Órbita

Trayectoria curva de un objeto alrededor de un punto

Una animación que muestra una órbita de baja excentricidad (casi un círculo, en rojo) y una órbita de alta excentricidad (elipse, en violeta)

En mecánica celeste , una órbita (también conocida como revolución orbital ) es la trayectoria curva de un objeto ^[1] como la trayectoria de un planeta alrededor de una estrella, o de un satélite natural alrededor de un planeta, o de un satélite artificial alrededor de un objeto o posición en el espacio como un planeta, luna, asteroide o punto de Lagrange . Normalmente, órbita se refiere a una trayectoria que se repite regularmente, aunque también puede referirse a una trayectoria que no se repite. En una aproximación cercana, los planetas y los satélites siguen órbitas elípticas , con el centro de masa orbitando en un punto focal de la elipse, ^[2] como lo describen las leyes de movimiento planetario de Kepler .

En la mayoría de las situaciones, el movimiento orbital se aproxima adecuadamente mediante la mecánica newtoniana , que explica la gravedad como una fuerza que obedece a una ley del cuadrado inverso . ^[3] Sin embargo, la teoría general de la relatividad de Albert Einstein , que explica la gravedad como debida a la curvatura del espacio-tiempo , con órbitas que siguen geodésicas , proporciona un cálculo y una comprensión más precisos de la mecánica exacta del movimiento orbital.

Historia

El universo centrado en la Tierra según Ptolomeo, ilustración de Andreas Cellarius de Harmonia Macrocosmica, 1660

Históricamente, los movimientos aparentes de los planetas fueron descritos por filósofos europeos y árabes utilizando la idea de esferas celestes . Este modelo postulaba la existencia de esferas o anillos móviles perfectos a los que estaban adheridos las estrellas y los planetas. Suponía que los cielos estaban fijos aparte del movimiento de las esferas y se desarrolló sin ningún conocimiento de la gravedad. Después de que los movimientos de los planetas se midieran con mayor precisión, se añadieron mecanismos teóricos como los deferentes y los epiciclos . Aunque el modelo era capaz de predecir con razonable precisión las posiciones de los planetas en el cielo, se requirieron cada vez más epiciclos a medida que las mediciones se volvieron más precisas, por lo que el modelo se volvió cada vez más difícil de manejar. Originalmente geocéntrico , fue modificado por Copérnico para colocar al Sol en el centro para ayudar a simplificar el modelo. El modelo fue cuestionado aún más durante el siglo XVI, cuando se observaron cometas atravesando las esferas. ^{[4] [5]}

Órbita elíptica de la Luna

La base para la comprensión moderna de las órbitas fue formulada por primera vez por Johannes Kepler, cuyos resultados se resumen en sus tres leyes del movimiento planetario. Primero, descubrió que las órbitas de los planetas en nuestro Sistema Solar son elípticas, no circulares (o epicíclicas ), como se había creído anteriormente, y que el Sol no está ubicado en el centro de las órbitas, sino en un foco . ^[6] Segundo, descubrió que la velocidad orbital de cada planeta no es constante, como se había pensado anteriormente, sino que la velocidad depende de la distancia del planeta al Sol. Tercero, Kepler encontró una relación universal entre las propiedades orbitales de todos los planetas que orbitan alrededor del Sol. Para los planetas, los cubos de sus distancias al Sol son proporcionales a los cuadrados de sus períodos orbitales. Júpiter y Venus, por ejemplo, están respectivamente a aproximadamente 5,2 y 0,723 UA de distancia del Sol, sus períodos orbitales respectivamente de aproximadamente 11,86 y 0,615 años. La proporcionalidad se ve en el hecho de que la razón para Júpiter, 5,2 ³ /11,86 ² , es prácticamente igual a la de Venus, 0,723 ³ /0,615 ² , de acuerdo con la relación. Las órbitas idealizadas que cumplen estas reglas se conocen como órbitas de Kepler .

Isaac Newton demostró que las leyes de Kepler eran derivables de su teoría de la gravitación y que, en general, las órbitas de los cuerpos sometidos a la gravedad eran secciones cónicas (esto supone que la fuerza de la gravedad se propaga instantáneamente). Newton demostró que, para un par de cuerpos, los tamaños de las órbitas son inversamente proporcionales a sus masas , y que esos cuerpos orbitan alrededor de su centro de masa común . Cuando un cuerpo es mucho más masivo que el otro (como es el caso de un satélite artificial que orbita alrededor de un planeta), es una aproximación conveniente tomar el centro de masa como coincidente con el centro del cuerpo más masivo.

Los avances en la mecánica newtoniana se utilizaron entonces para explorar variaciones de los supuestos simples detrás de las órbitas de Kepler, como las perturbaciones debidas a otros cuerpos, o el impacto de cuerpos esferoidales en lugar de esféricos. Joseph-Louis Lagrange desarrolló un nuevo enfoque de la mecánica newtoniana enfatizando la energía más que la fuerza, y avanzó en el problema de los tres cuerpos , descubriendo los puntos de Lagrange . En una reivindicación dramática de la mecánica clásica, en 1846 Urbain Le Verrier pudo predecir la posición de Neptuno basándose en perturbaciones inexplicadas en la órbita de Urano .

Albert Einstein, en su artículo de 1916, Fundamentos de la teoría general de la relatividad, explicó que la gravedad se debía a la curvatura del espacio-tiempo y eliminó la suposición de Newton de que los cambios en la gravedad se propagan instantáneamente. Esto llevó a los astrónomos a reconocer que la mecánica newtoniana no proporcionaba la mayor precisión para comprender las órbitas. En la teoría de la relatividad , las órbitas siguen trayectorias geodésicas que generalmente se aproximan muy bien con las predicciones newtonianas (excepto cuando hay campos gravitatorios muy fuertes y velocidades muy altas), pero las diferencias son mensurables. Esencialmente, toda la evidencia experimental que puede distinguir entre las teorías concuerda con la teoría de la relatividad dentro de la precisión de la medición experimental. La reivindicación original de la relatividad general es que pudo explicar la cantidad restante inexplicable en la precesión del perihelio de Mercurio notada por primera vez por Le Verrier. Sin embargo, la solución de Newton todavía se usa para la mayoría de los propósitos a corto plazo, ya que es significativamente más fácil de usar y suficientemente precisa.

