Octágono

Forma de polígono con ocho lados.

En geometría , un octágono (del griego ὀκτάγωνον oktágōnon , "ocho ángulos") es un polígono de ocho lados o de 8 góndos.

Un octágono regular tiene el símbolo de Schläfli {8} ^[1] y también puede construirse como un cuadrado truncado cuasiregular , t{4}, que alterna dos tipos de aristas. Un octágono truncado, t{8} es un hexadecágono , {16}. Un análogo tridimensional del octágono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares como aristas reemplazadas, si se considera que el octágono es un cuadrado truncado.

Propiedades

Las diagonales del cuadrilátero verde son iguales en longitud y forman ángulos rectos entre sí.

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octágono es 1080°. Como ocurre con todos los polígonos, los ángulos externos suman 360°.

Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados de un octágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es a la vez equidiagonal y ortodiagonal (es decir, cuyas diagonales son iguales en longitud y a la derecha). ángulos entre sí). ^{[2] : Proposición 9}

El octágono de punto medio de un octágono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octágono de referencia. Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados del octágono del punto medio, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado. ^{[2] : Proposición 10}

Regularidad

Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho ejes de simetría reflectante y simetría rotacional de orden 8. Un octágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octágono regular es de 135 ° ( radianes ). El ángulo central mide 45° ( radianes). ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

Área

El área de un octágono regular de longitud de lado a está dada por

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

En términos del circunradio R , el área es

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

En términos de la apotema r (ver también la figura inscrita ), el área es

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

Estos dos últimos coeficientes abarcan el valor de pi , el área del círculo unitario .

El área de un octágono regular se puede calcular como un cuadrado truncado .

El área también se puede expresar como

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

donde S es el tramo del octágono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados o bases. Esto se prueba fácilmente si uno toma un octágono, dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego toma los triángulos de las esquinas (estos son 45–45–90 triángulos ). y los coloca con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado tienen cada uno la longitud de la base.

Dada la longitud de un lado a , el tramo S es

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

Entonces, el tramo es igual a la proporción de plata multiplicada por el lado, a.

El área entonces es como arriba:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Expresado en términos de luz, el área es

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Otra fórmula simple para el área es

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Más a menudo se conoce el tramo S y se debe determinar la longitud de los lados, a , como cuando se corta una pieza cuadrada de material en un octágono regular. De lo anterior,

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Las dos longitudes de los extremos e en cada lado (las longitudes de los catetos de los triángulos (verde en la imagen) truncadas del cuadrado), además de ser, se pueden calcular como ${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

Circunradio e inradio

El circunradio del octágono regular en términos de la longitud del lado a es ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

y el inradio es

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

(es decir, la mitad de la proporción de plata multiplicada por el lado, a , o la mitad del lapso, S )

El inradio se puede calcular a partir del circunradio como

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

Diagonalidad

El octágono regular, en términos de la longitud del lado a , tiene tres tipos diferentes de diagonales :

• Diagonal corta;
• Diagonal media (también llamada luz o altura), que es el doble de la longitud del inradio;
• Diagonal larga, que mide el doble de la longitud del circunradio.

La fórmula para cada uno de ellos se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud: ^{[ cita necesaria ]}

• Diagonal corta:  ; ${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• Diagonal media:  ; ( proporción de plata multiplicada por a) ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• Diagonal larga: . ${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Construcción

construir un octágono regular doblando una hoja de papel

Un octágono regular en una circunferencia determinada se puede construir de la siguiente manera:

1. Dibuja un círculo y un diámetro AOE, donde O es el centro y A, E son puntos del círculo circunstante.
2. Dibuja otro diámetro GOC, perpendicular al AOE.
3. (Tenga en cuenta de paso que A,C,E,G son vértices de un cuadrado).
4. Dibuja las bisectrices de los ángulos rectos GOA y EOG, formando dos diámetros más HOD y FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H son los vértices del octágono.

Se puede construir un octágono regular usando una regla y un compás , como 8 = 2 ³ , una potencia de dos :

Construcción del octágono del Mecano.

El octágono regular se puede construir con barras de mecano . Se necesitan doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.

