Mecánica orbital

Campo de la mecánica clásica relacionado con el movimiento de las naves espaciales.

Un satélite que orbita la Tierra tiene una velocidad tangencial y una aceleración hacia adentro .

La mecánica orbital o astrodinámica es la aplicación de la balística y la mecánica celeste a los problemas prácticos relacionados con el movimiento de cohetes , satélites y otras naves espaciales . El movimiento de estos objetos suele calcularse a partir de las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal . La mecánica orbital es una disciplina central dentro del diseño y control de misiones espaciales .

La mecánica celeste trata de manera más amplia la dinámica orbital de sistemas bajo la influencia de la gravedad , incluyendo tanto naves espaciales como cuerpos astronómicos naturales como sistemas estelares , planetas , lunas y cometas . La mecánica orbital se centra en las trayectorias de las naves espaciales , incluidas las maniobras orbitales , los cambios de plano orbital y las transferencias interplanetarias, y los planificadores de misiones la utilizan para predecir los resultados de las maniobras de propulsión .

La relatividad general es una teoría más exacta que las leyes de Newton para calcular órbitas y, a veces, es necesario utilizarla para mayor precisión o en situaciones de alta gravedad (por ejemplo, órbitas cerca del Sol).

Historia

Hasta el auge de los viajes espaciales en el siglo XX, había poca distinción entre la mecánica orbital y celeste. En la época del Sputnik , este campo se denominaba "dinámica espacial". ^[1] Las técnicas fundamentales, como las utilizadas para resolver el problema kepleriano (determinación de la posición en función del tiempo), son, por tanto, las mismas en ambos campos. Además, la historia de los campos se comparte casi en su totalidad.

Johannes Kepler fue el primero en modelar con éxito las órbitas planetarias con un alto grado de precisión y publicó sus leyes en 1605. Isaac Newton publicó leyes más generales del movimiento celeste en la primera edición de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), que proporcionó un método para encontrar la órbita de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica a partir de tres observaciones. ^[2] Este fue utilizado por Edmund Halley para establecer las órbitas de varios cometas, incluido el que lleva su nombre . El método de aproximación sucesiva de Newton fue formalizado en un método analítico por Leonhard Euler en 1744, cuyo trabajo fue a su vez generalizado a órbitas elípticas e hiperbólicas por Johann Lambert en 1761-1777.

Otro hito en la determinación de la órbita fue la ayuda de Carl Friedrich Gauss en la "recuperación" del planeta enano Ceres en 1801. El método de Gauss pudo utilizar sólo tres observaciones (en forma de pares de ascensión recta y declinación ) para encontrar la Seis elementos orbitales que describen completamente una órbita. La teoría de la determinación de la órbita se ha desarrollado posteriormente hasta el punto de que hoy se aplica en receptores GPS, así como en el seguimiento y catalogación de planetas menores recientemente observados . La determinación y predicción de órbitas modernas se utilizan para operar todo tipo de satélites y sondas espaciales, ya que es necesario conocer sus posiciones futuras con un alto grado de precisión.

La astrodinámica fue desarrollada por el astrónomo Samuel Herrick a partir de la década de 1930. Consultó al científico espacial Robert Goddard y se le animó a continuar su trabajo sobre técnicas de navegación espacial, ya que Goddard creía que serían necesarias en el futuro. Las técnicas numéricas de la astrodinámica se combinaron con nuevas y poderosas computadoras en la década de 1960, y los humanos estaban listos para viajar a la Luna y regresar.

Técnicas practicas

Reglas de juego

Las siguientes reglas generales son útiles para situaciones aproximadas mediante la mecánica clásica según los supuestos estándar de la astrodinámica que se describen a continuación. El ejemplo específico analizado es el de un satélite que orbita alrededor de un planeta, pero las reglas generales también podrían aplicarse a otras situaciones, como las órbitas de cuerpos pequeños alrededor de una estrella como el Sol.