Órbitas planetarias

Dentro de un sistema planetario , los planetas, planetas enanos , asteroides y otros planetas menores , cometas y desechos espaciales orbitan el baricentro del sistema en órbitas elípticas . Un cometa en una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un baricentro no está ligado gravitacionalmente a la estrella y, por lo tanto, no se considera parte del sistema planetario de la estrella. Los cuerpos que están ligados gravitacionalmente a uno de los planetas de un sistema planetario, ya sean satélites naturales o artificiales , siguen órbitas alrededor de un baricentro cerca o dentro de ese planeta.

Debido a las perturbaciones gravitacionales mutuas , las excentricidades de las órbitas planetarias varían con el tiempo. Mercurio , el planeta más pequeño del Sistema Solar, tiene la órbita más excéntrica. En la época actual , Marte tiene la siguiente excentricidad más grande, mientras que las excentricidades orbitales más pequeñas se observan en Venus y Neptuno .

Cuando dos objetos orbitan entre sí, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca uno del otro y el apoapsis es el punto en el que están más alejados. (Se utilizan términos más específicos para cuerpos específicos. Por ejemplo, perigeo y apogeo son las partes más baja y más alta de una órbita alrededor de la Tierra, mientras que perihelio y afelio son los puntos más cercano y más lejano de una órbita alrededor del Sol) .

En el caso de los planetas que orbitan alrededor de una estrella, se calcula que la masa de la estrella y de todos sus satélites se encuentra en un único punto llamado baricentro. Las trayectorias de todos los satélites de la estrella son órbitas elípticas alrededor de ese baricentro. Cada satélite de ese sistema tendrá su propia órbita elíptica con el baricentro en un punto focal de esa elipse. En cualquier punto a lo largo de su órbita, cualquier satélite tendrá un cierto valor de energía cinética y potencial con respecto al baricentro, y la suma de esas dos energías es un valor constante en cada punto a lo largo de su órbita. Como resultado, a medida que un planeta se acerca al periapsis , el planeta aumentará su velocidad a medida que su energía potencial disminuye; a medida que un planeta se acerca al apoapsis , su velocidad disminuirá a medida que su energía potencial aumenta.

Principios

Hay algunas formas comunes de entender las órbitas:

• Una fuerza, como la gravedad, atrae a un objeto en una trayectoria curva mientras intenta volar en línea recta.
• A medida que el objeto es atraído hacia el cuerpo masivo, cae hacia ese cuerpo. Sin embargo, si tiene suficiente velocidad tangencial , no caerá hacia el cuerpo, sino que continuará siguiendo la trayectoria curva causada por ese cuerpo indefinidamente. Se dice entonces que el objeto está orbitando alrededor del cuerpo.

La relación de velocidad de dos objetos en movimiento con masa se puede considerar en cuatro clases prácticas, con subtipos:

Sin órbita

Trayectorias suborbitales

Rango de trayectorias elípticas interrumpidas

Trayectorias orbitales (o simplemente, órbitas)

• Rango de trayectorias elípticas con punto más cercano opuesto al punto de disparo
• Camino circular
• Rango de trayectorias elípticas con punto más cercano en el punto de disparo

Trayectorias abiertas (o de escape)

• Trayectorias parabólicas
• Trayectorias hiperbólicas

Vale la pena señalar que los cohetes orbitales se lanzan primero verticalmente para elevar el cohete por encima de la atmósfera (lo que provoca resistencia por fricción) y luego se inclinan lentamente y terminan de encender el motor del cohete en paralelo a la atmósfera para alcanzar la velocidad de órbita.

Una vez en órbita, su velocidad los mantiene en órbita por encima de la atmósfera. Si, por ejemplo, una órbita elíptica se sumerge en aire denso, el objeto perderá velocidad y volverá a entrar (es decir, caerá). Ocasionalmente, una nave espacial interceptará intencionalmente la atmósfera, en un acto comúnmente conocido como maniobra de frenado aerodinámico.

Ilustración

La bala de cañón de Newton , una ilustración de cómo los objetos pueden "caer" en una curva

Como ilustración de una órbita alrededor de un planeta, el modelo de bala de cañón de Newton puede resultar útil (ver la imagen siguiente). Se trata de un " experimento mental " en el que un cañón situado en la cima de una montaña alta puede disparar una bala de cañón horizontalmente a cualquier velocidad inicial elegida. Se ignoran los efectos de la fricción del aire sobre la bala de cañón (o quizás la montaña es lo suficientemente alta como para que el cañón esté por encima de la atmósfera terrestre, que es lo mismo). ^[7]

Si el cañón dispara su bala con una velocidad inicial baja, la trayectoria de la bala se curva hacia abajo y golpea el suelo (A). A medida que aumenta la velocidad de disparo, la bala golpea el suelo más lejos (B) del cañón, porque mientras la bala sigue cayendo hacia el suelo, el suelo se curva cada vez más alejándose de ella (véase el primer punto, arriba). Todos estos movimientos son en realidad "órbitas" en un sentido técnico: describen una parte de una trayectoria elíptica alrededor del centro de gravedad, pero las órbitas se interrumpen al chocar con la Tierra.

Si la bala de cañón se dispara con suficiente velocidad, el suelo se curva alejándose de la bala al menos tanto como la bola cae, por lo que la bola nunca golpea el suelo. Ahora está en lo que podría llamarse una órbita ininterrumpida o circunnavegación. Para cualquier combinación específica de altura sobre el centro de gravedad y masa del planeta, hay una velocidad de disparo específica (no afectada por la masa de la bala, que se supone que es muy pequeña en relación con la masa de la Tierra) que produce una órbita circular , como se muestra en (C).

