Ley de los gases ideales

Ecuación del estado de un gas ideal hipotético

Isotermas de un gas ideal para distintas temperaturas. Las líneas curvas son hipérbolas rectangulares de la forma y = a/x. Representan la relación entre la presión (en el eje vertical) y el volumen (en el eje horizontal) para un gas ideal a distintas temperaturas : las líneas que están más alejadas del origen (es decir, las líneas que están más cerca de la esquina superior derecha del diagrama) corresponden a temperaturas más altas.

La ley de los gases ideales , también llamada ecuación general de los gases , es la ecuación de estado de un gas ideal hipotético . Es una buena aproximación del comportamiento de muchos gases en muchas condiciones, aunque tiene varias limitaciones. Fue enunciada por primera vez por Benoît Paul Émile Clapeyron en 1834 como una combinación de las leyes empíricas de Boyle , Charles , Avogadro y Gay-Lussac . ^[1] La ley de los gases ideales suele escribirse en forma empírica:

$${\displaystyle pV=nRT}$$donde , y son la presión , el volumen y la temperatura respectivamente; es la cantidad de sustancia ; y es la constante de los gases ideales . También se puede derivar de la teoría cinética microscópica , como se logró (aparentemente de forma independiente) por August Krönig en 1856 ^[2] y Rudolf Clausius en 1857. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

Ecuación

A la derecha se muestran las colisiones moleculares dentro de un recipiente cerrado (un tanque de propano). Las flechas representan los movimientos aleatorios y las colisiones de estas moléculas. La presión y la temperatura del gas son directamente proporcionales: a medida que aumenta la temperatura, la presión del gas propano aumenta en el mismo factor. Una consecuencia simple de esta proporcionalidad es que en un día caluroso de verano, la presión del tanque de propano aumentará y, por lo tanto, los tanques de propano deben estar diseñados para soportar tales aumentos de presión.

El estado de una cantidad de gas está determinado por su presión, volumen y temperatura. La forma moderna de la ecuación relaciona estos elementos de forma sencilla en dos formas principales. La temperatura utilizada en la ecuación de estado es una temperatura absoluta: la unidad SI adecuada es el kelvin . ^[4]

Formas comunes

Las formas más frecuentemente introducidas son: donde: $${\displaystyle pV=nRT=nk_{\text{B}}N_{\text{A}}T=Nk_{\text{B}}T}$$

• ${\displaystyle p}$es la presión absoluta del gas,
• ${\displaystyle V}$es el volumen del gas,
• ${\displaystyle n}$es la cantidad de sustancia de gas (también conocida como número de moles),
• ${\displaystyle R}$es la constante de los gases ideales o universales , igual al producto de la constante de Boltzmann por la constante de Avogadro ,
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann ,
• ${\displaystyle N_{A}}$es la constante de Avogadro ,
• ${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta del gas,
• ${\displaystyle N}$es el número de partículas (normalmente átomos o moléculas) del gas.

En unidades del SI , p se mide en pascales , V se mide en metros cúbicos , n se mide en moles y T en kelvin (la escala Kelvin es una escala Celsius desplazada , donde 0,00 K = −273,15 °C, la temperatura más baja posible ). R tiene como valor 8,314 J /( mol · K ) = 1,989 ≈ 2 cal /(mol·K), o 0,0821 L⋅ atm /(mol⋅K).

Forma molar

La cantidad de gas presente se puede especificar indicando la masa en lugar de la cantidad química de gas. Por lo tanto, puede resultar útil una forma alternativa de la ley de los gases ideales. La cantidad química, n (en moles), es igual a la masa total del gas ( m ) (en kilogramos) dividida por la masa molar , M (en kilogramos por mol):

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}.}$

Reemplazando n por m / M y posteriormente introduciendo la densidad ρ = m / V , obtenemos:

${\displaystyle pV={\frac {m}{M}}RT}$

${\displaystyle p={\frac {m}{V}}{\frac {RT}{M}}}$

${\displaystyle p=\rho {\frac {R}{M}}T}$

Definiendo la constante específica del gas _R como la relación R / M ,

${\displaystyle p=\rho R_{\text{specific}}T}$

Esta forma de la ley de los gases ideales es muy útil porque vincula la presión, la densidad y la temperatura en una fórmula única, independiente de la cantidad del gas considerado. Alternativamente, la ley puede escribirse en términos del volumen específico v , el recíproco de la densidad, como

