Operador de Laplace

Operador diferencial

En matemáticas , el operador de Laplace o laplaciano es un operador diferencial dado por la divergencia del gradiente de una función escalar en el espacio euclidiano . Se suele denotar con los símbolos , (donde es el operador nabla ), o . En un sistema de coordenadas cartesianas , el laplaciano viene dado por la suma de las segundas derivadas parciales de la función con respecto a cada variable independiente . En otros sistemas de coordenadas , como las coordenadas cilíndricas y esféricas , el laplaciano también tiene una forma útil. De manera informal, el laplaciano Δ f  ( p ) de una función f en un punto p mide en qué medida el valor medio de f sobre pequeñas esferas o bolas centradas en p se desvía de f  ( p ) . ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Delta }$

El operador de Laplace recibe su nombre del matemático francés Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), quien aplicó por primera vez el operador al estudio de la mecánica celeste : el laplaciano del potencial gravitatorio debido a una distribución de densidad de masa dada es un múltiplo constante de esa distribución de densidad. Las soluciones de la ecuación de Laplace Δ f = 0 se denominan funciones armónicas y representan los posibles potenciales gravitatorios en regiones de vacío .

El laplaciano aparece en muchas ecuaciones diferenciales que describen fenómenos físicos. La ecuación de Poisson describe potenciales eléctricos y gravitacionales ; la ecuación de difusión describe el flujo de calor y fluido ; la ecuación de onda describe la propagación de ondas ; y la ecuación de Schrödinger describe la función de onda en mecánica cuántica . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para varias tareas, como la detección de manchas y bordes . El laplaciano es el operador elíptico más simple y está en el núcleo de la teoría de Hodge, así como de los resultados de la cohomología de De Rham .

Definición

El operador de Laplace es un operador diferencial de segundo orden en el espacio euclidiano n -dimensional , definido como la divergencia ( ) del gradiente ( ). Por lo tanto, si es una función real dos veces diferenciable , entonces el laplaciano de es la función real definida por: ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

donde las últimas notaciones derivan de escribir formalmente: Explícitamente, el Laplaciano de f es entonces la suma de todas las derivadas parciales segundas no mezcladas en las coordenadas cartesianas x _i : $${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

Como operador diferencial de segundo orden, el operador de Laplace asigna funciones C k a funciones C ^{k −2} para k ≥ 2 . Es un operador lineal Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) , o más generalmente, un operador Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω) para cualquier conjunto abierto Ω ⊆ R ⁿ .

Motivación

Difusión

En la teoría física de la difusión , el operador de Laplace surge naturalmente en la descripción matemática del equilibrio . ^[1] Específicamente, si u es la densidad en equilibrio de alguna cantidad como una concentración química, entonces el flujo neto de u a través del límite ∂ V (también llamado S ) de cualquier región lisa V es cero, siempre que no haya una fuente o sumidero dentro de V : donde n es la unidad exterior normal al límite de V . Por el teorema de divergencia , $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Como esto es válido para todas las regiones lisas V , se puede demostrar que implica: El lado izquierdo de esta ecuación es el operador de Laplace, y la ecuación completa Δ u = 0 se conoce como ecuación de Laplace . Las soluciones de la ecuación de Laplace, es decir, funciones cuyo laplaciano es idénticamente cero, representan así posibles densidades de equilibrio bajo difusión. $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

El operador de Laplace tiene una interpretación física para la difusión fuera del equilibrio, como el grado en el que un punto representa una fuente o un sumidero de concentración química, en un sentido que se precisa mediante la ecuación de difusión . Esta interpretación del laplaciano también se explica por el siguiente hecho sobre los promedios.