• Leyes de Kepler del movimiento planetario :
  • Las órbitas son elípticas , con el cuerpo más pesado en un foco de la elipse. Un caso especial de esto es una órbita circular (un círculo es un caso especial de elipse) con el planeta en el centro.
  • Una línea trazada desde el planeta hasta el satélite barre áreas iguales en tiempos iguales sin importar qué parte de la órbita se mida.
  • El cuadrado del período orbital de un satélite es proporcional al cubo de su distancia promedio al planeta.
• Sin aplicar fuerza (como encender el motor de un cohete), el período y la forma de la órbita del satélite no cambiarán.
• Un satélite en una órbita baja (o una parte baja de una órbita elíptica) se mueve más rápidamente con respecto a la superficie del planeta que un satélite en una órbita más alta (o una parte alta de una órbita elíptica), debido a la fuerza gravitacional más fuerte. atracción más cercana al planeta.
• Si se aplica empuje en un solo punto de la órbita del satélite, volverá a ese mismo punto en cada órbita posterior, aunque el resto de su trayectoria cambiará. Por tanto, no es posible pasar de una órbita circular a otra con una sola aplicación breve de empuje.
• Desde una órbita circular, el empuje aplicado en dirección opuesta al movimiento del satélite cambia la órbita a una elíptica; el satélite descenderá y alcanzará el punto orbital más bajo (el periápside ) a 180 grados del punto de disparo; luego ascenderá de regreso. El período de la órbita resultante será menor que el de la órbita circular original. El empuje aplicado en la dirección del movimiento del satélite crea una órbita elíptica con su punto más alto ( apoapse ) a 180 grados del punto de disparo. El período de la órbita resultante será más largo que el de la órbita circular original.

Las consecuencias de las reglas de la mecánica orbital son a veces contraintuitivas. Por ejemplo, si dos naves espaciales están en la misma órbita circular y desean atracar, a menos que estén muy cerca, la nave que las sigue no puede simplemente encender sus motores para ir más rápido. Esto cambiará la forma de su órbita, lo que hará que gane altitud y, de hecho, disminuya la velocidad en relación con la nave líder, sin alcanzar el objetivo. El encuentro espacial antes del acoplamiento normalmente requiere múltiples encendidos de motores calculados con precisión en múltiples períodos orbitales, lo que requiere horas o incluso días para completarse.

En la medida en que los supuestos estándar de la astrodinámica no se cumplan, las trayectorias reales variarán de las calculadas. Por ejemplo, la simple resistencia atmosférica es otro factor que complica la situación de los objetos en órbita terrestre baja .

Estas reglas generales son decididamente inexactas cuando se describen dos o más cuerpos de masa similar, como un sistema estelar binario (ver problema de n cuerpos ). La mecánica celeste utiliza reglas más generales aplicables a una variedad más amplia de situaciones. Las leyes del movimiento planetario de Kepler, que pueden derivarse matemáticamente de las leyes de Newton, se aplican estrictamente sólo al describir el movimiento de dos cuerpos gravitacionales en ausencia de fuerzas no gravitacionales; también describen trayectorias parabólicas e hiperbólicas. En la proximidad de objetos grandes como las estrellas, las diferencias entre la mecánica clásica y la relatividad general también cobran importancia.

Leyes de la astrodinámica

Las leyes fundamentales de la astrodinámica son la ley de gravitación universal de Newton y las leyes del movimiento de Newton , mientras que la herramienta matemática fundamental es el cálculo diferencial .

En un marco newtoniano, las leyes que gobiernan las órbitas y las trayectorias son, en principio, simétricas en el tiempo .

Los supuestos estándar en astrodinámica incluyen la no interferencia de cuerpos externos, una masa insignificante para uno de los cuerpos y otras fuerzas insignificantes (como las del viento solar, la resistencia atmosférica, etc.). Se pueden hacer cálculos más precisos sin estos supuestos simplificadores, pero son más complicados. La mayor precisión a menudo no supone una diferencia suficiente en el cálculo como para que valga la pena.

