciones fraccionarias lineales .
En el caso de la recta proyectiva compleja , que puede identificarse con la esfera de Riemann , las homografías se denominan transformaciones de Möbius . Estas corresponden precisamente con aquellas biyecciones de la esfera de Riemann que conservan la orientación y son conformes. [3]
En el estudio de las colineaciones, el caso de las líneas proyectivas es especial debido a su pequeña dimensión. Cuando la línea se considera como un espacio proyectivo de forma aislada, cualquier permutación de los puntos de una línea proyectiva es una colineación, [4] ya que cada conjunto de puntos son colineales. Sin embargo, si la línea proyectiva está incrustada en un espacio proyectivo de mayor dimensión, la estructura geométrica de ese espacio se puede utilizar para imponer una estructura geométrica a la línea. Por lo tanto, en geometría sintética, las homografías y las colineaciones de la línea proyectiva que se consideran son las obtenidas por restricciones a la línea de colineaciones y homografías de espacios de mayor dimensión. Esto significa que el teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) sigue siendo válido en el entorno unidimensional. Una homografía de una línea proyectiva también se puede definir adecuadamente insistiendo en que la aplicación preserva las razones cruzadas . [5]
Un marco proyectivo o base proyectiva de un espacio proyectivo de dimensión n es un conjunto ordenado de n + 2 puntos tales que ningún hiperplano contiene n + 1 de ellos. A veces, a un marco proyectivo se lo denomina símplex , [6] aunque un símplex en un espacio de dimensión n tiene como máximo n + 1 vértices.
En esta sección se consideran espacios proyectivos sobre un campo conmutativo K , aunque la mayoría de los resultados pueden generalizarse a espacios proyectivos sobre un anillo de división .
Sea P ( V ) un espacio proyectivo de dimensión n , donde V es un espacio K -vectorial de dimensión n + 1 , y p : V ∖ {0} → P ( V ) la proyección canónica que asigna un vector distinto de cero a la línea vectorial que lo contiene.
Para cada sistema de referencia de P ( V ) , existe una base e 0 , ..., e n de V tal que el sistema de referencia es ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) , y esta base es única hasta la multiplicación de todos sus elementos por el mismo elemento distinto de cero de K . Inversamente, si e 0 , ..., e n es una base de V , entonces ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) es un sistema de referencia de P ( V )
De ello se deduce que, dados dos marcos, existe exactamente una homografía que proyecta el primero sobre el segundo. En particular, la única homografía que fija los puntos de un marco es la función identidad . Este resultado es mucho más difícil de obtener en geometría sintética (donde los espacios proyectivos se definen mediante axiomas). A veces se lo denomina el primer teorema fundamental de la geometría proyectiva . [7]
Cada sistema ( p ( e0 ),..., p ( en ) , p ( e0 +...+ en ) ) permite definir coordenadas proyectivas , también llamadas coordenadas homogéneas : cada punto puede escribirse como p ( v ) ; las coordenadas proyectivas de p ( v ) en este sistema son las coordenadas de v en la base ( e0 ,..., en ) . No es difícil verificar que al cambiar e i y v , sin cambiar el sistema ni p ( v ), se multiplican las coordenadas proyectivas por el mismo elemento distinto de cero de K.
El espacio proyectivo P n ( K ) = P ( K n +1 ) tiene un marco canónico que consiste en la imagen por p de la base canónica de K n +1 (que consiste en los elementos que tienen solo una entrada distinta de cero, que es igual a 1), y (1, 1, ..., 1) . Sobre esta base, las coordenadas homogéneas de p ( v ) son simplemente las entradas (coeficientes) de la tupla v . Dado otro espacio proyectivo P ( V ) de la misma dimensión, y un marco F de él, hay una y solo una homografía h que aplica F sobre el marco canónico de P n ( K ) . Las coordenadas proyectivas de un punto a en el marco F son las coordenadas homogéneas de h ( a ) en el marco canónico de P n ( K ) .
En las secciones anteriores, las homografías se han definido mediante álgebra lineal. En geometría sintética , se definen tradicionalmente como la composición de una o varias homografías especiales llamadas colineaciones centrales . Forma parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva que ambas definiciones son equivalentes.
En un espacio proyectivo, P , de dimensión n ≥ 2 , una colineación de P es una biyección de P sobre P que mapea líneas sobre líneas. Una colineación central (tradicionalmente se llamaban perspectividades , [8] pero este término puede ser confuso, teniendo otro significado; ver Perspectividad ) es una biyección α de P a P , tal que existe un hiperplano H (llamado el eje de α ), que es fijado puntualmente por α (es decir, α ( X ) = X para todos los puntos X en H ) y un punto O (llamado el centro de α ), que es fijado linealmente por α (cualquier línea a través de O es mapeada a sí misma por α , pero no necesariamente puntualmente). [9] Hay dos tipos de colineaciones centrales. Las elaciones son las colineaciones centrales en las que el centro es incidente con el eje y las homologías son aquellas en las que el centro no es incidente con el eje. Una colineación central se define de forma única por su centro, su eje y la imagen α ( P ) de cualquier punto P dado que difiere del centro O y no pertenece al eje. (La imagen α ( Q ) de cualquier otro punto Q es la intersección de la línea definida por O y Q y la línea que pasa por α ( P ) y la intersección con el eje de la línea definida por P y Q .)
Una colineación central es una homografía definida por una matriz (n+1) × (n+1) que tiene un espacio propio de dimensión n . Es una homología si la matriz tiene otro valor propio y, por lo tanto, es diagonalizable . Es una elación si todos los valores propios son iguales y la matriz no es diagonalizable.