Promedios

Dada una función dos veces continuamente diferenciable y un punto , el valor promedio de sobre la pelota con radio centrado en es: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

De manera similar, el valor promedio de sobre la esfera (el límite de una bola) con radio centrado en es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Densidad asociada a un potencial

Si φ denota el potencial electrostático asociado a una distribución de carga q , entonces la distribución de carga en sí está dada por el negativo del Laplaciano de φ : donde ε ₀ es la constante eléctrica . $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

Esta es una consecuencia de la ley de Gauss . De hecho, si V es cualquier región lisa con límite ∂ V , entonces, por la ley de Gauss, el flujo del campo electrostático E a través del límite es proporcional a la carga encerrada: donde la primera igualdad se debe al teorema de divergencia . Dado que el campo electrostático es el gradiente (negativo) del potencial, esto da: $${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Dado que esto es válido para todas las regiones V , debemos tener $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

El mismo enfoque implica que el negativo del laplaciano del potencial gravitatorio es la distribución de masa . A menudo, se da la distribución de carga (o masa) y se desconoce el potencial asociado. Encontrar la función de potencial sujeta a condiciones de contorno adecuadas es equivalente a resolver la ecuación de Poisson .

Minimización de energía

Otra motivación para la aparición del Laplaciano en física es que las soluciones de Δ f = 0 en una región U son funciones que hacen que la energía de Dirichlet sea funcional estacionaria : $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Para ver esto, supongamos que f  : U → R es una función y u  : U → R es una función que se desvanece en el límite de U . Entonces: $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

donde la última igualdad se sigue utilizando la primera identidad de Green . Este cálculo muestra que si Δ f = 0 , entonces E es estacionario alrededor de f . Por el contrario, si E es estacionario alrededor de f , entonces Δ f = 0 por el lema fundamental del cálculo de variaciones .

Expresiones de coordenadas

Dos dimensiones

El operador de Laplace en dos dimensiones viene dado por:

En coordenadas cartesianas , donde x e y son las coordenadas cartesianas estándar del plano xy . $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

En coordenadas polares , donde r representa la distancia radial y θ el ángulo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

Tres dimensiones

En tres dimensiones, es común trabajar con el Laplaciano en una variedad de sistemas de coordenadas diferentes.

En coordenadas cartesianas , $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

En coordenadas cilíndricas , donde representa la distancia radial, φ el ángulo acimutal y z la altura. $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ ${\displaystyle \rho }$

En coordenadas esféricas : o bien desarrollando el primer y segundo término, estas expresiones se leen donde φ representa el ángulo azimutal y θ el ángulo cenital o colatitud . $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

En general, coordenadas curvilíneas ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

donde se implica la suma de los índices repetidos , g ^mn es el tensor métrico inverso y Γ ^l _mn son los símbolos de Christoffel para las coordenadas seleccionadas.

nortedimensiones

En coordenadas curvilíneas arbitrarias en N dimensiones ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ), podemos escribir el Laplaciano en términos del tensor métrico inverso , : de la fórmula de Voss- Weyl ^[3] para la divergencia . ${\displaystyle g^{ij}}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

En coordenadas esféricas en N dimensiones , con la parametrización x = rθ ∈ R ^N donde r representa un radio real positivo y θ un elemento de la esfera unitaria S ^{N −1} , donde Δ _{S ^{N −1}} es el operador de Laplace-Beltrami sobre la ( N − 1) -esfera, conocido como el Laplaciano esférico. Los dos términos de la derivada radial se pueden reescribir de forma equivalente como: $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

En consecuencia, el Laplaciano esférico de una función definida en S ^{N −1} ⊂ R ^N puede calcularse como el Laplaciano ordinario de la función extendida hasta R ^N ∖{0} de modo que sea constante a lo largo de los rayos, es decir, homogéneo de grado cero.

Invariancia euclidiana

El laplaciano es invariante bajo todas las transformaciones euclidianas : rotaciones y traslaciones . En dos dimensiones, por ejemplo, esto significa que: para todos los θ , a y b . En dimensiones arbitrarias, siempre que ρ sea una rotación, y asimismo: siempre que τ sea una traslación. (De manera más general, esto sigue siendo cierto cuando ρ es una transformación ortogonal, como una reflexión ). $${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

De hecho, el álgebra de todos los operadores diferenciales lineales escalares, con coeficientes constantes, que conmutan con todas las transformaciones euclidianas, es el álgebra polinomial generada por el operador de Laplace.