${\displaystyle pv=R_{\text{specific}}T.}$

Es común, especialmente en aplicaciones de ingeniería y meteorológicas, representar la constante específica de los gases con el símbolo R. En tales casos, la constante universal de los gases suele recibir un símbolo diferente, como o para distinguirla. En cualquier caso, el contexto o las unidades de la constante de los gases deben dejar claro si se está utilizando la constante universal o la específica de los gases. ^[5] ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

Mecánica estadística

En mecánica estadística , la siguiente ecuación molecular se deriva de los primeros principios

${\displaystyle P=nk_{\text{B}}T,}$

donde P es la presión absoluta del gas, n es la densidad numérica de las moléculas (dada por la relación n = N / V , en contraste con la formulación anterior en la que n es el número de moles ), T es la temperatura absoluta , y k _B es la constante de Boltzmann que relaciona la temperatura y la energía, dada por:

${\displaystyle k_{\text{B}}={\frac {R}{N_{\text{A}}}}}$

donde N _A es la constante de Avogadro .

De esto observamos que para un gas de masa m , con una masa de partícula promedio de μ veces la constante de masa atómica , mu _, (es decir, la masa es μ  Da ) el número de moléculas estará dado por

${\displaystyle N={\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}},}$

y como ρ = m / V = ​​nμm _u , encontramos que la ley de los gases ideales se puede reescribir como

${\displaystyle P={\frac {1}{V}}{\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}}k_{\text{B}}T={\frac {k_{\text{B}}}{\mu m_{\text{u}}}}\rho T.}$

En unidades del SI, P se mide en pascales , V en metros cúbicos, T en kelvin y k _B =1,38 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ en unidades SI .

Ley combinada de los gases

Combinando las leyes de Charles, Boyle y Gay-Lussac se obtiene la ley combinada de los gases , que toma la misma forma funcional que la ley de los gases ideales, que dice que el número de moles no está especificado y la relación de a se toma simplemente como una constante: ^[6] ${\displaystyle PV}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k,}$

donde es la presión del gas, es el volumen del gas, es la temperatura absoluta del gas y es una constante. Al comparar la misma sustancia bajo dos conjuntos diferentes de condiciones, la ley se puede escribir como ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}.}$

Energía asociada a un gas

Según los supuestos de la teoría cinética de los gases ideales, se puede considerar que no existen atracciones intermoleculares entre las moléculas o átomos de un gas ideal. En otras palabras, su energía potencial es cero. Por lo tanto, toda la energía que posee el gas es la energía cinética de las moléculas o átomos del gas.

${\displaystyle E={\frac {3}{2}}nRT}$

Esto corresponde a la energía cinética de n moles de un gas monoatómico que tiene 3 grados de libertad : x , y , z . La tabla que aparece a continuación muestra esta relación para diferentes cantidades de un gas monoatómico.

Aplicaciones a procesos termodinámicos

La siguiente tabla simplifica esencialmente la ecuación del gas ideal para un proceso particular, lo que hace que esta ecuación sea más fácil de resolver utilizando métodos numéricos.

Un proceso termodinámico se define como un sistema que pasa del estado 1 al estado 2, donde el número de estado se denota mediante un subíndice. Como se muestra en la primera columna de la tabla, los procesos termodinámicos básicos se definen de manera que una de las propiedades del gas ( P , V , T , S o H ) sea constante durante todo el proceso.

Para un proceso termodinámico determinado, a fin de especificar el alcance de un proceso particular, se debe especificar (directa o indirectamente) una de las relaciones de propiedades (que se enumeran en la columna denominada "relación conocida"). Además, la propiedad para la que se conoce la relación debe ser distinta de la propiedad que se mantiene constante en la columna anterior (de lo contrario, la relación sería la unidad y no habría suficiente información disponible para simplificar la ecuación de la ley de los gases).

En las tres columnas finales, las propiedades ( p , V o T ) en el estado 2 se pueden calcular a partir de las propiedades en el estado 1 utilizando las ecuaciones enumeradas.