A medida que la velocidad de disparo aumenta más allá de esto, se producen órbitas elípticas ininterrumpidas; una de ellas se muestra en (D). Si el disparo inicial se realiza por encima de la superficie de la Tierra, como se muestra, también habrá órbitas elípticas ininterrumpidas a una velocidad de disparo más lenta; estas llegarán más cerca de la Tierra en el punto que se encuentra a media órbita más allá y directamente opuesto al punto de disparo, debajo de la órbita circular.

A una velocidad de lanzamiento horizontal específica denominada velocidad de escape , que depende de la masa del planeta y de la distancia del objeto al baricentro, se logra una órbita abierta (E) que tiene una trayectoria parabólica . A velocidades aún mayores, el objeto seguirá una serie de trayectorias hiperbólicas . En un sentido práctico, ambos tipos de trayectoria significan que el objeto se está "liberando" de la gravedad del planeta y "yendo al espacio" para no regresar jamás.

Leyes del movimiento de Newton

Ley de gravitación de Newton y leyes del movimiento para problemas de dos cuerpos

En la mayoría de las situaciones, los efectos relativistas pueden despreciarse, y las leyes de Newton dan una descripción suficientemente precisa del movimiento. La aceleración de un cuerpo es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre él, dividida por su masa, y la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo es proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos que se atraen y disminuye inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Con esta aproximación newtoniana, para un sistema de dos masas puntuales o cuerpos esféricos, solo influenciados por su gravitación mutua (llamado problema de dos cuerpos ), sus trayectorias pueden calcularse con exactitud. Si el cuerpo más pesado es mucho más masivo que el más pequeño, como en el caso de un satélite o una pequeña luna que orbita un planeta o para la Tierra que orbita alrededor del Sol, es lo suficientemente preciso y conveniente describir el movimiento en términos de un sistema de coordenadas que está centrado en el cuerpo más pesado, y decimos que el cuerpo más ligero está en órbita alrededor del más pesado. Para el caso en que las masas de dos cuerpos sean comparables, una solución newtoniana exacta todavía es suficiente y se puede obtener colocando el sistema de coordenadas en el centro de la masa del sistema.

Definición de energía potencial gravitacional

La energía está asociada con los campos gravitatorios . Un cuerpo estacionario alejado de otro puede realizar trabajo externo si es atraído hacia él, y por lo tanto tiene energía potencial gravitatoria. Dado que se requiere trabajo para separar dos cuerpos contra la atracción de la gravedad, su energía potencial gravitatoria aumenta a medida que se separan y disminuye a medida que se aproximan. Para masas puntuales, la energía gravitatoria disminuye a cero a medida que se aproximan a una separación cero. Es conveniente y convencional asignar a la energía potencial un valor cero cuando están separados por una distancia infinita y, por lo tanto, tiene un valor negativo (ya que disminuye desde cero) para distancias finitas más pequeñas.

Energías orbitales y formas de órbitas

Cuando sólo dos cuerpos gravitacionales interactúan, sus órbitas siguen una sección cónica . La órbita puede ser abierta (lo que implica que el objeto nunca regresa) o cerrada (que regresa). Lo que es depende de la energía total ( energía cinética + energía potencial ) del sistema. En el caso de una órbita abierta, la velocidad en cualquier posición de la órbita es al menos la velocidad de escape para esa posición, en el caso de una órbita cerrada, la velocidad es siempre menor que la velocidad de escape. Dado que la energía cinética nunca es negativa si se adopta la convención común de tomar la energía potencial como cero en una separación infinita, las órbitas acotadas tendrán energía total negativa, las trayectorias parabólicas energía total cero y las órbitas hiperbólicas energía total positiva.

Una órbita abierta tendrá forma parabólica si tiene exactamente la velocidad de escape en ese punto de su trayectoria, y tendrá forma de hipérbola cuando su velocidad sea mayor que la velocidad de escape. Cuando los cuerpos con velocidad de escape o mayor se aproximan entre sí, se curvarán brevemente uno alrededor del otro en el momento de su aproximación más cercana y luego se separarán, para siempre.

Todas las órbitas cerradas tienen forma de elipse . Una órbita circular es un caso especial, en el que los focos de la elipse coinciden. El punto en el que el cuerpo en órbita está más cerca de la Tierra se llama perigeo , y cuando orbita alrededor de un cuerpo distinto de la Tierra se llama periapsis (menos apropiadamente, "perifoco" o "pericentrón"). El punto en el que el satélite está más alejado de la Tierra se llama apogeo , apoapsis o, a veces, apifoco o apocentrón. Una línea trazada desde el periapsis hasta el apoapsis es la línea de ábsides . Este es el eje mayor de la elipse, la línea que pasa por su parte más larga.

Leyes de Kepler

Los cuerpos que siguen órbitas cerradas repiten su trayectoria con un tiempo determinado llamado período. Este movimiento se describe mediante las leyes empíricas de Kepler, que pueden deducirse matemáticamente a partir de las leyes de Newton. Estas pueden formularse de la siguiente manera:

1. La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de los puntos focales de esa elipse. [Este punto focal es en realidad el baricentro del sistema Sol-planeta ; para simplificar, esta explicación supone que la masa del Sol es infinitamente mayor que la de ese planeta.] La órbita del planeta se encuentra en un plano, llamado plano orbital . El punto de la órbita más cercano al cuerpo que lo atrae es el periapsis. El punto más alejado del cuerpo que lo atrae se llama apoapsis. También hay términos específicos para las órbitas alrededor de cuerpos particulares; las cosas que orbitan alrededor del Sol tienen un perihelio y un afelio , las cosas que orbitan alrededor de la Tierra tienen un perigeo y un apogeo , y las cosas que orbitan alrededor de la Luna tienen un periluno y un apoluno (o periseleno y aposeleno respectivamente). Una órbita alrededor de cualquier estrella , no solo del Sol, tiene un periastrón y un apastrón .
2. A medida que el planeta se mueve en su órbita, la línea que va del Sol al planeta recorre un área constante del plano orbital durante un período de tiempo determinado, independientemente de qué parte de su órbita recorra el planeta durante ese período de tiempo. Esto significa que el planeta se mueve más rápido cerca de su perihelio que cerca de su afelio , porque a menor distancia necesita trazar un arco mayor para cubrir la misma área. Esta ley suele enunciarse como "áreas iguales en tiempos iguales".
3. Para una órbita dada, la relación entre el cubo de su semieje mayor y el cuadrado de su período es constante.