Las leyes del movimiento planetario de Kepler pueden derivarse de las leyes de Newton, cuando se supone que el cuerpo en órbita está sujeto únicamente a la fuerza gravitacional del atractor central. Cuando hay presente un empuje de motor o una fuerza propulsora, las leyes de Newton aún se aplican, pero las leyes de Kepler quedan invalidadas. Cuando el empuje se detenga, la órbita resultante será diferente, pero una vez más estará descrita por las leyes de Kepler expuestas anteriormente. Las tres leyes son:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los focos .
2. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son directamente proporcionales a los cubos del semieje mayor de las órbitas.

Velocidad de escape

La fórmula para la velocidad de escape se deriva de la siguiente manera. La energía específica (energía por unidad de masa ) de cualquier vehículo espacial está compuesta por dos componentes, la energía potencial específica y la energía cinética específica . La energía potencial específica asociada con un planeta de masa M está dada por

${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,}$

donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los dos cuerpos;

mientras que la energía cinética específica de un objeto viene dada por

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,}$

donde v es su Velocidad;

y entonces la energía orbital específica total es

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}\,}$

Dado que la energía se conserva , no puede depender de la distancia, desde el centro del cuerpo central hasta el vehículo espacial en cuestión, es decir, v debe variar con r para mantener constante la energía orbital específica. Por lo tanto, el objeto puede llegar al infinito sólo si esta cantidad no es negativa, lo que implica ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$

La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de unos 11 km/s, pero eso es insuficiente para enviar el cuerpo a una distancia infinita debido a la atracción gravitacional del Sol. Para escapar del Sistema Solar desde un lugar a una distancia del Sol igual a la distancia Sol-Tierra, pero no cerca de la Tierra, se requiere una velocidad de alrededor de 42 km/s, pero habrá un "crédito parcial" por la velocidad orbital de la Tierra. para las naves espaciales lanzadas desde la Tierra, si su mayor aceleración (debido al sistema de propulsión) las lleva en la misma dirección en la que la Tierra viaja en su órbita.

Fórmulas para órbitas libres.

Las órbitas son secciones cónicas , por lo que la fórmula de la distancia de un cuerpo para un ángulo determinado corresponde a la fórmula de esa curva en coordenadas polares , que es:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}$

${\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}$

${\displaystyle \mu }$se llama parámetro gravitacional . y son las masas de los objetos 1 y 2, y es el momento angular específico del objeto 2 con respecto al objeto 1. El parámetro se conoce como la verdadera anomalía , es el recto semi-latus , mientras que es la excentricidad orbital , todo obtenible a partir de las diversas formas de los seis elementos orbitales independientes . ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$

Órbitas circulares

Todas las órbitas acotadas donde domina la gravedad de un cuerpo central son de naturaleza elíptica. Un caso especial de esto es la órbita circular, que es una elipse de excentricidad cero. La fórmula para la velocidad de un cuerpo en una órbita circular a una distancia r del centro de gravedad de masa M se puede derivar de la siguiente manera:

La aceleración centrífuga coincide con la aceleración de la gravedad.

Entonces,

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}}}$$

Por lo tanto,

${\displaystyle \ v={\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}}$

donde es la constante gravitacional , igual a ${\displaystyle G}$

6,6743 × 10 ⁻¹¹ m ³ /(kg·s ² )

Para utilizar correctamente esta fórmula, las unidades deben ser consistentes; por ejemplo, debe estar en kilogramos y en metros. La respuesta estará en metros por segundo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

La cantidad a menudo se denomina parámetro gravitacional estándar , que tiene un valor diferente para cada planeta o luna del Sistema Solar . ${\displaystyle GM}$

Una vez conocida la velocidad orbital circular, la velocidad de escape se encuentra fácilmente multiplicando por : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Para escapar de la gravedad, la energía cinética debe al menos igualar la energía potencial negativa. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}$$

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Órbitas elípticas

Si , entonces el denominador de la ecuación de órbitas libres varía con la verdadera anomalía , pero permanece positivo y nunca llega a ser cero. Por lo tanto, el vector de posición relativa permanece acotado, teniendo su magnitud más pequeña en el periapsis , que viene dada por: ${\displaystyle 0<e<1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r_{p}}$

