Área firmada

Área interpretada positiva o negativamente

En matemáticas, el área con signo o área orientada de una región de un plano afín es su área con orientación especificada por el signo positivo o negativo , es decir, "más" ( ) ${\displaystyle +}$ o "menos" ( ) ${\displaystyle -}$ . De manera más general, el área con signo de una región de superficie arbitraria es su área de superficie con orientación especificada. Cuando el límite de la región es una curva simple , el área con signo también indica la orientación del límite.

Área plana

Polígonos

Las matemáticas de la antigua Mesopotamia , Egipto y Grecia no tenían un concepto explícito de números negativos o áreas con signo, pero tenían nociones de formas contenidas por algunas líneas límite o curvas, cuyas áreas podían calcularse o compararse pegando formas o cortando porciones, lo que equivalía a la suma o resta de áreas. ^[1] Esto se formalizó en el Libro I de los Elementos de Euclides , que comienza con varias nociones comunes que incluyen "si se suman iguales a iguales, entonces los totales son iguales" y "si se restan iguales a iguales, entonces los restos son iguales" (entre las formas planas, las de la misma área se llamaban "iguales"). ^[2] Las proposiciones del Libro I se refieren a las propiedades de los triángulos y paralelogramos , incluyendo por ejemplo que los paralelogramos con la misma base y en las mismas paralelas son iguales y que cualquier triángulo con la misma base y en las mismas paralelas tiene la mitad del área de estos paralelogramos, y una construcción para un paralelogramo de la misma área que cualquier "figura rectilínea" ( polígono simple ) dividiéndolo en triángulos . ^[3] Los geómetras griegos a menudo comparaban áreas planas por cuadratura (construyendo un cuadrado de la misma área que la forma), y el Libro II de los Elementos muestra cómo construir un cuadrado de la misma área que cualquier polígono dado.

Así como los números negativos simplifican la solución de ecuaciones algebraicas al eliminar la necesidad de invertir los signos en casos considerados por separado cuando una cantidad puede ser negativa, un concepto de área con signo simplifica análogamente los cálculos y demostraciones geométricas. En lugar de restar un área de otra, se pueden sumar dos áreas con signo de orientación opuesta, y el área resultante se puede interpretar de manera significativa independientemente de su signo. Por ejemplo, las proposiciones II.12-13 de los Elementos contienen un precursor geométrico de la ley de los cosenos que se divide en casos separados dependiendo de si el ángulo de un triángulo en consideración es obtuso o agudo , porque un rectángulo particular debe sumarse o restarse, respectivamente (el coseno del ángulo es negativo o positivo). Si se permite que el rectángulo tenga un área con signo, ambos casos se pueden fusionar en uno, con una sola demostración (que cubre adicionalmente el caso de ángulo recto donde el rectángulo se desvanece).

Al igual que con el área no orientada de polígonos simples en los Elementos , el área orientada de polígonos en el plano afín (incluidos aquellos con agujeros o autointersecciones ) se puede reducir convenientemente a sumas de áreas orientadas de triángulos, cada una de las cuales a su vez es la mitad del área orientada de un paralelogramo. El área orientada de cualquier polígono se puede escribir como un coeficiente de número real con signo (el área con signo de la forma) multiplicado por el área orientada de un polígono designado que se declara que tiene área unitaria; en el caso del plano euclidiano , esto es típicamente un cuadrado unitario .

Una de las formas computacionalmente más simples de dividir un polígono arbitrario (descrito por una lista ordenada de vértices) en triángulos es elegir un punto de origen arbitrario y luego formar el triángulo orientado entre el origen y cada par de vértices adyacentes en el triángulo. Cuando se le da al plano un sistema de coordenadas cartesianas , este método es la fórmula del cordón de zapato del siglo XVIII . ^[4]

Formas curvas

Los antiguos griegos no tenían un método general para calcular áreas de formas con límites curvos, y la cuadratura del círculo utilizando solo un número finito de pasos era un problema sin resolver (resultó imposible en el siglo XIX). Sin embargo, Arquímedes calculó exactamente la cuadratura de la parábola mediante el método de exhaución , sumando infinitas áreas triangulares en un precursor del cálculo integral moderno , y aproximó la cuadratura del círculo dando los primeros pasos de un proceso similar.

Integrales

El área azul sobre el eje x puede especificarse como área positiva, mientras que el área amarilla debajo del eje x es el área negativa.