Limitaciones de la ley de gravitación de Newton

Nótese que mientras que las órbitas ligadas de una masa puntual o un cuerpo esférico con un campo gravitatorio newtoniano son elipses cerradas , que repiten la misma trayectoria de manera exacta e indefinida, cualquier efecto no esférico o no newtoniano (como el causado por la ligera achatación de la Tierra , o por efectos relativistas , cambiando así el comportamiento del campo gravitatorio con la distancia) hará que la forma de la órbita se desvíe de las elipses cerradas características del movimiento newtoniano de dos cuerpos . Las soluciones de dos cuerpos fueron publicadas por Newton en Principia en 1687. En 1912, Karl Fritiof Sundman desarrolló una serie infinita convergente que resuelve el problema de los tres cuerpos ; sin embargo, converge demasiado lentamente para ser de mucha utilidad. A excepción de casos especiales como los puntos lagrangianos , no se conoce ningún método para resolver las ecuaciones de movimiento para un sistema con cuatro o más cuerpos.

Aproximaciones a los problemas de muchos cuerpos

En lugar de una solución exacta en forma cerrada, las órbitas con muchos cuerpos se pueden aproximar con una precisión arbitrariamente alta. Estas aproximaciones adoptan dos formas:

Una forma toma como base el movimiento elíptico puro y añade términos de perturbación para tener en cuenta la influencia gravitatoria de múltiples cuerpos. Esto resulta conveniente para calcular las posiciones de los cuerpos astronómicos. Las ecuaciones de movimiento de las lunas, los planetas y otros cuerpos se conocen con gran precisión y se utilizan para generar tablas para la navegación celeste . Aun así, hay fenómenos seculares que deben abordarse mediante métodos posnewtonianos .

La forma de ecuación diferencial se utiliza con fines científicos o de planificación de misiones. Según las leyes de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo será igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración ( F = ma ). Por lo tanto, las aceleraciones se pueden expresar en términos de posiciones. Los términos de perturbación son mucho más fáciles de describir en esta forma. Predecir posiciones y velocidades posteriores a partir de valores iniciales de posición y velocidad corresponde a resolver un problema de valor inicial . Los métodos numéricos calculan las posiciones y velocidades de los objetos en un corto tiempo en el futuro y luego repiten el cálculo hasta la saciedad. Sin embargo, los pequeños errores aritméticos debido a la precisión limitada de las matemáticas de una computadora son acumulativos, lo que limita la precisión de este enfoque.

Las simulaciones diferenciales con grandes cantidades de objetos realizan los cálculos de forma jerárquica por pares entre centros de masa. Utilizando este esquema se han simulado galaxias, cúmulos estelares y otros grandes conjuntos de objetos. ^[8]

Análisis newtoniano del movimiento orbital

La siguiente deducción se aplica a una órbita elíptica de este tipo. Comenzamos únicamente con la ley de gravitación de Newton que establece que la aceleración gravitacional hacia el cuerpo central está relacionada con la inversa del cuadrado de la distancia entre ellos, es decir

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

donde F ₂ es la fuerza que actúa sobre la masa m ₂ causada por la atracción gravitacional que la masa m ₁ tiene por m ₂ , G es la constante gravitacional universal y r es la distancia entre los dos centros de masas.

De la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre m ₂ en relación con la aceleración de ese cuerpo:

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

donde A ₂ es la aceleración de m ₂ causada por la fuerza de atracción gravitatoria F ₂ de m ₁ que actúa sobre m ₂ .

Combinando las ecuaciones 1 y 2:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

Resolviendo la aceleración, A ₂ :

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

donde es el parámetro gravitacional estándar , en este caso . Se entiende que el sistema que se describe es m ₂ , por lo tanto, se pueden omitir los subíndices. ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle Gm_{1}}$

Suponemos que el cuerpo central es lo suficientemente masivo como para considerarlo estacionario e ignoramos los efectos más sutiles de la relatividad general .

Cuando un péndulo o un objeto unido a un resorte oscila en una elipse, la aceleración/fuerza interna es proporcional a la distancia. Debido a la forma en que se suman los vectores, el componente de la fuerza en las direcciones o en las también es proporcional a los componentes respectivos de las distancias, . Por lo tanto, todo el análisis se puede realizar por separado en estas dimensiones. Esto da como resultado las ecuaciones parabólicas armónicas y de la elipse. ${\displaystyle A=F/m=-kr.}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}}$ ${\displaystyle x=A\cos(t)}$ ${\displaystyle y=B\sin(t)}$

La ubicación del objeto en órbita en el momento actual se encuentra en el plano utilizando el cálculo vectorial en coordenadas polares tanto con la base euclidiana estándar como con la base polar con el origen coincidiendo con el centro de fuerza. Sea la distancia entre el objeto y el centro y el ángulo que ha rotado. Sean y las bases euclidianas estándar y sean y las bases polares radial y transversal, siendo el primero el vector unitario que apunta desde el cuerpo central a la ubicación actual del objeto en órbita y el segundo el vector unitario ortogonal que apunta en la dirección en la que viajaría el objeto en órbita si orbitara en un círculo en sentido antihorario. Entonces el vector hacia el objeto en órbita es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {O} }}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

Usamos y para denotar las derivadas estándar de cómo esta distancia y ángulo cambian con el tiempo. Tomamos la derivada de un vector para ver cómo cambia con el tiempo restando su ubicación en el tiempo de la ubicación en el tiempo y dividiendo por . El resultado también es un vector. Debido a que nuestro vector base se mueve a medida que el objeto orbita, comenzamos por derivarlo. Desde el tiempo hasta , el vector mantiene su inicio en el origen y gira desde un ángulo hasta el cual mueve su cabeza una distancia en la dirección perpendicular dando una derivada de . ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

Ahora podemos encontrar la velocidad y la aceleración de nuestro objeto en órbita.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {O} }}&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

Los coeficientes de y dan las aceleraciones en las direcciones radial y transversal. Como se dijo, Newton da esta primera debido a que la gravedad es y la segunda es cero. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

La ecuación (2) se puede reorganizar mediante integración por partes.