La vista geométrica de una colineación central es más fácil de ver en un plano proyectivo. Dada una colineación central α , considere una línea ℓ que no pasa por el centro O , y su imagen bajo α , ℓ ′ = α (ℓ) . Fijando R = ℓ ∩ ℓ ′ , el eje de α es alguna línea M que pasa por R . La imagen de cualquier punto A de ℓ bajo α es la intersección de OA con ℓ ′ . La imagen B ′ de un punto B que no pertenece a ℓ se puede construir de la siguiente manera: sea S = AB ∩ M , entonces B ′ = SA ′ ∩ OB .
La composición de dos colineaciones centrales, aunque sigue siendo una homografía en general, no es una colineación central. De hecho, toda homografía es la composición de un número finito de colineaciones centrales. En geometría sintética, esta propiedad, que forma parte de la teoría fundamental de la geometría proyectiva, se toma como la definición de homografías. [10]
Además de las homografías, existen colineaciones. En particular, cualquier automorfismo de cuerpo σ de un cuerpo F induce una colineación de cada espacio proyectivo sobre F al aplicar σ a todas las coordenadas homogéneas (sobre un marco proyectivo) de un punto. Estas colineaciones se denominan colineaciones automórficas .
El teorema fundamental de la geometría proyectiva consta de los tres teoremas siguientes.
Si los espacios proyectivos se definen por medio de axiomas ( geometría sintética ), la tercera parte es simplemente una definición. Por otra parte, si los espacios proyectivos se definen por medio del álgebra lineal , la primera parte es un corolario fácil de las definiciones. Por lo tanto, la prueba de la primera parte en geometría sintética y la prueba de la tercera parte en términos de álgebra lineal son ambas pasos fundamentales de la prueba de la equivalencia de las dos formas de definir espacios proyectivos.
Como toda homografía tiene una aplicación inversa y la composición de dos homografías es otra, las homografías de un espacio proyectivo dado forman un grupo . Por ejemplo, el grupo de Möbius es el grupo de homografías de cualquier recta proyectiva compleja.
Como todos los espacios proyectivos de la misma dimensión sobre el mismo cuerpo son isomorfos, lo mismo sucede con sus grupos homográficos, por lo que se consideran como un único grupo que actúa sobre varios espacios, y en la notación solo aparecen la dimensión y el cuerpo, no el espacio proyectivo específico.
Los grupos de homografía también llamados grupos lineales proyectivos se denotan PGL( n + 1, F ) cuando actúan sobre un espacio proyectivo de dimensión n sobre un cuerpo F . La definición anterior de homografías muestra que PGL( n + 1, F ) puede identificarse con el grupo cociente GL( n + 1, F ) / F × I , donde GL( n + 1, F ) es el grupo lineal general de las matrices invertibles , y F × I es el grupo de los productos por un elemento distinto de cero de F de la matriz identidad de tamaño ( n + 1) × ( n + 1) .
Cuando F es un cuerpo de Galois GF( q ), entonces el grupo de homografía se escribe PGL( n , q ) . Por ejemplo, PGL(2, 7) actúa sobre los ocho puntos de la línea proyectiva sobre el cuerpo finito GF(7), mientras que PGL(2, 4) , que es isomorfo al grupo alternante A 5 , es el grupo de homografía de la línea proyectiva con cinco puntos. [12]
El grupo de homografía PGL( n + 1, F ) es un subgrupo del grupo de colineación PΓL( n + 1, F ) de las colineaciones de un espacio proyectivo de dimensión n . Cuando los puntos y las rectas del espacio proyectivo se consideran como un diseño de bloques , cuyos bloques son los conjuntos de puntos contenidos en una recta, es común llamar al grupo de colineación el grupo de automorfismos del diseño .
La relación cruzada de cuatro puntos colineales es un invariante bajo la homografía que es fundamental para el estudio de las homografías de las líneas.
Tres puntos distintos a , b y c sobre una línea proyectiva sobre un cuerpo F forman un marco proyectivo de esta línea. Por lo tanto, existe una homografía única h de esta línea sobre F ∪ {∞} que asigna a a ∞ , b a 0 y c a 1. Dado un cuarto punto sobre la misma línea, la razón cruzada de los cuatro puntos a , b , c y d , denotada [ a , b ; c , d ] , es el elemento h ( d ) de F ∪ {∞} . En otras palabras, si d tiene coordenadas homogéneas [ k : 1] sobre el marco proyectivo ( a , b , c ) , entonces [ a , b ; c , d ] = k . [13]
Supóngase que A es un anillo y U es su grupo de unidades . Las homografías actúan sobre una línea proyectiva sobre A , escrita P( A ), que consta de puntos U [ a, b ] con coordenadas proyectivas . Las homografías sobre P( A ) se describen mediante aplicaciones matriciales
Cuando A es un anillo conmutativo , la homografía puede escribirse
pero por lo demás la transformación fraccionaria lineal se considera una equivalencia:
El grupo de homografía del anillo de números enteros Z es el grupo modular PSL(2, Z ) . Las homografías de anillo se han utilizado en el análisis de cuaterniones y con cuaterniones duales para facilitar la teoría del tornillo . El grupo conforme del espacio-tiempo se puede representar con homografías donde A es el álgebra de composición de biquaterniones . [14]
La homografía es periódica cuando el anillo es Z / n Z (los enteros módulo n ) desde entonces Arthur Cayley se interesó en la periodicidad cuando calculó iteraciones en 1879. [15] En su revisión de un enfoque de fuerza bruta para la periodicidad de las homografías, HSM Coxeter dio este análisis:
Homografías de álgebras de composición asociativa en Wikilibros
Medios relacionados con Homografía en Wikimedia Commons
![{\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b784aabce6dc47e30def79076c7e799542cd69)
![{\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3575d4cca0aa4c496636974d41cd598229a9647)