Teoría espectral

El espectro del operador de Laplace consta de todos los valores propios λ para los cuales existe una función propia f correspondiente con: $${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

Esta se conoce como la ecuación de Helmholtz .

Si Ω es un dominio acotado en R ⁿ , entonces las funciones propias del laplaciano son una base ortonormal para el espacio de Hilbert L ² (Ω) . Este resultado se desprende esencialmente del teorema espectral sobre operadores autoadjuntos compactos , aplicado al inverso del laplaciano (que es compacto, por la desigualdad de Poincaré y el teorema de Rellich–Kondrachov ). ^[4] También se puede demostrar que las funciones propias son funciones infinitamente diferenciables . ^[5] De manera más general, estos resultados son válidos para el operador de Laplace–Beltrami en cualquier variedad riemanniana compacta con borde, o de hecho para el problema de valores propios de Dirichlet de cualquier operador elíptico con coeficientes suaves en un dominio acotado. Cuando Ω es la n -esfera , las funciones propias del laplaciano son los armónicos esféricos .

Laplaciano vectorial

El operador vectorial de Laplace , también denotado por , es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial . ^[6] El laplaciano vectorial es similar al laplaciano escalar; mientras que el laplaciano escalar se aplica a un campo escalar y devuelve una cantidad escalar, el laplaciano vectorial se aplica a un campo vectorial , devolviendo una cantidad vectorial. Cuando se calcula en coordenadas cartesianas ortonormales , el campo vectorial devuelto es igual al campo vectorial del laplaciano escalar aplicado a cada componente vectorial. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

El laplaciano vectorial de un campo vectorial se define como Esta definición puede verse como la descomposición de Helmholtz del laplaciano vectorial. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

En coordenadas cartesianas , esto se reduce a la forma mucho más simple como donde , , y son los componentes del campo vectorial , y justo a la izquierda de cada componente del campo vectorial está el operador de Laplace (escalar). Esto puede verse como un caso especial de la fórmula de Lagrange; consulte Producto triple vectorial . $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$ ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{y}}$ ${\displaystyle A_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Para expresiones del vector Laplaciano en otros sistemas de coordenadas, consulte Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Generalización

El laplaciano de cualquier campo tensorial ("tensor" incluye escalar y vector) se define como la divergencia del gradiente del tensor: ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

Para el caso especial donde es un escalar (un tensor de grado cero), el Laplaciano toma la forma familiar. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Si es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es una derivada covariante que da como resultado un tensor de segundo grado, y la divergencia de este es nuevamente un vector. La fórmula para el laplaciano vectorial anterior se puede utilizar para evitar el cálculo de tensores y se puede demostrar que es equivalente a la divergencia de la matriz jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector: ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

Y, de la misma manera, un producto escalar , que evalúa a un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices: Esta identidad es un resultado dependiente de las coordenadas y no es general. $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Uso en física

Un ejemplo del uso del laplaciano vectorial son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano : donde el término con el laplaciano vectorial del campo de velocidad representa las tensiones viscosas en el fluido. $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ ${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Otro ejemplo es la ecuación de onda del campo eléctrico que puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell en ausencia de cargas y corrientes: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Esta ecuación también se puede escribir como: donde es el D'Alembertiano , utilizado en la ecuación de Klein–Gordon . $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ $${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

Generalizaciones

Se puede definir una versión del laplaciano en cualquier lugar donde la energía funcional de Dirichlet tenga sentido, lo que es la teoría de las formas de Dirichlet . Para espacios con estructura adicional, se pueden dar descripciones más explícitas del laplaciano, como sigue.