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

Podemos multiplicar por porque no es cero a menos que el objeto en órbita se estrelle. Entonces, si la derivada es cero, la función es una constante. ${\displaystyle r}$

que es en realidad la prueba teórica de la segunda ley de Kepler (Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales). La constante de integración, h , es el momento angular por unidad de masa .

Para obtener una ecuación para la órbita a partir de la ecuación (1), necesitamos eliminar el tiempo. ^[9] (Véase también la ecuación de Binet ). En coordenadas polares, esto expresaría la distancia del objeto en órbita desde el centro como una función de su ángulo . Sin embargo, es más fácil introducir la variable auxiliar y expresar como una función de . Las derivadas de con respecto al tiempo pueden reescribirse como derivadas de con respecto al ángulo. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u=1/r}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$(reelaboración (3))

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

Conectando estos en (1) se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para la fuerza gravitacional –o, más generalmente, para cualquier ley de fuerza del cuadrado inverso– el lado derecho de la ecuación se convierte en una constante y la ecuación se considera la ecuación armónica (hasta un desplazamiento del origen de la variable dependiente). La solución es:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

donde A y θ ₀ son constantes arbitrarias. Esta ecuación resultante de la órbita del objeto es la de una elipse en forma polar con respecto a uno de los puntos focales. Esto se expresa en una forma más estándar dejando que sea la excentricidad , que cuando se reordena vemos: ${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

Nótese que al dejar que sea el semieje mayor y que el eje largo de la elipse esté a lo largo de la coordenada x positiva obtenemos: ${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

Cuando el sistema de dos cuerpos está bajo la influencia del par, el momento angular h no es constante. Después del siguiente cálculo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

obtendremos la ecuación de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos. ^[10]

Movimiento orbital relativista

El análisis clásico ( newtoniano ) de la mecánica orbital que se ha expuesto anteriormente supone que los efectos más sutiles de la relatividad general , como el arrastre de los marcos de referencia y la dilatación gravitacional del tiempo, son despreciables. Los efectos relativistas dejan de ser despreciables cuando se encuentran cerca de cuerpos muy masivos (como ocurre con la precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol) o cuando se necesita una precisión extrema (como ocurre con los cálculos de los elementos orbitales y las referencias de señales temporales para los satélites GPS ^[11] ).

Planos orbitales

Hasta ahora el análisis ha sido bidimensional; resulta que una órbita no perturbada es bidimensional en un plano fijo en el espacio y, por lo tanto, la extensión a tres dimensiones requiere simplemente rotar el plano bidimensional en el ángulo requerido en relación con los polos del cuerpo planetario involucrado.

La rotación para realizar esto en tres dimensiones requiere tres números para determinarse de forma única; tradicionalmente estos se expresan como tres ángulos.

Periodo orbital

El período orbital es simplemente el tiempo que tarda un cuerpo en órbita en completar una órbita.

Especificación de órbitas

Se requieren seis parámetros para especificar una órbita kepleriana alrededor de un cuerpo. Por ejemplo, los tres números que especifican la posición inicial del cuerpo y los tres valores que especifican su velocidad definirán una órbita única que se puede calcular hacia adelante (o hacia atrás) en el tiempo. Sin embargo, tradicionalmente los parámetros utilizados son ligeramente diferentes.

El conjunto de elementos orbitales que se utiliza tradicionalmente se denomina conjunto de elementos keplerianos , en honor a Johannes Kepler y sus leyes. Los elementos keplerianos son seis:

• Inclinación ( i )
• Longitud del nodo ascendente (Ω)
• Argumento de periapsis (ω)
• Excentricidad ( e )
• Semieje mayor ( a )
• Anomalía media en la época ( M ₀ ).

En principio, una vez que se conocen los elementos orbitales de un cuerpo, su posición puede calcularse hacia delante y hacia atrás indefinidamente en el tiempo. Sin embargo, en la práctica, las órbitas se ven afectadas o perturbadas por otras fuerzas que no sean la simple gravedad de una fuente puntual supuesta (véase la siguiente sección), y por lo tanto los elementos orbitales cambian con el tiempo.

Nótese que, a menos que la excentricidad sea cero, a no es el radio orbital promedio. La distancia orbital promediada en el tiempo se da por: ^[12]

${\displaystyle {\bar {r}}=a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)}$

Perturbaciones

Una perturbación orbital es cuando una fuerza o impulso que es mucho menor que la fuerza total o el impulso promedio del cuerpo gravitacional principal y que es externo a los dos cuerpos en órbita provoca una aceleración que cambia los parámetros de la órbita a lo largo del tiempo.

Perturbaciones radiales, progradas y transversales

Un pequeño impulso radial dado a un cuerpo en órbita cambia la excentricidad , pero no el período orbital (a primer orden). Un impulso progrado o retrógrado (es decir, un impulso aplicado a lo largo del movimiento orbital) cambia tanto la excentricidad como el período orbital . En particular, un impulso progrado en el periapsis aumenta la altitud en el apoapsis , y viceversa, y un impulso retrógrado hace lo contrario. Un impulso transversal (fuera del plano orbital) causa la rotación del plano orbital sin cambiar el período o la excentricidad. En todos los casos, una órbita cerrada seguirá intersectando el punto de perturbación.