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

El valor máximo se alcanza cuando . Este punto se llama apoapsis y su coordenada radial, denotada , es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ ${\displaystyle r_{a}}$

${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$

Sea la distancia medida a lo largo de la línea del ábside desde el periapsis hasta el apoapsis , como se ilustra en la siguiente ecuación: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, obtenemos:

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

a es el semieje mayor de la elipse. Resolviendo y sustituyendo el resultado en la fórmula de la curva de sección cónica anterior, obtenemos: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

Periodo orbital

Según supuestos estándar, el período orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como: ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

Conclusiones:

• El período orbital es igual al de una órbita circular con el radio de la órbita igual al semieje mayor ( ), ${\displaystyle a\,\!}$
• Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (Ver también: Tercera ley de Kepler ).

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación de Vis-viva como: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre los cuerpos en órbita.
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica es . ${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}}$

Energía

Según los supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de la órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de la energía orbital (la ecuación de Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia del cuerpo en órbita desde el centro de masa del cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es el semieje mayor ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Conclusiones:

• Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Usando el teorema del virial encontramos:

• el promedio temporal de la energía potencial específica es igual a ${\displaystyle 2\epsilon }$
• el promedio de tiempo de es ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$
• el promedio temporal de la energía cinética específica es igual a ${\displaystyle -\epsilon }$

Órbitas parabólicas

Si la excentricidad es igual a 1, entonces la ecuación de la órbita queda:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

dónde:

• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el centro de masa del cuerpo central ,
• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita ,
• ${\displaystyle \theta \,}$es la verdadera anomalía del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Cuando la verdadera anomalía θ se acerca a 180°, el denominador se acerca a cero, de modo que r tiende hacia el infinito. Por tanto, la energía de la trayectoria para la cual e =1 es cero y viene dada por:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad del cuerpo en órbita.

En otras palabras, la velocidad en cualquier lugar de una trayectoria parabólica es:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$

Órbitas hiperbólicas

Si , la fórmula de la órbita, ${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

describe la geometría de la órbita hiperbólica. El sistema consta de dos curvas simétricas. El cuerpo en órbita ocupa uno de ellos; el otro es su imagen matemática vacía. Claramente, el denominador de la ecuación anterior llega a cero cuando . denotamos este valor de verdadera anomalía ${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$

${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$

ya que la distancia radial se acerca al infinito a medida que se acerca la verdadera anomalía , conocida como verdadera anomalía de la asíntota . Observe que se encuentra entre 90° y 180°. De la identidad trigonométrica se deduce que: ${\displaystyle \theta _{\infty }}$ ${\displaystyle \theta _{\infty }}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}}$

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una trayectoria hiperbólica es mayor que cero y la ecuación de conservación de la energía orbital para este tipo de trayectoria toma la forma: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es el semieje mayor negativo de la hipérbola de la órbita ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Exceso de velocidad hiperbólica

Según los supuestos estándar, el cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica alcanzará en el infinito una velocidad orbital llamada exceso de velocidad hiperbólica ( ) que se puede calcular como: ${\displaystyle r=}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,\!}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor negativo de la hipérbola de la órbita .

El exceso de velocidad hiperbólica está relacionado con la energía orbital específica o energía característica por

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

Calculando trayectorias

ecuación de kepler

Un método para calcular órbitas (utilizado principalmente históricamente) es utilizar la ecuación de Kepler :

${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$.

donde M es la anomalía media , E es la anomalía excéntrica y es la excentricidad . ${\displaystyle \epsilon }$

Con la fórmula de Kepler, encontrar el tiempo de vuelo para alcanzar un ángulo ( verdadera anomalía ) desde el periapsis se divide en dos pasos: ${\displaystyle \theta }$

1. Calcular la anomalía excéntrica a partir de la anomalía verdadera. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta }$
2. Calcule el tiempo de vuelo a partir de la anomalía excéntrica. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E}$