^ a. En un proceso isentrópico, la entropía del sistema ( S ) es constante. Bajo estas condiciones, p ₁ V ₁ ^γ = p ₂ V ₂ ^γ , donde γ se define como la relación de capacidad calorífica , que es constante para un gas caloríficamente perfecto . El valor utilizado para γ es típicamente 1,4 para gases diatómicos como el nitrógeno (N ₂ ) y el oxígeno (O ₂ ), (y el aire, que es 99% diatómico). También γ es típicamente 1,6 para gases monoatómicos como los gases nobles helio (He) y argón (Ar). En los motores de combustión interna γ varía entre 1,35 y 1,15, dependiendo de la constitución de los gases y la temperatura.

^ b. En un proceso isentálpico, la entalpía del sistema ( H ) es constante. En el caso de la expansión libre de un gas ideal, no hay interacciones moleculares y la temperatura permanece constante. En el caso de los gases reales, las moléculas interactúan por atracción o repulsión según la temperatura y la presión, y se produce calentamiento o enfriamiento. Esto se conoce como efecto Joule-Thomson . Como referencia, el coeficiente de Joule-Thomson μ _JT para el aire a temperatura ambiente y al nivel del mar es de 0,22 °C/ bar . ^[7]

Desviaciones del comportamiento ideal de los gases reales

La ecuación de estado dada aquí ( PV = nRT ) se aplica sólo a un gas ideal, o como una aproximación a un gas real que se comporta suficientemente como un gas ideal. De hecho, hay muchas formas diferentes de la ecuación de estado. Dado que la ley de los gases ideales descuida tanto el tamaño molecular como las atracciones intermoleculares, es más precisa para gases monoatómicos a altas temperaturas y bajas presiones. El descuido del tamaño molecular se vuelve menos importante para densidades más bajas, es decir, para volúmenes mayores a presiones más bajas, porque la distancia promedio entre moléculas adyacentes se vuelve mucho mayor que el tamaño molecular. La importancia relativa de las atracciones intermoleculares disminuye con el aumento de la energía cinética térmica , es decir, con el aumento de las temperaturas. Ecuaciones de estado más detalladas , como la ecuación de van der Waals , explican las desviaciones de la idealidad causadas por el tamaño molecular y las fuerzas intermoleculares.

Derivaciones

Empírico

Las leyes empíricas que llevaron a la derivación de la ley de los gases ideales se descubrieron con experimentos que cambiaron solo dos variables de estado del gas y mantuvieron constantes todas las demás.

Todas las posibles leyes de los gases que se podrían haber descubierto con este tipo de configuración son:

• Ley de Boyle ( Ecuación 1 ) $${\displaystyle PV=C_{1}\quad {\text{or}}\quad P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}}$$
• Ley de Charles ( ecuación 2 ) $${\displaystyle {\frac {V}{T}}=C_{2}\quad {\text{or}}\quad {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}}$$
• Ley de Avogadro ( Ecuación 3 ) $${\displaystyle {\frac {V}{N}}=C_{3}\quad {\text{or}}\quad {\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}}$$
• Ley de Gay-Lussac ( ecuación 4 ) $${\displaystyle {\frac {P}{T}}=C_{4}\quad {\text{or}}\quad {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$$
• Ecuación 5 $${\displaystyle NT=C_{5}\quad {\text{or}}\quad N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}}$$
• Ecuación 6 $${\displaystyle {\frac {P}{N}}=C_{6}\quad {\text{or}}\quad {\frac {P_{1}}{N_{1}}}={\frac {P_{2}}{N_{2}}}}$$

Relaciones entre las leyes de Boyle , Charles , Gay-Lussac , Avogadro , combinadas y de los gases ideales , con la constante de Boltzmann k= ⁠R/N / _A⁠ = ⁠ en R/norte( en cada ley, las propiedades marcadas con un círculo son variables y las propiedades no marcadas se mantienen constantes)

donde P representa la presión , V el volumen , N el número de partículas en el gas y T la temperatura ; donde son constantes en este contexto debido a que cada ecuación requiere que solo cambien los parámetros explícitamente indicados en ellas. ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}}$

Para derivar la ley de los gases ideales no es necesario conocer las 6 fórmulas, se pueden conocer solo 3 y con ellas derivar el resto o solo una más para poder obtener la ley de los gases ideales, que necesita 4.