Desintegración orbital

Si una órbita gira alrededor de un cuerpo planetario con una atmósfera significativa, su órbita puede decaer debido a la resistencia . Particularmente en cada periapsis , el objeto experimenta resistencia atmosférica, perdiendo energía. Cada vez, la órbita se vuelve menos excéntrica (más circular) porque el objeto pierde energía cinética precisamente cuando esa energía está en su máximo. Esto es similar al efecto de desacelerar un péndulo en su punto más bajo; el punto más alto de la oscilación del péndulo se vuelve más bajo. Con cada desaceleración sucesiva, una mayor parte de la trayectoria de la órbita se ve afectada por la atmósfera y el efecto se vuelve más pronunciado. Finalmente, el efecto se vuelve tan grande que la energía cinética máxima no es suficiente para devolver la órbita por encima de los límites del efecto de la resistencia atmosférica. Cuando esto sucede, el cuerpo caerá rápidamente en espiral e intersectará al cuerpo central.

Los límites de una atmósfera varían enormemente. Durante un máximo solar , la atmósfera terrestre provoca una resistencia hasta cien kilómetros mayor que durante un mínimo solar.

Algunos satélites con cables conductores largos también pueden experimentar decaimiento orbital debido al arrastre electromagnético del campo magnético de la Tierra . A medida que el cable corta el campo magnético, actúa como un generador, moviendo electrones de un extremo al otro. La energía orbital se convierte en calor en el cable.

Las órbitas pueden ser influenciadas artificialmente mediante el uso de motores de cohetes que cambian la energía cinética del cuerpo en algún punto de su trayectoria. Se trata de la conversión de energía química o eléctrica en energía cinética. De esta manera se pueden facilitar los cambios en la forma o la orientación de la órbita.

Otro método para influir artificialmente en una órbita es el uso de velas solares o velas magnéticas . Estas formas de propulsión no requieren ningún otro combustible o aporte de energía que el del Sol, por lo que pueden utilizarse indefinidamente. Véase statite para conocer uno de esos usos propuestos.

La desintegración orbital puede producirse debido a las fuerzas de marea de los objetos que se encuentran por debajo de la órbita sincrónica del cuerpo que orbitan. La gravedad del objeto en órbita genera protuberancias de marea en el primario y, como el objeto que orbita está por debajo de la órbita sincrónica, se mueve más rápido que la superficie del cuerpo, las protuberancias se quedan un pequeño ángulo por detrás de él. La gravedad de las protuberancias está ligeramente fuera del eje primario-satélite y, por lo tanto, tiene un componente junto con el movimiento del satélite. La protuberancia cercana ralentiza el objeto más de lo que la protuberancia lejana lo acelera y, como resultado, la órbita decae. Por el contrario, la gravedad del satélite sobre las protuberancias aplica un par de torsión en el primario y acelera su rotación. Los satélites artificiales son demasiado pequeños para tener un efecto de marea apreciable en los planetas que orbitan, pero varias lunas del Sistema Solar están experimentando desintegración orbital por este mecanismo. La luna más interna de Marte, Fobos, es un excelente ejemplo y se espera que impacte la superficie de Marte o se rompa en un anillo dentro de 50 millones de años.

Las órbitas pueden decaer mediante la emisión de ondas gravitacionales . Este mecanismo es extremadamente débil para la mayoría de los objetos estelares y solo se vuelve significativo en casos en los que existe una combinación de masa extrema y aceleración extrema, como en el caso de los agujeros negros o las estrellas de neutrones que orbitan entre sí muy de cerca.

Oblatidad

El análisis estándar de los cuerpos en órbita supone que todos ellos están formados por esferas uniformes o, más generalmente, por capas concéntricas, cada una de ellas con una densidad uniforme. Se puede demostrar que dichos cuerpos son gravitacionalmente equivalentes a fuentes puntuales.

Sin embargo, en el mundo real, muchos cuerpos rotan, y esto introduce achatamiento y distorsiona el campo gravitatorio, y da un momento cuadrupolar al campo gravitatorio que es significativo a distancias comparables al radio del cuerpo. En el caso general, el potencial gravitatorio de un cuerpo rotatorio como, por ejemplo, un planeta, suele expandirse en multipolos que explican las desviaciones del mismo de la simetría esférica. Desde el punto de vista de la dinámica de los satélites, de particular relevancia son los denominados coeficientes armónicos zonales pares, o zonales pares, ya que inducen perturbaciones orbitales seculares que son acumulativas en lapsos de tiempo más largos que el período orbital. ^{[13] [14] [15]} Dependen de la orientación del eje de simetría del cuerpo en el espacio, afectando, en general, a toda la órbita, con la excepción del semieje mayor.

Múltiples cuerpos gravitacionales

Los efectos de otros cuerpos gravitacionales pueden ser significativos. Por ejemplo, la órbita de la Luna no se puede describir con precisión sin tener en cuenta la acción de la gravedad del Sol y de la Tierra. Un resultado aproximado es que los cuerpos normalmente tendrán órbitas razonablemente estables alrededor de un planeta o una luna más pesados, a pesar de estas perturbaciones, siempre que orbiten dentro de la esfera de Hill del cuerpo más pesado .

Cuando hay más de dos cuerpos gravitando, se habla de un problema de n cuerpos . La mayoría de los problemas de n cuerpos no tienen una solución en forma cerrada , aunque se han formulado algunos casos especiales.

Radiación luminosa y viento estelar

En el caso de los cuerpos más pequeños, en particular, la luz y el viento estelar pueden provocar perturbaciones significativas en la actitud y la dirección del movimiento del cuerpo, y con el tiempo pueden ser significativas. Entre los cuerpos planetarios, el movimiento de los asteroides se ve particularmente afectado durante largos períodos cuando los asteroides giran en relación con el Sol.