Encontrar la anomalía excéntrica en un momento dado ( el problema inverso ) es más difícil. La ecuación de Kepler es trascendental en , lo que significa que no se puede resolver algebraicamente . La ecuación de Kepler se puede resolver analíticamente mediante inversión. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Una solución de la ecuación de Kepler, válida para todos los valores reales de es: ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

La evaluación de esto produce:

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

Alternativamente, la ecuación de Kepler se puede resolver numéricamente. Primero se debe adivinar un valor y calcular el tiempo de vuelo; luego ajuste según sea necesario para acercar el tiempo de vuelo calculado al valor deseado hasta que se logre la precisión requerida. Normalmente, el método de Newton se utiliza para lograr una convergencia relativamente rápida. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

La principal dificultad de este enfoque es que puede llevar un tiempo prohibitivo converger en órbitas elípticas extremas. Para órbitas casi parabólicas, la excentricidad es casi 1, y al sustituir en la fórmula la anomalía media, nos encontramos restando dos valores casi iguales, y la precisión se ve afectada. Para las órbitas casi circulares, es difícil encontrar el periapsis en primer lugar (y las órbitas verdaderamente circulares no tienen ningún periapsis). Además, la ecuación se derivó asumiendo una órbita elíptica, por lo que no es válida para órbitas parabólicas o hiperbólicas. Estas dificultades son las que llevaron al desarrollo de la formulación de variable universal , que se describe a continuación. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle E-\sin E}$

Órbitas cónicas

Para procedimientos simples, como calcular el delta-v para elipses de transferencia coplanares, los enfoques tradicionales ^{[ se necesita aclaración ]} son ​​bastante efectivos. Otros, como el tiempo de vuelo, son mucho más complicados, especialmente para órbitas casi circulares e hiperbólicas.

La aproximación cónica parcheada

La órbita de transferencia de Hohmann por sí sola es una mala aproximación para las trayectorias interplanetarias porque ignora la propia gravedad de los planetas. La gravedad planetaria domina el comportamiento de la nave espacial en las proximidades de un planeta y, en la mayoría de los casos, Hohmann sobreestima gravemente delta-v y produce prescripciones muy inexactas para los tiempos de combustión. Una forma relativamente sencilla de obtener una aproximación de primer orden de delta-v se basa en la técnica de 'Aproximación cónica parcheada'. Hay que elegir el cuerpo gravitante dominante en cada región del espacio a través del cual pasará la trayectoria, y modelar sólo los efectos de ese cuerpo en esa región. Por ejemplo, en una trayectoria de la Tierra a Marte, se comenzaría considerando sólo la gravedad de la Tierra hasta que la trayectoria alcance una distancia donde la gravedad de la Tierra ya no domine a la del Sol. A la nave espacial se le daría velocidad de escape para enviarla en camino al espacio interplanetario. A continuación, se consideraría sólo la gravedad del Sol hasta que la trayectoria alcance las proximidades de Marte. Durante esta etapa, el modelo de órbita de transferencia es apropiado. Finalmente, sólo se considera la gravedad de Marte durante la parte final de la trayectoria donde la gravedad de Marte domina el comportamiento de la nave espacial. La nave espacial se acercaría a Marte en una órbita hiperbólica, y una combustión retrógrada final ralentizaría la nave lo suficiente como para ser capturada por Marte. Friedrich Zander fue uno de los primeros en aplicar el enfoque de las cónicas parcheadas con fines astrodinámicos, al proponer el uso de la gravedad de los cuerpos intermediarios para los viajes interplanetarios, en lo que hoy se conoce como asistencia gravitacional . ^[3]

El tamaño de los "barrios" (o esferas de influencia ) varía con el radio : ${\displaystyle r_{SOI}}$

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

¿Dónde está el semieje mayor de la órbita del planeta con respecto al Sol ? y son las masas del planeta y del Sol, respectivamente. ${\displaystyle a_{p}}$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{s}}$

Esta simplificación es suficiente para calcular estimaciones aproximadas de las necesidades de combustible y del tiempo de vuelo, pero generalmente no es lo suficientemente precisa para guiar una nave espacial hasta su destino. Para ello se requieren métodos numéricos.