Dado que cada fórmula sólo se cumple cuando sólo cambian las variables de estado implicadas en dicha fórmula mientras que las demás (que son una propiedad del gas pero no se indican explícitamente en dicha fórmula) permanecen constantes, no podemos simplemente usar el álgebra y combinarlas todas directamente. Por eso: Boyle hizo sus experimentos manteniendo N y T constantes y esto debe tenerse en cuenta (de la misma manera, cada experimento mantuvo algún parámetro como constante y esto debe tenerse en cuenta para la derivación).

Teniendo esto en mente, para realizar la derivación correctamente, uno debe imaginar que el gas es alterado por un proceso a la vez (como se hizo en los experimentos). La derivación usando 4 fórmulas puede verse así:

Al principio el gas tiene parámetros. ${\displaystyle P_{1},V_{1},N_{1},T_{1}}$

Digamos, empezando a cambiar solo la presión y el volumen, de acuerdo con la ley de Boyle ( Ecuación 1 ), entonces:

Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{1},T_{1}}$

Usando entonces la ecuación ( 5 ) para cambiar el número de partículas en el gas y la temperatura,

Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{2},T_{2}}$

Usando entonces la ecuación ( 6 ) para cambiar la presión y el número de partículas,

Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{3},V_{2},N_{3},T_{2}}$

Usando entonces la ley de Charles (ecuación 2) para cambiar el volumen y la temperatura del gas,

Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{3},V_{3},N_{3},T_{3}}$

Usando álgebra simple en las ecuaciones ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) y ( 10 ) se obtiene el resultado: o donde representa la constante de Boltzmann . $${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{N_{1}T_{1}}}={\frac {P_{3}V_{3}}{N_{3}T_{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {PV}{NT}}=k_{\text{B}},}$$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Otro resultado equivalente, utilizando el hecho de que , donde n es el número de moles en el gas y R es la constante universal de los gases , es: que se conoce como la ley de los gases ideales. ${\displaystyle nR=Nk_{\text{B}}}$ $${\displaystyle PV=nRT,}$$

Si se conocen tres de las seis ecuaciones, es posible derivar las tres restantes utilizando el mismo método. Sin embargo, como cada fórmula tiene dos variables, esto es posible solo para ciertos grupos de tres. Por ejemplo, si tuviera las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 4 ), no podría obtener ninguna más porque la combinación de dos de ellas solo le dará la tercera. Sin embargo, si tuviera las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ), podría obtener las seis ecuaciones porque la combinación de ( 1 ) y ( 2 ) dará ( 4 ), luego ( 1 ) y ( 3 ) dará ( 6 ), luego ( 4 ) y ( 6 ) darán ( 5 ), así como también lo haría la combinación de ( 2 ) y ( 3 ), como se explica en la siguiente relación visual:

Relación entre las seis leyes de los gases

donde los números representan las leyes de los gases numeradas arriba.

Si utilizaras el mismo método utilizado anteriormente en 2 de las 3 leyes en los vértices de un triángulo que tiene una "O" en su interior, obtendrías la tercera.

Por ejemplo:

Cambie primero solo la presión y el volumen:

Luego solo volumen y temperatura:

Entonces, como podemos elegir cualquier valor para , si fijamos , la ecuación ( 2' ) se convierte en: ${\displaystyle V_{3}}$ ${\displaystyle V_{1}=V_{3}}$

Combinando las ecuaciones ( 1' ) y ( 3' ) obtenemos , que es la ecuación ( 4 ), de la que no teníamos conocimiento previo hasta esta derivación. ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$

Teorético

Teoría cinética

La ley de los gases ideales también se puede derivar de los primeros principios utilizando la teoría cinética de los gases , en la que se hacen varias suposiciones simplificadoras, entre las que se destaca que las moléculas o átomos del gas son masas puntuales, que poseen masa pero no volumen significativo, y solo experimentan colisiones elásticas entre sí y con los lados del recipiente en el que se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética.