Órbitas extrañas

Los matemáticos han descubierto que, en principio, es posible tener múltiples cuerpos en órbitas no elípticas que se repitan periódicamente, aunque la mayoría de estas órbitas no son estables con respecto a pequeñas perturbaciones en la masa, la posición o la velocidad. Sin embargo, se han identificado algunos casos estables especiales, incluida una órbita plana en forma de ocho ocupada por tres cuerpos en movimiento . ^[16] Estudios posteriores han descubierto que también son posibles órbitas no planas, incluida una que involucra 12 masas que se mueven en 4 órbitas aproximadamente circulares e interconectadas topológicamente equivalentes a los bordes de un cuboctaedro . ^[17]

Se piensa que es extremadamente improbable encontrar tales órbitas en forma natural en el universo, debido a la improbabilidad de que las condiciones requeridas se den por casualidad. ^[17]

Astrodinámica

La mecánica orbital o astrodinámica es la aplicación de la balística y la mecánica celeste a los problemas prácticos relacionados con el movimiento de cohetes y otras naves espaciales . El movimiento de estos objetos suele calcularse a partir de las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . Es una disciplina fundamental dentro del diseño y control de misiones espaciales. La mecánica celeste trata de manera más amplia la dinámica orbital de los sistemas bajo la influencia de la gravedad , incluidas las naves espaciales y los cuerpos astronómicos naturales como los sistemas estelares, los planetas , las lunas y los cometas . La mecánica orbital se centra en las trayectorias de las naves espaciales , incluidas las maniobras orbitales , los cambios de plano orbital y las transferencias interplanetarias, y los planificadores de misiones la utilizan para predecir los resultados de las maniobras de propulsión . La relatividad general es una teoría más exacta que las leyes de Newton para calcular órbitas y, a veces, es necesaria para una mayor precisión o en situaciones de alta gravedad (como las órbitas cercanas al Sol).

Órbitas terrestres

• Órbita terrestre baja (LEO): órbitas geocéntricas con altitudes de hasta 2000 km (0–1240 millas ). ^[18]
• Órbita terrestre media (MEO): órbitas geocéntricas que varían en altitud desde los 2000 km (1240 millas ) hasta justo por debajo de la órbita geosincrónica a 35 786 kilómetros (22 236 millas). También conocida como órbita circular intermedia . Estas se encuentran "más comúnmente a 20 200 kilómetros (12 600 millas), o 20 650 kilómetros (12 830 millas), con un período orbital de 12 horas". ^[19]
• Tanto la órbita geoestacionaria (GEO) como la órbita geoestacionaria (GSO) son órbitas alrededor de la Tierra que coinciden con el período de rotación sideral de la Tierra. Todas las órbitas geoestacionarias y geosincrónicas tienen un semieje mayor de 42.164 km (26.199 mi). ^[20] Todas las órbitas geoestacionarias también son geosincrónicas, pero no todas las órbitas geosincrónicas son geoestacionarias. Una órbita geoestacionaria se mantiene exactamente por encima del ecuador, mientras que una órbita geosincrónica puede oscilar de norte a sur para cubrir más superficie de la Tierra. Ambas completan una órbita completa de la Tierra por día sideral (en relación con las estrellas, no con el Sol).
• Órbita terrestre alta : órbitas geocéntricas por encima de la altitud de la órbita geosincrónica 35.786 km (22.240 millas ). ^[19]

Escalando en gravedad

La constante gravitacional G se ha calculado como:

• (6,6742 ± 0,001) × 10 ⁻¹¹ (kg/m ³ ) ⁻¹ s ⁻² .

Por lo tanto, la constante tiene una densidad de dimensión ^{de −1} por ⁻² . Esto corresponde a las siguientes propiedades.

La escala de las distancias (incluidos los tamaños de los cuerpos, manteniendo las densidades iguales) da órbitas similares sin escalar el tiempo: si, por ejemplo, las distancias se reducen a la mitad, las masas se dividen por 8, las fuerzas gravitacionales por 16 y las aceleraciones gravitacionales por 2. Por lo tanto, las velocidades se reducen a la mitad y los períodos orbitales y otros tiempos de viaje relacionados con la gravedad permanecen iguales. Por ejemplo, cuando se deja caer un objeto desde una torre, el tiempo que tarda en caer al suelo permanece igual con un modelo a escala de la torre sobre un modelo a escala de la Tierra.

La escala de distancias manteniendo las masas iguales (en el caso de masas puntuales, o ajustando las densidades) da órbitas similares; si las distancias se multiplican por 4, las fuerzas gravitacionales y las aceleraciones se dividen por 16, las velocidades se reducen a la mitad y los períodos orbitales se multiplican por 8.

Cuando todas las densidades se multiplican por 4, las órbitas son las mismas; las fuerzas gravitacionales se multiplican por 16 y las aceleraciones por 4, las velocidades se duplican y los períodos orbitales se reducen a la mitad.

Cuando todas las densidades se multiplican por 4 y todos los tamaños se reducen a la mitad, las órbitas son similares; las masas se dividen por 2, las fuerzas gravitacionales son las mismas, las aceleraciones gravitacionales se duplican. Por lo tanto, las velocidades son las mismas y los períodos orbitales se reducen a la mitad.

En todos estos casos de escalamiento, si se multiplican las densidades por 4, los tiempos se reducen a la mitad; si se duplican las velocidades, las fuerzas se multiplican por 16.

Estas propiedades se ilustran en la fórmula (derivada de la fórmula para el período orbital )

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

para una órbita elíptica con semieje mayor a , de un cuerpo pequeño alrededor de un cuerpo esférico con radio r y densidad media ρ , donde T es el período orbital. Véase también la tercera ley de Kepler .

Patentes

La aplicación de determinadas órbitas o maniobras orbitales a fines útiles específicos ha sido objeto de patentes. ^[21]

Bloqueo de mareas

Algunos cuerpos celestes están en contacto con otros por efecto de las mareas, lo que significa que un lado del cuerpo celeste está permanentemente orientado hacia su objeto anfitrión. Este es el caso del sistema Tierra- Luna y Plutón-Caronte.