La formulación de la variable universal.

Para abordar las deficiencias computacionales de los enfoques tradicionales para resolver el problema de dos cuerpos, se desarrolló la formulación de variable universal . Funciona igualmente bien para los casos circular, elíptico, parabólico e hiperbólico, y las ecuaciones diferenciales convergen bien cuando se integran para cualquier órbita. También se generaliza bien a problemas que incorporan la teoría de la perturbación.

Perturbaciones

La formulación de variable universal funciona bien con la técnica de variación de parámetros, excepto que ahora, en lugar de los seis elementos orbitales keplerianos, utilizamos un conjunto diferente de elementos orbitales: a saber, la posición inicial del satélite y los vectores de velocidad en una época determinada . En una simulación de dos cuerpos, estos elementos son suficientes para calcular la posición y la velocidad del satélite en cualquier momento en el futuro, utilizando la formulación de variable universal. Por el contrario, en cualquier momento de la órbita del satélite, podemos medir su posición y velocidad, y luego usar el enfoque de variable universal para determinar cuál habría sido su posición y velocidad iniciales en esa época. En el movimiento perfecto de dos cuerpos, estos elementos orbitales serían invariantes (al igual que lo serían los elementos keplerianos). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$

Sin embargo, las perturbaciones hacen que los elementos orbitales cambien con el tiempo. Por lo tanto, el elemento de posición se escribe como y el elemento de velocidad como , lo que indica que varían con el tiempo. La técnica para calcular el efecto de las perturbaciones consiste en encontrar expresiones, ya sean exactas o aproximadas, para las funciones y . ${\displaystyle x_{0}(t)}$ ${\displaystyle v_{0}(t)}$ ${\displaystyle x_{0}(t)}$ ${\displaystyle v_{0}(t)}$

A continuación se presentan algunos efectos que diferencian las órbitas reales de los modelos simples basados ​​en una Tierra esférica. La mayoría de ellos pueden manejarse en escalas de tiempo cortas (quizás menos de unos pocos miles de órbitas) mediante la teoría de la perturbación porque son pequeños en relación con los correspondientes efectos de dos cuerpos.

• Los abultamientos ecuatoriales provocan la precesión del nodo y el perigeo.
• Los armónicos teselares ^[4] del campo gravitatorio introducen perturbaciones adicionales
• Las perturbaciones de la gravedad lunar y solar alteran las órbitas
• La resistencia atmosférica reduce el semieje mayor a menos que se utilice empuje de compensación

En escalas de tiempo muy largas (quizás millones de órbitas), incluso las pequeñas perturbaciones pueden dominar y el comportamiento puede volverse caótico . Por otro lado, las diversas perturbaciones pueden ser orquestadas por astrodinámicos inteligentes para ayudar con las tareas de mantenimiento de la órbita, como el mantenimiento de la posición , el mantenimiento o ajuste de la trayectoria terrestre , o la fase del perigeo para cubrir objetivos seleccionados a baja altitud.

maniobra orbital

En los vuelos espaciales , una maniobra orbital es el uso de sistemas de propulsión para cambiar la órbita de una nave espacial . Para las naves espaciales alejadas de la Tierra (por ejemplo, aquellas en órbitas alrededor del Sol), una maniobra orbital se denomina maniobra de espacio profundo (DSM) . ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

transferencia orbital

Las órbitas de transferencia suelen ser órbitas elípticas que permiten que las naves espaciales se muevan de una órbita (normalmente sustancialmente circular) a otra. Por lo general, requieren una quemadura al principio, una quemadura al final y, a veces, una o más quemaduras en el medio.

• La órbita de transferencia de Hohmann requiere un delta-v mínimo .
• Una transferencia bielíptica puede requerir menos energía que la transferencia de Hohmann, si la proporción de órbitas es 11,94 o mayor, ^[5] pero tiene el costo de un mayor tiempo de viaje que la transferencia de Hohmann.
• Las transferencias más rápidas pueden utilizar cualquier órbita que cruce tanto la órbita original como la de destino, a costa de un delta-v más alto.
• Usando motores de bajo empuje (como la propulsión eléctrica ), si la órbita inicial es supersincrónica con la órbita circular final deseada, entonces la órbita de transferencia óptima se logra empujando continuamente en la dirección de la velocidad en el apogeo. Sin embargo, este método lleva mucho más tiempo debido al bajo empuje. ^[6]

Para el caso de transferencia orbital entre órbitas no coplanares, el empuje de cambio de plano debe realizarse en el punto donde se cruzan los planos orbitales (el "nodo"). Como el objetivo es cambiar la dirección del vector velocidad en un ángulo igual al ángulo entre los planos, casi todo este empuje debe realizarse cuando la nave espacial esté en el nodo cercano al apoápside, cuando la magnitud del vector velocidad es en su punto más bajo. Sin embargo, una pequeña fracción del cambio de inclinación orbital se puede realizar en el nodo cerca del periápside, inclinando ligeramente el empuje de inyección de la órbita de transferencia en la dirección del cambio de inclinación deseado. Esto funciona porque el coseno de un ángulo pequeño es casi uno, lo que da como resultado que el cambio de avión pequeño sea efectivamente "libre" a pesar de la alta velocidad de la nave espacial cerca del periápside, ya que el efecto Oberth debido al aumento del empuje ligeramente en ángulo excede el costo. del empuje en el eje orbital normal.

La asistencia por gravedad y el efecto Oberth

En una asistencia por gravedad , una nave espacial pasa cerca de un planeta y sale en una dirección diferente, a una velocidad diferente. Esto es útil para acelerar o frenar una nave espacial en lugar de transportar más combustible.

Esta maniobra puede aproximarse a una colisión elástica a grandes distancias, aunque el sobrevuelo no implica ningún contacto físico. Debido a la Tercera Ley de Newton (reacción igual y opuesta), el planeta debe perder cualquier impulso ganado por una nave espacial, o viceversa. Sin embargo, debido a que el planeta es mucho, mucho más masivo que la nave espacial, el efecto en la órbita del planeta es insignificante.

Se puede emplear el efecto Oberth , particularmente durante una operación de asistencia por gravedad. Este efecto es que el uso de un sistema de propulsión funciona mejor a altas velocidades y, por tanto, los cambios de rumbo se realizan mejor cuando se está cerca de un cuerpo gravitante; esto puede multiplicar el delta-v efectivo .

Red de Transporte Interplanetario y órbitas difusas

Ahora es posible utilizar ordenadores para buscar rutas aprovechando las no linealidades de la gravedad de los planetas y lunas del Sistema Solar. Por ejemplo, es posible trazar una órbita desde la órbita terrestre alta hasta Marte, pasando cerca de uno de los puntos troyanos de la Tierra . ^{[ cita necesaria ]} Conocidas colectivamente como Red de Transporte Interplanetario , estas trayectorias orbitales altamente perturbativas, incluso caóticas, en principio no necesitan combustible más allá del necesario para alcanzar el punto de Lagrange (en la práctica, mantener la trayectoria requiere algunas correcciones de rumbo). El mayor problema con ellos es que pueden ser extremadamente lentos y tardar muchos años. Además, las ventanas de inicio pueden estar muy alejadas.

Sin embargo, han sido empleados en proyectos como Génesis . Esta nave espacial visitó el punto Tierra-Sol L 1 y regresó usando muy poco propulsor.

Ver también

• Mecánica celeste
• Teoría del caos
• órbita de Kepler
• punto de lagrange
• Ingeniería Mecánica
• problema de N-cuerpos
• Límite de Roche
• Propulsión de naves espaciales
• Formulación variable universal

Referencias

1. Thomson, William T. (1961). Introducción a la dinámica espacial . Nueva York: Wiley.
2. Bate, RR; Mueller, DD; Blanco, JE (1971). Fundamentos de Astrodinámica. Corporación de mensajería. pag. 5.ISBN​ 978-0-486-60061-1.
3. Negri, Rodolfo Batista; Prado, Antônio Fernando Bertachini de Alme (agosto 2020). "Una revisión histórica de la teoría de las ayudas a la gravedad en la era anterior a los vuelos espaciales". Revista de la Sociedad Brasileña de Ciencias e Ingenierías Mecánicas . 42 (8): 406. doi :10.1007/s40430-020-02489-x. S2CID  220510617.
4. Weisstein, Eric W. "Tesselal Armónico". MundoMatemático . Consultado el 7 de octubre de 2019 .
5. Vallado, David Anthony (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones. Saltador. pag. 317.ISBN​ 0-7923-6903-3.
6. Spitzer, Arnón (1997). Trayectoria óptima de órbita de transferencia mediante propulsión eléctrica. USPTO.

• Curtis, Howard D. (2009). Mecánica Orbital para Estudiantes de Ingeniería, 2e . Nueva York: Elsevier. ISBN 978-0-12-374778-5.
• Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de Astrodinámica. Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60061-0.

• Vendedores, Jerry J.; Astore, William J.; Giffen, Robert B.; Larson, Wiley J. (2004). Kirkpatrick, Douglas H. (ed.). Comprensión del espacio: una introducción a la astronáutica (2 ed.). McGraw-Hill. pag. 228.ISBN​ 0-07-242468-0.

• "Introducción espacial de Air University, Capítulo 8 - Mecánica orbital" (PDF) . Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Archivado desde el original (PDF) el 14 de febrero de 2013 . Consultado el 13 de octubre de 2007 .

Otras lecturas

Muchas de las opciones, procedimientos y teorías de apoyo se tratan en trabajos estándar como:

• Bate, RR; Mueller, DD; Blanco, JE (1971). Fundamentos de Astrodinámica. Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Vallado, DA (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-7923-6903-5.
• Battin, RH (1999). Introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica . Instituto Americano de Aeronáutica y Ast, Washington, DC ISBN 978-1-56347-342-5.
• Chobotov, VA, ed. (2002). Mecánica orbital (3ª ed.). Instituto Americano de Aeronáutica y Ast, Washington, DC ISBN 978-1-56347-537-5.
• Herrick, S. (1971). Astrodinámica: determinación de órbitas, navegación espacial, mecánica celeste, volumen 1 . Van Nostrand Reinhold, Londres. ISBN 978-0-442-03370-5.
• Herrick, S. (1972). Astrodinámica: corrección de órbita, teoría de la perturbación, integración, volumen 2 . Van Nostrand Reinhold, Londres. ISBN 978-0-442-03371-2.
• Kaplan, MH (1976). Dinámica y controles de naves espaciales modernas . Wiley, Nueva York. ISBN 978-0-471-45703-9.
• Tom Logsdon (1997). Mecánica Orbital . Wiley-Interscience, Nueva York. ISBN 978-0-471-14636-0.
• John E. Prussing y Bruce A. Conway (1993). Mecánica orbital. Oxford University Press, Nueva York. ISBN 978-0-19-507834-3.
• MJ Sidi (2000). Dinámica y control de naves espaciales . Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 978-0-521-78780-2.
• Nosotros Wiesel (1996). Dinámica de los vuelos espaciales (2ª ed.). McGraw-Hill, Nueva York. ISBN 978-0-07-070110-6.
• JP Vinti (1998). Mecánica Orbital y Celeste . Instituto Americano de Aeronáutica y Ast, Reston, Virginia. ISBN 978-1-56347-256-5.
• P. Gurfil (2006). Astrodinámica moderna . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-12-373562-1.

enlaces externos

• MECÁNICA ORBITAL (Tecnología espacial y de cohetes)
• Kit de herramientas de astrodinámica de Java
• Gráfico de conocimiento de eventos y tráfico espacial basado en astrodinámica