En primer lugar, demostramos que los supuestos fundamentales de la teoría cinética de los gases implican que

${\displaystyle PV={\frac {1}{3}}Nmv_{\text{rms}}^{2}.}$

Consideremos un recipiente en el sistema de coordenadas cartesianas. Para simplificar, suponemos que un tercio de las moléculas se mueven paralelas al eje , un tercio se mueve paralelamente al eje y un tercio se mueve paralelamente al eje . Si todas las moléculas se mueven con la misma velocidad , denotamos la presión correspondiente por . Elegimos un área en una pared del recipiente, perpendicular al eje . Cuando transcurra el tiempo, todas las moléculas en el volumen que se mueven en la dirección positiva del eje chocarán con el área. Hay moléculas en una parte del volumen del recipiente, pero solo una sexta parte (es decir, la mitad de un tercio) de ellas se mueve en la dirección positiva del eje . Por lo tanto, el número de moléculas que chocarán con el área cuando transcurra el tiempo es . ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle vtS}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle NvtS/V}$ ${\displaystyle vtS}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle NvtS/(6V)}$

Cuando una molécula rebota en la pared del recipiente, cambia su momento a . Por lo tanto, la magnitud del cambio del momento de una molécula es . La magnitud del cambio del momento de todas las moléculas que rebotan en el área cuando transcurre el tiempo es entonces . De y obtenemos ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=-\mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle |\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}|=2mv}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\Delta \mathbf {p} |=2mvN'=NtSmv^{2}/(3V)}$ ${\displaystyle F=|\Delta \mathbf {p} |/t}$ ${\displaystyle P_{0}=F/S}$

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{3}}Nm{\frac {v^{2}}{V}}.}$

Consideramos una situación en la que todas las moléculas se mueven con la misma velocidad . Ahora consideramos una situación en la que pueden moverse con diferentes velocidades, por lo que aplicamos una "transformación de promedio" a la ecuación anterior, reemplazando efectivamente por una nueva presión y por la media aritmética de todos los cuadrados de todas las velocidades de las moléculas, es decir, por Por lo tanto ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle v_{\text{rms}}^{2}.}$

${\displaystyle P={\frac {1}{3}}Nm{\frac {v_{\text{rms}}^{2}}{V}}}$

lo que da la fórmula deseada.

Utilizando la distribución de Maxwell-Boltzmann , la fracción de moléculas que tienen una velocidad en el rango de es , donde ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v+dv}$ ${\displaystyle f(v)\,dv}$

${\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{\rm {B}}T}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\rm {B}}T}}}}$

y denota la constante de Boltzmann. La velocidad cuadrática media se puede calcular mediante ${\displaystyle k}$

${\displaystyle v_{\text{rms}}^{2}=\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\,dv=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{\rm {B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\rm {B}}T}}}\,dv.}$

Utilizando la fórmula de integración

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1},\quad n\in \mathbb {N} ,\,a\in \mathbb {R} ^{+},}$

resulta que

${\displaystyle v_{\text{rms}}^{2}=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{\rm {B}}T}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {4!}{2!}}\left({\frac {\sqrt {\frac {2k_{\rm {B}}T}{m}}}{2}}\right)^{\!5}={\frac {3k_{\rm {B}}T}{m}},}$

De donde obtenemos la ley de los gases ideales:

${\displaystyle PV={\frac {1}{3}}Nm\left({\frac {3k_{\rm {B}}T}{m}}\right)=Nk_{\rm {B}}T.}$

Mecánica estadística

Sea q = ( q _x , q _y , q _z ) y p = ( p _x , p _y , p _z ) el vector de posición y el vector de momento de una partícula de un gas ideal, respectivamente. Sea F la fuerza neta sobre esa partícula. Entonces (dos veces) la energía cinética promediada en el tiempo de la partícula es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &=\left\langle q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}\right\rangle \\&=-\left\langle q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}\right\rangle -\left\langle q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}\right\rangle -\left\langle q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}\right\rangle =-3k_{\text{B}}T,\end{aligned}}}$

donde la primera igualdad es la segunda ley de Newton y la segunda línea utiliza las ecuaciones de Hamilton y el teorema de equipartición . Al sumar sobre un sistema de N partículas se obtiene

${\displaystyle 3Nk_{\rm {B}}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle .}$

Según la tercera ley de Newton y la hipótesis del gas ideal, la fuerza neta del sistema es la fuerza aplicada por las paredes del recipiente, y esta fuerza está dada por la presión P del gas.