Véase también

• Las efemérides son una compilación de posiciones de objetos astronómicos naturales y satélites artificiales en el cielo en un momento o momentos determinados.
• Deriva libre
• Roseta Klemperer
• Lista de órbitas
• Órbita de Molniya
• Determinación de la órbita
• Vuelo espacial orbital
• Sistema de coordenadas perifocales
• Órbita polar
• Trayectoria radial
• Órbita de Rosetta
• Modelo VSOP

Referencias

1. "órbita (astronomía)". Encyclopædia Britannica (edición en línea). Archivado desde el original el 5 de mayo de 2015 . Consultado el 28 de julio de 2008 .
2. "The Space Place :: Qué es un baricentro". NASA. Archivado desde el original el 8 de enero de 2013. Consultado el 26 de noviembre de 2012 .
3. Kuhn, La revolución copernicana , págs. 238, 246-252
4. Encyclopædia Britannica , 1968, vol. 2, pág. 645
5. M Caspar, Kepler (1959, Abelard-Schuman), págs. 131-140; A Koyré, La revolución astronómica: Copérnico, Kepler, Borelli (1973, Methuen), págs. 277-279
6. Jones, Andrew. "Las leyes del movimiento planetario de Kepler". about.com . Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2016. Consultado el 1 de junio de 2008 .
7. Véanse las páginas 6 a 8 del "Tratado del sistema del mundo" de Newton, archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine (escrito en 1685, traducido al inglés en 1728; véase 'Principia' de Newton – Una versión preliminar ), para la versión original de este experimento mental tipo "bala de cañón".
8. Carleton, Timothy; Guo, Yicheng; Munshi, Ferah; Tremmel, Michael; Wright, Anna (2021). "Un exceso de cúmulos globulares en galaxias ultradifusas formadas a través del calentamiento de marea". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 502 : 398–406. arXiv : 2008.11205 . doi : 10.1093/mnras/stab031 .
9. Fitzpatrick, Richard (2 de febrero de 2006). «Órbitas planetarias». Mecánica clásica: un curso introductorio . Universidad de Texas en Austin. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2001.
10. Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos". Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode :2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
11. Pogge, Richard W.; "Relatividad en el mundo real: el sistema de navegación GPS" Archivado el 14 de noviembre de 2015 en Wayback Machine . Consultado el 25 de enero de 2008.
12. Festou, M.; Keller, H. Uwe; Weaver, Harold A. (2004). Cometas II. University of Arizona Press. pág. 157. ISBN 9780816524501.
13. Iorio, L. (2011). "Movimientos estelares perturbados alrededor del agujero negro giratorio en Sgr A* para una orientación genérica de su eje de giro". Physical Review D . 84 (12): 124001. arXiv : 1107.2916 . Bibcode :2011PhRvD..84l4001I. doi :10.1103/PhysRevD.84.124001. S2CID  118305813.
14. Renzetti, G. (2013). "Precesiones orbitales de satélites causadas por el momento de masa octupolar de un cuerpo no esférico arbitrariamente orientado en el espacio". Revista de Astrofísica y Astronomía . 34 (4): 341–348. Bibcode :2013JApA...34..341R. doi :10.1007/s12036-013-9186-4. S2CID  120030309.
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16. Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (31 de octubre de 2000). "Una notable solución periódica del problema de los tres cuerpos en el caso de masas iguales". arXiv : math/0011268 .
17. Peterson, Ivars (23 de septiembre de 2013). «Órbitas extrañas». Science News . Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2015. Consultado el 21 de julio de 2017 .
18. "Estándar de seguridad de la NASA 1740.14, directrices y procedimientos de evaluación para limitar los desechos orbitales" (PDF) . Oficina de Seguridad y Garantía de Misiones. 1 de agosto de 1995. Archivado desde el original (PDF) el 15 de febrero de 2013., págs. 37–38 (6-1, 6-2); figura 6-1.
19. "Órbita: definición". Guía del autor de descripciones auxiliares, 2013. Directorio maestro de cambio global de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (NASA). Archivado desde el original el 11 de mayo de 2013. Consultado el 29 de abril de 2013 .
20. Vallado, David A. (2007). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones . Hawthorne, CA: Microcosm Press. pág. 31.
21. Ferreira, Becky (19 de febrero de 2015). «Cómo las compañías de satélites patentan sus órbitas». Motherboard . Vice News. Archivado desde el original el 18 de enero de 2017. Consultado el 20 de septiembre de 2018 .

Lectura adicional

• Abell, George O.; Morrison, David y Wolff, Sidney C. (1987). Exploración del universo (quinta edición). Saunders College Publishing. ISBN 9780030051432.
• Linton, Christopher (2004). De Eudoxo a Einstein: una historia de la astronomía matemática. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-45379-0.
• Milani, Andrea; Gronchi, Giovanni F. (2010). Teoría de la determinación de órbitas . Cambridge University Press.Se analizan nuevos algoritmos para determinar las órbitas de cuerpos celestes naturales y artificiales.
• Swetz, Frank; Fauvel, John; Johansson, Bengt; Katz, Victor; Bekken, Otto (1995). Aprenda de los maestros. MAA. ISBN 978-0-88385-703-8.

Enlaces externos

• CalcTool: Calculadora del período orbital de un planeta. Tiene una amplia variedad de unidades. Requiere JavaScript.
• Simulación en Java sobre movimiento orbital. Requiere Java.
• La página de la NOAA sobre datos de forzamiento climático incluye datos (calculados) sobre las variaciones de la órbita de la Tierra durante los últimos 50 millones de años y para los próximos 20 millones de años.
• Trazador de órbita en línea. Requiere JavaScript.
• Mecánica orbital (Tecnología espacial y de cohetes)
• Las simulaciones orbitales de Varadi, Ghil y Runnegar (2003) proporcionan otra serie ligeramente diferente para la excentricidad de la órbita terrestre, y también una serie para la inclinación orbital. Las órbitas de los otros planetas también fueron calculadas por F. Varadi; B. Runnegar; M. Ghil (2003). "Refinamientos sucesivos en integraciones a largo plazo de órbitas planetarias". The Astrophysical Journal . 592 (1): 620–630. Bibcode :2003ApJ...592..620V. doi : 10.1086/375560 ., pero sólo los datos de excentricidad de la Tierra y Mercurio están disponibles en línea.
• Comprender las órbitas mediante manipulación directa Archivado el 8 de noviembre de 2017 en Wayback Machine . Requiere JavaScript y Macromedia
• Merrifield, Michael. "Órbitas (incluida la primera órbita tripulada)". Sixty Symbols . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .