En geometría proyectiva , una colineación es una función biyectiva de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de modo que las imágenes de puntos colineales son en sí mismas colineales. Una colineación es, por tanto, un isomorfismo entre espacios proyectivos, o un automorfismo de un espacio proyectivo a sí mismo. Algunos autores restringen la definición de colineación al caso en que es un automorfismo. [1] El conjunto de todas las colineaciones de un espacio a sí mismo forman un grupo , llamado grupo de colineación .
En términos simples, una colineación es una función biunívoca de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de modo que las imágenes de los puntos colineales son en sí mismas colineales. Se puede formalizar esto utilizando diversas formas de presentar un espacio proyectivo. Además, el caso de la línea proyectiva es especial y, por lo tanto, generalmente se trata de manera diferente.
Para un espacio proyectivo definido en términos de álgebra lineal (como la proyectivización de un espacio vectorial ), una colineación es una función entre los espacios proyectivos que preserva el orden con respecto a la inclusión de subespacios.
Formalmente, sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y W un espacio vectorial sobre un cuerpo L. Considérense los espacios proyectivos PG ( V ) y PG ( W ), que consisten en las líneas vectoriales de V y W . Llamemos D ( V ) y D ( W ) al conjunto de subespacios de V y W respectivamente. Una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es una función α : D ( V ) → D ( W ), tal que:
Dado un espacio proyectivo definido axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas, satisfaciendo ciertos axiomas), una colineación entre espacios proyectivos así definidos es entonces una función biyectiva f entre los conjuntos de puntos y una función biyectiva g entre el conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia. [3]
Todo espacio proyectivo de dimensión mayor o igual a tres es isomorfo a la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división , por lo que en estas dimensiones esta definición no es más general que la lineal-algebraica anterior, pero en la dimensión dos existen otros planos proyectivos, a saber, los planos no desarguesianos , y esta definición permite definir colineaciones en tales planos proyectivos.
Para la dimensión uno, el conjunto de puntos que se encuentran sobre una única línea proyectiva define un espacio proyectivo, y la noción resultante de colineación es simplemente cualquier biyección del conjunto.
Para un espacio proyectivo de dimensión uno (una línea proyectiva; la proyectivización de un espacio vectorial de dimensión dos), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva. Esto es diferente del comportamiento en dimensiones superiores, y por lo tanto se da una definición más restrictiva, especificada de modo que se cumpla el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
En esta definición, cuando V tiene dimensión dos, una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es una función α : D ( V ) → D ( W ) , tal que:
Este último requisito garantiza que las colineaciones sean todas mapas semilineales.
Los principales ejemplos de colineaciones son las transformaciones lineales proyectivas (también conocidas como homografías ) y las colineaciones automórficas. Para los espacios proyectivos que provienen de un espacio lineal, el teorema fundamental de la geometría proyectiva establece que todas las colineaciones son una combinación de estas, como se describe a continuación.
Las transformaciones lineales proyectivas (homografías) son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas. El grupo de transformaciones lineales proyectivas ( PGL ) es en general un subgrupo propio del grupo de colineaciones.
UnLa colineación automórfica es un mapa que, en coordenadas, es unautomorfismo de campoaplicado a las coordenadas.
Si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo papiano es al menos 2, entonces cada colineación es el producto de una homografía (una transformación lineal proyectiva) y una colineación automórfica. Más precisamente, el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , que es el producto semidirecto de homografías por colineaciones automórficas.
En particular, las colineaciones del plano proyectivo real PG(2, R ) son exactamente las homografías, ya que R no tiene automorfismos no triviales (ver Automorfismo#Ejemplos y la nota al pie d en Número real ).
Supóngase que φ es una función semilineal no singular de V a W , con una dimensión de V de al menos tres. Defina α : D ( V ) → D ( W ) diciendo que Z α = { φ ( z ) : z ∈ Z } para todo Z en D ( V ). Como φ es semilineal, se comprueba fácilmente que esta función está correctamente definida y, además, como φ no es singular, es biyectiva. Ahora es obvio que α es una colineación. Decimos que α es inducida por φ .
El teorema fundamental de la geometría proyectiva establece lo contrario:
Supóngase que V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K con dimensión al menos tres, W es un espacio vectorial sobre un cuerpo L y α es una colineación de PG( V ) a PG( W ). Esto implica que K y L son cuerpos isomorfos, V y W tienen la misma dimensión y existe una función semilineal φ tal que φ induce α .
Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL – este es PGL, torcido por automorfismos de campo ; formalmente, el producto semidirecto PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , donde k es el campo primo para K .
Así, para K un cuerpo primo ( o ), tenemos PGL = PΓL , pero para K no un cuerpo primo (tal como o para n ≥ 2 ), el grupo lineal proyectivo es en general un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede considerarse como "transformaciones que preservan una estructura semilineal proyectiva ". Correspondientemente, el grupo cociente PΓL / PGL ≅ Gal( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente. Dado un espacio proyectivo sin una identificación como proyectivización de un espacio lineal, no hay isomorfismo natural entre el grupo de colineación y PΓL, y la elección de una estructura lineal (realización como proyectivización de un espacio lineal) corresponde a una elección de subgrupo PGL < PΓL , formando estas elecciones un torsor sobre Gal( K / k ).
La idea de línea se abstrajo a una relación ternaria determinada por la colinealidad (puntos que se encuentran en una misma línea). Según Wilhelm Blaschke [4], fue August Möbius quien primero abstrajo esta esencia de la transformación geométrica:
Los matemáticos contemporáneos consideran la geometría como una estructura de incidencia con un grupo de automorfismos que consiste en aplicaciones del espacio subyacente que preservan la incidencia . Dicha aplicación permuta las líneas de la estructura de incidencia y persiste el concepto de colineación.
Como lo mencionaron Blaschke y Klein, Michel Chasles prefirió el término homografía a colineación . Una distinción entre los términos surgió cuando se aclaró la distinción entre el plano proyectivo real y la línea proyectiva compleja . Dado que no hay automorfismos de campo no triviales del cuerpo de números reales , todas las colineaciones son homografías en el plano proyectivo real, [5] sin embargo, debido al automorfismo de campo de la conjugación compleja , no todas las colineaciones de la línea proyectiva compleja son homografías. En aplicaciones como la visión por computadora donde el campo subyacente es el cuerpo de números reales, homografía y colineación se pueden usar indistintamente.
La operación de tomar el conjugado complejo en el plano complejo equivale a una reflexión en la recta real . Con la notación z ∗ para el conjugado de z , una antihomografía está dada por
Por lo tanto, una antihomografía es la composición de una conjugación con una homografía y, por lo tanto, es un ejemplo de una colineación que no es una homografía. Por ejemplo, geométricamente, la aplicación equivale a una inversión del círculo . [6] Las transformaciones de la geometría inversa del plano se describen con frecuencia como la colección de todas las homografías y antihomografías del plano complejo. [7]
