En matemáticas , particularmente en geometría , la cuadratura (también llamada elevación al cuadrado ) es un proceso histórico de dibujar un cuadrado con la misma área que una figura plana dada o calcular el valor numérico de esa área . Un ejemplo clásico es la cuadratura del círculo (o la cuadratura del círculo). Los problemas de cuadratura sirvieron como una de las principales fuentes de problemas en el desarrollo del cálculo . Introducen temas importantes en el análisis matemático .
Los matemáticos griegos entendían la determinación del área de una figura como el proceso de construir geométricamente un cuadrado que tuviera la misma área ( cuadratura ), de ahí el nombre de cuadratura para este proceso. Los geómetras griegos no siempre tuvieron éxito (ver cuadratura del círculo ), pero sí llevaron a cabo cuadraturas de algunas figuras cuyos lados no eran simplemente segmentos de línea, como la luna de Hipócrates y la parábola . Según cierta tradición griega, estas construcciones debían realizarse utilizando solo un compás y una regla , aunque no todos los matemáticos griegos se adhirieron a este dictamen.
Para la cuadratura de un rectángulo de lados a y b es necesario construir un cuadrado de lado ( media geométrica de a y b ). Para ello se puede utilizar lo siguiente: si se dibuja un círculo de diámetro formado por la unión de segmentos de recta de longitudes a y b , entonces la altura ( BH en el diagrama) del segmento de recta trazado perpendicular al diámetro, desde el punto de unión de los mismos hasta el punto en que corta el círculo, es igual a la media geométrica de a y b . Una construcción geométrica similar resuelve los problemas de cuadratura de un paralelogramo y de un triángulo.
Los problemas de cuadratura de figuras curvilíneas son mucho más difíciles. En el siglo XIX se demostró que la cuadratura del círculo con regla y compás era imposible. [1] [2] Sin embargo, para algunas figuras sí se puede realizar una cuadratura. Las cuadraturas de la superficie de una esfera y de un segmento de parábola descubiertas por Arquímedes se convirtieron en el mayor logro del análisis en la antigüedad.
Para la demostración de estos resultados, Arquímedes utilizó el método de extenuación atribuido a Eudoxo . [3]
En la Europa medieval, la cuadratura significaba el cálculo del área por cualquier método. El más utilizado era el método de los indivisibles ; era menos riguroso que las construcciones geométricas de los griegos, pero era más simple y más poderoso. Con su ayuda, Galileo Galilei y Gilles de Roberval hallaron el área de un arco cicloide , Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola ( Opus Geometricum , 1647), [3] : 491 y Alphonse Antonio de Sarasa , discípulo y comentarista de Saint-Vincent, observó la relación de esta área con los logaritmos . [3] : 492 [4]
John Wallis algebrizó este método; escribió en su Arithmetica Infinitorum (1656) algunas series que son equivalentes a lo que ahora se llama la integral definida , y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory hicieron más progresos: cuadraturas para algunas curvas y espirales algebraicas . Christiaan Huygens realizó con éxito una cuadratura del área superficial de algunos sólidos de revolución .
La cuadratura de la hipérbola de Gregoire de Saint-Vincent y AA de Sarasa proporcionó una nueva función , el logaritmo natural , de importancia crítica. Con la invención del cálculo integral llegó un método universal para el cálculo de áreas. En respuesta, el término cuadratura se ha vuelto tradicional y, en su lugar, se utiliza más comúnmente la frase moderna " hallar el área" para lo que técnicamente es el cálculo de una integral definida univariante .
