Análisis cuaterniónico

Teoría de funciones con variable cuaternión.

En matemáticas , el análisis cuaterniónico es el estudio de funciones con cuaterniones como dominio y/o rango. Estas funciones pueden denominarse funciones de una variable cuaternión del mismo modo que se denominan funciones de una variable real o una variable compleja .

Al igual que ocurre con el análisis complejo y real , es posible estudiar los conceptos de analiticidad , holomorfía , armonía y conformidad en el contexto de los cuaterniones. A diferencia de los números complejos y al igual que los reales , las cuatro nociones no coinciden.

Propiedades

Las proyecciones de un cuaternión sobre su parte escalar o sobre su parte vectorial, así como las funciones módulo y versor , son ejemplos básicos para comprender la estructura del cuaternión.

Un ejemplo importante de una función de una variable cuaternión es

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

que gira la parte vectorial de q el doble del ángulo representado por u .

El inverso multiplicativo del cuaternión es otra función fundamental, pero al igual que con otros sistemas numéricos, los problemas relacionados generalmente se excluyen debido a la naturaleza de la división por cero . ${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$ ${\displaystyle f_{2}(0)}$

Las transformaciones afines de cuaterniones tienen la forma

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

Las transformaciones fraccionarias lineales de cuaterniones se pueden representar mediante elementos del anillo matricial que operan en la línea proyectiva sobre . Por ejemplo, las asignaciones donde y son versores fijos sirven para producir los movimientos del espacio elíptico . ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle q\mapsto uqv,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

La teoría de variables de cuaterniones difiere en algunos aspectos de la teoría de variables complejas. Por ejemplo: el mapeo conjugado complejo del plano complejo es una herramienta central pero requiere la introducción de una operación no aritmética ni analítica . De hecho, la conjugación cambia la orientación de las figuras planas, algo que las funciones aritméticas no cambian.

A diferencia del conjugado complejo , la conjugación del cuaternión se puede expresar aritméticamente, como ${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

Esta ecuación se puede probar, comenzando con la base {1, i, j, k}:

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

En consecuencia, dado que es lineal , ${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

El éxito del análisis complejo al proporcionar una rica familia de funciones holomorfas para el trabajo científico ha involucrado a algunos investigadores en esfuerzos por extender la teoría planar, basada en números complejos, a un estudio de 4 espacios con funciones de una variable cuaternión. ^[1] Estos esfuerzos se resumieron en Deavours (1973). ^[a]

Aunque aparece como una unión de planos complejos , la siguiente proposición muestra que ampliar funciones complejas requiere especial cuidado: ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Sea una función de una variable compleja, . Supongamos también que es una función par de y que es una función impar de . Entonces es una extensión de una variable cuaternión donde y . Luego, representemos el conjugado de , de modo que . La extensión a estará completa cuando se demuestre que . De hecho, por hipótesis ${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$ ${\displaystyle f_{5}}$ ${\displaystyle q=x+yr}$ ${\displaystyle r^{2}=-1}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle r^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q=x-yr^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$Se obtiene

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

Homografías

A continuación, se utilizan dos puntos y corchetes para indicar vectores homogéneos .

La rotación alrededor del eje r es una aplicación clásica de los cuaterniones al mapeo espacial . ^[2] En términos de una homografía , la rotación se expresa

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

¿ Dónde hay un versor ? Si p * = − p , entonces la traducción se expresa por ${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$ ${\displaystyle q\mapsto q+p}$

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

La rotación y traslación xr a lo largo del eje de rotación viene dada por

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

Este mapeo se llama desplazamiento de tornillo . En cinemática clásica , el teorema de Chasles establece que cualquier movimiento de un cuerpo rígido se puede representar como un desplazamiento de tornillo. Así como la representación de una isometría del plano euclidiano como una rotación es una cuestión de aritmética de números complejos, el teorema de Chasles, y el eje del tornillo requerido, es una cuestión de aritmética de cuaterniones con homografías: Sea s un versor recto, o raíz cuadrada de menos uno, perpendicular a r , con t = rs .

Considere el eje que pasa por s y es paralelo a r . La rotación alrededor de él se expresa ^[3] mediante la composición de homografía.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

dónde ${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

Ahora en el plano ( s,t ) el parámetro θ traza un círculo en el semiplano ${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$ ${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

Cualquier p en este semiplano se encuentra en un rayo desde el origen que pasa por el círculo y se puede escribir ${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$ ${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

Entonces up = az , siendo la homografía la conjugación de una rotación por una traslación p. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$

La derivada de cuaterniones.

Desde la época de Hamilton, se ha comprendido que exigir la independencia de la derivada del camino que sigue un diferencial hacia cero es demasiado restrictivo: excluye incluso de la diferenciación. Por lo tanto, es necesaria una derivada dependiente de la dirección para funciones de una variable cuaternión. ^{[4] [5]} Considerando el incremento de la función polinómica del argumento cuaterniónico se muestra que el incremento es una aplicación lineal del incremento del argumento. ^{[ dudoso ]} A partir de esto, se puede hacer una definición: ${\displaystyle f(q)=q^{2}}$

Un mapa continuo se llama diferenciable en el conjunto si, en cada punto , el incremento del mapa se puede representar como ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

dónde

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

es un mapa lineal del álgebra de cuaterniones y es un mapa continuo tal que ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

La aplicación lineal se llama derivada de la aplicación . ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$

En los cuaterniones, la derivada se puede expresar como

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Por lo tanto, el diferencial del mapa se puede expresar de la siguiente manera con paréntesis a cada lado. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left(\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

El número de términos de la suma dependerá de la función f . Las expresiones se llaman componentes de la derivada. ${\displaystyle {\frac {d_{sp}df(x)}{dx}},p=0,1}$

La derivada de una función cuaterniónica tiene las siguientes igualdades

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ h=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))}$

${\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b}$

Para la función f ( x ) = axb , la derivada es

y entonces los componentes son:

De manera similar, para la función f ( x ) = x ² , la derivada es

y los componentes son:

Finalmente, para la función f ( x ) = x ⁻¹ , la derivada es

y los componentes son:

Ver también

• Transformación de Cayley
• colector cuaterniónico

Notas

1. Deavours (1973) recuerda un número de 1935 de Commentarii Mathematici Helvetici donde Fueter (1936) inició una teoría alternativa de "funciones regulares" a través de la idea del teorema de Morera : la función del cuaternión se "deja regular en " cuando la integral de desaparece cualquier hipersuperficie suficientemente pequeña que contenga . Entonces se cumple el análogo del teorema de Liouville : la única función cuaternión regular con norma acotada es una constante. Un método para construir funciones regulares es utilizar series de potencias con coeficientes reales. Deavours también ofrece análogos para la integral de Poisson , la fórmula integral de Cauchy y la presentación de las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell con funciones de cuaternión. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{4}}$

Citas

1. (Fueter 1936)
2. (Cayley 1848, especialmente página 198)
3. (Hamilton 1853, §287 págs. 273,4)
4. (Hamilton 1866, Capítulo II, Sobre diferenciales y desarrollo de funciones de cuaterniones, págs. 391–495)
5. (Laisant 1881, Capítulo 5: Différentiation des Quaternions, págs. 104-117)

Referencias

• Arnold, Vladimir (1995), "La geometría de curvas esféricas y el álgebra de cuaterniones", Russian Mathematical Surveys , 50 (1), traducido por Porteous, Ian R. : 1–68, doi :10.1070/RM1995v050n01ABEH001662, S2CID  250897899, Zbl  0848.58005
• Cayley, Arthur (1848), "Sobre la aplicación de cuaterniones a la teoría de la rotación", London and Edinburgh Philosophical Magazine , Serie 3, 33 (221): 196–200, doi :10.1080/14786444808645844
• Deavours, CA (1973), "El cálculo de los cuaterniones", American Mathematical Monthly , 80 (9), Washington, DC: Mathematical Association of America: 995–1008, doi :10.2307/2318774, ISSN  0002-9890, JSTOR  2318774, Zbl  0282.30040
• Du Val, Patrick (1964), Homografías, cuaterniones y rotaciones , Monografías matemáticas de Oxford, Oxford: Clarendon Press, MR  0169108, Zbl  0128.15403
• Fueter, Rudolf (1936), "Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen", Commentarii Mathematici Helvetici (en alemán), 8 : 371–378, doi :10.1007/BF01199562, S2CID  121227604, Zbl  0014.16702
• Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina; Struppa, Daniele C. (2013), Funciones regulares de una variable cuaterniónica , Berlín: Springer, doi :10.1007/978-3-642-33871-7, ISBN 978-3-642-33870-0, S2CID  118710284, Zbl  1269.30001
• Gormley, PG (1947), "Proyección estereográfica y grupo fraccionario lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A , 51 : 67–85, JSTOR  20488472
• Gürlebeck, Klaus; Sprößig, Wolfgang (1990), Análisis cuaterniónico y problemas de valores límite elípticos , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-2382-0, Zbl  0850.35001
• John C.Holladay (1957), "El teorema de Stone-Weierstrass para los cuaterniones" (PDF) , Proc. América. Matemáticas. Soc. , 8 : 656, doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
• Hamilton, William Rowan (1853), Conferencias sobre cuaterniones , Dublín: Hodges y Smith, OL  23416635M
• Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (ed.), Elementos de cuaterniones, Londres: Longmans, Green, & Company, Zbl  1204.01046
• Joly, Charles Jasper (1903), "Cuaterniones y geometría proyectiva", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 201 (331–345): 223–327, Bibcode :1903RSPTA.201..223J, doi :10.1098/rsta. 1903.0018, JFM  34.0092.01, JSTOR  90902
• Laisant, Charles-Ange (1881), Introducción a la Méthode des Quaternions (en francés), París: Gauthier-Villars, JFM  13.0524.02
• Porter, R. Michael (1998), "Geometría de cuaterniones invariante de Möbius" (PDF) , Geometría y dinámica conformes , 2 (6): 89–196, doi : 10.1090/S1088-4173-98-00032-0 , Zbl  0910.53005
• Sudbery, A. (1979), "Análisis cuaterniónico", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 85 (2): 199–225, Bibcode :1979MPCPS..85..199S, doi :10.1017/S0305004100055638, hdl : 10338. dmlcz/101933 , S2CID  7606387, Zbl  0399.30038