${\displaystyle -\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =P\oint _{\text{surface}}\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,}$

donde d S es el elemento de área infinitesimal a lo largo de las paredes del contenedor. Dado que la divergencia del vector de posición q es

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,}$

El teorema de divergencia implica que

${\displaystyle P\oint _{\text{surface}}\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\text{volume}}\left(\nabla \cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,}$

donde dV es un volumen infinitesimal dentro del contenedor y V es el volumen total del contenedor.

Juntando estas igualdades obtenemos:

${\displaystyle 3Nk_{\text{B}}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =3PV,}$

lo que implica inmediatamente la ley de los gases ideales para N partículas:

${\displaystyle PV=Nk_{\rm {B}}T=nRT,}$

donde n = N / N _A es el número de moles de gas y R = N _A k _B es la constante del gas .

Otras dimensiones

Para un sistema de dimensión d , la presión del gas ideal es: ^[8]

${\displaystyle P^{(d)}={\frac {Nk_{\rm {B}}T}{L^{d}}},}$

donde es el volumen del dominio d -dimensional en el que existe el gas. Las dimensiones de la presión cambian con la dimensionalidad. ${\displaystyle L^{d}}$

Véase también

• Portal de física

• Constante de Boltzmann  : Constante física que relaciona la energía cinética de las partículas con la temperatura.
• Integral de configuración  : función en termodinámica y física estadística
• Presión dinámica  : energía cinética por unidad de volumen de un fluido
• Leyes de los gases
• Energía interna  : energía contenida dentro de un sistema.
• Ecuación de Van der Waals  : ecuación de estado de los gases que explica el comportamiento no ideal de los gases

Referencias

1. Clapeyron, E. (1835). "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur". Journal de l'École Polytechnique (en francés). XIV : 153–90.Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 153-190).
2. Krönig, A. (1856). "Grundzüge una teoría del gas". Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 99 (10): 315–22. Código Bib : 1856AnP...175..315K. doi : 10.1002/andp.18561751008.Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 315-22).
3. Clausius, R. (1857). "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nenen". Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 176 (3): 353–79. Código bibliográfico : 1857AnP...176..353C. doi : 10.1002/andp.18571760302.Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 353–79).
4. "Ecuación de Estado". Archivado desde el original el 23 de agosto de 2014. Consultado el 29 de agosto de 2010 .
5. Moran; Shapiro (2000). Fundamentos de termodinámica en ingeniería (4.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-31713-6.
6. Raymond, Kenneth W. (2010). Química general, orgánica y biológica: un enfoque integrado (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 186. ISBN 9780470504765. Recuperado el 29 de enero de 2019 .
7. JR Roebuck (1926). "El efecto Joule-Thomson en el aire". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 12 (1): 55–58. Bibcode :1926PNAS...12...55R. doi : 10.1073/pnas.12.1.55 . PMC 1084398 . PMID  16576959. 
8. Khotimah, Siti Nurul; Viridi, Sparisoma (7 de junio de 2011). "Función de partición de gas ideal monoatómico 1, 2 y 3-D: una revisión simple y completa". Jurnal Pengajaran Fisika Sekolah Menengah . 2 (2): 15-18. arXiv : 1106.1273 . Código Bib : 2011arXiv1106.1273N.

Lectura adicional

• Davis; Masten (2002). Principios de ingeniería y ciencia ambiental . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-235053-9.

Enlaces externos

• «Sitio web que da crédito a Benoît Paul Émile Clapeyron (1799-1864) en 1834». Archivado desde el original el 5 de julio de 2007.
• Integral de configuración (mecánica estadística) donde se proporciona una derivación alternativa de la ley de los gases ideales mediante la mecánica estadística, utilizando la relación entre la energía libre de Helmholtz y la función de partición , pero sin utilizar el teorema de equipartición. Vu-Quoc, L., Integral de configuración (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no está disponible; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012.
• Ecuaciones de los gases en detalle