Operador de Laplace-Beltrami

El laplaciano también se puede generalizar a un operador elíptico llamado operador de Laplace-Beltrami definido en una variedad de Riemann . El operador de Laplace-Beltrami, cuando se aplica a una función, es la traza ( tr ) del hessiano de la función : donde la traza se toma con respecto a la inversa del tensor métrico . El operador de Laplace-Beltrami también se puede generalizar a un operador (también llamado operador de Laplace-Beltrami) que opera en campos tensoriales , mediante una fórmula similar. $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

Otra generalización del operador de Laplace que está disponible en variedades pseudo-riemannianas utiliza la derivada exterior , en términos de la cual el "Laplaciano del geómetra" se expresa como $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Aquí δ es el codiferencial , que también puede expresarse en términos de la estrella de Hodge y la derivada exterior. Este operador difiere en signo del "Laplaciano del analista" definido anteriormente. De manera más general, el Laplaciano "de Hodge" se define en formas diferenciales α por $${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Esto se conoce como el operador de Laplace-de Rham , que está relacionado con el operador de Laplace-Beltrami por la identidad de Weitzenböck .

D'Alembertiano

El laplaciano se puede generalizar de ciertas maneras a espacios no euclidianos , donde puede ser elíptico , hiperbólico o ultrahiperbólico .

En el espacio de Minkowski, el operador de Laplace-Beltrami se convierte en el operador D'Alembert o D'Alembertiano: ${\displaystyle \Box }$ $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Es la generalización del operador de Laplace en el sentido de que es el operador diferencial que es invariante bajo el grupo de isometría del espacio subyacente y se reduce al operador de Laplace si se restringe a funciones independientes del tiempo. El signo general de la métrica aquí se elige de modo que las partes espaciales del operador admitan un signo negativo, que es la convención habitual en la física de partículas de alta energía . El operador de D'Alembert también se conoce como operador de onda porque es el operador diferencial que aparece en las ecuaciones de onda , y también es parte de la ecuación de Klein-Gordon , que se reduce a la ecuación de onda en el caso sin masa.

El factor adicional de c en la métrica es necesario en física si el espacio y el tiempo se miden en unidades diferentes; se requeriría un factor similar si, por ejemplo, la dirección x se midiera en metros mientras que la dirección y se midiera en centímetros. De hecho, los físicos teóricos suelen trabajar en unidades tales que c = 1 para simplificar la ecuación.

El operador d'Alembert se generaliza a un operador hiperbólico en variedades pseudo-riemannianas .

Véase también

• Operador de Laplace-Beltrami , generalización a subvariedades en el espacio euclidiano y variedades riemannianas y pseudo-riemannianas.
• El Laplaciano en geometría diferencial .
• El operador de Laplace discreto es un análogo de diferencias finitas del laplaciano continuo, definido en gráficos y cuadrículas.
• El laplaciano es un operador común en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora (ver el laplaciano de Gauss , detector de manchas y espacio de escala ).
• La lista de fórmulas en geometría riemanniana contiene expresiones para el laplaciano en términos de símbolos de Christoffel.
• Lema de Weyl (ecuación de Laplace) .
• Teorema de Earnshaw que demuestra que la suspensión estática gravitacional, electrostática o magnética estable es imposible.
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .
• Otras situaciones en las que se define un Laplaciano son: análisis de fractales , cálculo de escala temporal y cálculo exterior discreto .

Notas

1. Evans 1998, §2.2
2. Ovall, Jeffrey S. (1 de marzo de 2016). "El laplaciano y los valores medios y extremos" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 123 (3): 287–291. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID  124943537.
3. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Grinfeld, Pavel (16 de abril de 2014). "La fórmula de Voss-Weyl". YouTube . Consultado el 9 de enero de 2018 .
4. Gilbarg y Trudinger 2001, Teorema 8.6
5. Gilbarg y Trudinger 2001, Corolario 8.11
6. MathWorld. "Laplaciano vectorial".

Referencias

• Evans, L. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Las conferencias de física de Feynman, vol. II, cap. 12: Análogos electrostáticos
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Schey, HM (1996), División, graduación, rizos y todo eso , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Lectura adicional

• El laplaciano - Richard Fitzpatrick 2006

Enlaces externos

• "Operador de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Laplaciano". MathWorld .
• Derivación del laplaciano en coordenadas polares
• Ecuaciones de Laplace sobre los cubos fractales y el efecto Casimir