La integral de una función real puede imaginarse como el área con signo entre el eje y la curva en un intervalo [ a , b ]. El área por encima del eje puede especificarse como positiva ( ) y el área por debajo del eje puede especificarse como negativa ( ) . ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -}$

El área negativa surge en el estudio del logaritmo natural como área con signo debajo de la curva para , es decir: ^[6] ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.}$$

En geometría diferencial , el signo del área de una región de una superficie está asociado con la orientación de la superficie. ^[7] El área de un conjunto A en geometría diferencial se obtiene como una integración de una densidad : donde d x y d y son 1-formas diferenciales que forman la densidad. Dado que el producto cuña tiene la propiedad anticomutativa , . La densidad está asociada con una orientación planar, algo que existe localmente en una variedad pero no necesariamente globalmente. En el caso del logaritmo natural, obtenido al integrar el área bajo la hipérbola xy = 1, la densidad d x ∧ d y es positiva para x > 1, pero como la integral está anclada a 1, la orientación del eje x se invierte en el intervalo unitario . Para esta integración, la orientación (− d x ) produce la densidad opuesta a la utilizada para x > 1. Con esta densidad opuesta, el área bajo la hipérbola y por encima del intervalo unitario se toma como un área negativa y, en consecuencia, el logaritmo natural es negativo en este dominio. $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$ ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$

Determinantes

Las áreas con signo fueron asociadas con determinantes por Felix Klein en 1908. ^[8] Cuando un triángulo se especifica mediante tres puntos, su área es: Por ejemplo, cuando entonces el área está dada por $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$ ${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$ ${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}.$

Para considerar un área de sector delimitada por una curva , se aproxima mediante triángulos delgados con un lado equipolento a (d x ,d y ) que tienen un área Entonces el " área del sector entre la curva y dos radios vectores" está dada por Por ejemplo, la orientación inversa de la hipérbola unitaria está dada por Entonces , el área del sector hiperbólico entre cero y θ es dando un ángulo hiperbólico negativo como un área de sector negativa. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$ ${\displaystyle x=\cosh t,\quad y=-\sinh t.}$ $${\displaystyle x\ dy-y\ dx=-\cosh ^{2}t\ dt+\sinh ^{2}t\ dt=-dt,}$$ $${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt={\frac {-t}{2}}{\big |}_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$

Equivalencia de Postnikov

El libro de texto Lecciones de geometría de Mikhail Postnikov de 1979 apela a ciertas transformaciones geométricas , descritas como funciones de pares de coordenadas , para expresar "elementos de área que flotan libremente". ^[9] Una aplicación de cizallamiento es cualquiera de los siguientes: ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$

para cualquier número real , mientras que una función de compresión es ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$

para cualquier número real positivo . Un elemento de área está relacionado con otro si una de las transformaciones da como resultado la segunda cuando se aplica a la primera. Como relación de equivalencia , los elementos de área se segmentan en clases de equivalencia de elementos relacionados, que son bivectores de Postnikov . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\thicksim )}$

Proposición: Si y ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$entonces ${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

Prueba: mapeo de corte ${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$mapeo de compresión

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$mapeo de cizallamiento

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$

Véase también

• Área vectorial
• Forma de volumen
• Distancia firmada
• Medida firmada
• Volumen firmado

Referencias

1. Høyrup, Jens (2005). "Tertium Non Datur: sobre los estilos de razonamiento en las matemáticas tempranas". En Mancosu, P.; Jørgensen, KF; Pedersen, SA (eds.). Visualización, explicación y estilos de razonamiento en matemáticas . Springer. págs. 91–121. doi :10.1007/1-4020-3335-4_6. ISBN 978-1-4020-3334-6.
2. Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides. Vol. I (2.ª ed.). Nueva York: Dover Publications . pág. 155.
3. Heath (1956), págs. 241–369.
4. Chen, Evan (2021). Geometría euclidiana en las olimpíadas matemáticas. Asociación Matemática de Estados Unidos . pág. 76. ISBN 978-1-61444-411-4. Número de serie LCCN  2016933605.
5. Comenetz, Michael (2002). Cálculo: los elementos. World Scientific . p. 95. ISBN 9810249047.
6. Stewart, James (1991). Cálculo de una variable (2.ª ed.). Brooks/Cole . pág. 358. ISBN. 0-534-16414-5.
7. Kreyszig, Erwin (1959). Geometría diferencial . University of Toronto Press . Pág. 114-115. ISBN. 978-1487592462.
8. Felix Klein , traductores ER Hendrick y CA Noble (1939)[1908] Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , tercera edición, páginas 3, 10, 173,4
9. Postnikov, Mikhail (1982) [1979]. "Conferencia 7: Bivectores". Lecciones de geometría: Semestre I Geometría analítica . Traducido por Shokurov, Vladimir. Moscú: Mir.

Enlaces externos

• Kleitman, Daniel . "Capítulo 15: Áreas y volúmenes de figuras de lados paralelos; determinantes". Página de inicio de Kleitman . Página de inicio del Departamento de Matemáticas del MIT.