Cada lado de un octágono regular subtiende medio ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por tanto, su área se puede calcular como la suma de ocho triángulos isósceles, lo que lleva al resultado:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

para un octágono de lado a .

Coordenadas estándar

Las coordenadas de los vértices de un octágono regular con centro en el origen y longitud de lado 2 son:

• (±1, ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 ), ±1).

Disectibilidad

Coxeter afirma que cada zonogon (un gon de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^[4] En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con el mismo número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono regular , m = 4, y se puede dividir en 6 rombos, y se muestra un ejemplo a continuación. Esta descomposición se puede ver como 6 de 24 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del teseracto . La lista (secuencia A006245 en la OEIS ) define el número de soluciones como ocho, por las ocho orientaciones de ésta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker .

Sesgar

Un octágono sesgado regular visto como bordes de un antiprisma cuadrado , simetría D _4d , [2 ⁺ , 8], (2*4), orden 16.

Un octágono sesgado es un polígono sesgado con ocho vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal octágono generalmente no está definido. Un octágono en zig-zag sesgado tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un octágono sesgado regular es transitivo por vértices con longitudes de bordes iguales. En tres dimensiones es un octágono oblicuo en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma cuadrado con la misma simetría D _4d , [2 ⁺ ,8], orden 16.

Polígonos de Petrie

El octágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores , que se muestran en estas proyecciones ortogonales sesgadas en los planos A ₇ , B ₄ y D ₅ de Coxeter .

Simetría

El octágono regular tiene simetría Dih ₈ , orden 16. Hay tres subgrupos diédricos: Dih ₄ , Dih ₂ y Dih ₁ , y cuatro subgrupos cíclicos : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ , el último sin implicar simetría. .

En el octágono regular hay once simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría total como r16 . ^[5] Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r16 y ninguna simetría se denomina a1 .

Los octágonos de alta simetría más comunes son p8 , un octágono isogonal construido por cuatro espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y d8 , un octágono isotoxal construido con longitudes de bordes iguales, pero los vértices alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octágono regular.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad pero puede verse como bordes dirigidos .

Usar

La planta octogonal, Cúpula de la Roca , Quds .

La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una característica planta octogonal. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. El plan octogonal también ha estado en la arquitectura de iglesias como la Catedral de San Jorge, Addis Abeba , la Basílica de San Vitale (en Rávena, Italia), el Castel del Monte (Apulia, Italia), el Baptisterio de Florencia , la Iglesia Zum Friedefürsten (Alemania) y una Número de iglesias octogonales en Noruega . El espacio central de la catedral de Aquisgrán , la Capilla Palatina carolingia , tiene una planta octogonal regular. Los usos de octágonos en las iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la Catedral de Nidaros .

Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de plantas octogonales en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios del edificio, como en la sede de Intelsat en Washington o las oficinas de Callam en Canberra.

• 
  Los paraguas suelen tener una forma octogonal.
• 
  El famoso diseño de la alfombra Bukhara incorpora un motivo octogonal de "pata de elefante".
• 
  El diseño de calles y manzanas del distrito del Eixample de Barcelona se basa en octógonos no regulares
• 
  Janggi utiliza piezas octogonales.
• 
  Las máquinas de lotería japonesas suelen tener forma octogonal.
• 
  Señal de alto utilizada en países de habla inglesa , así como en la mayoría de los países europeos.
• 
  Los trigramas del Bagua taoísta suelen estar dispuestos de forma octogonal.
• 
  Famosa copa de oro octogonal del naufragio de Belitung
• 
  Las clases en Shimer College se llevan a cabo tradicionalmente alrededor de mesas octogonales.
• 
  El Laberinto de la Catedral de Reims con forma casi octogonal.
• 
  El movimiento de los joysticks analógicos del controlador de Nintendo 64 , el controlador de GameCube , el Wii Nunchuk y el controlador clásico está restringido por un área octogonal rotada, lo que permite que el joystick se mueva en solo ocho direcciones diferentes.
• 
  Silla de A la Ronde , con asientos y respaldo octogonales (juego de ocho)

Cifras derivadas

• 
  El mosaico cuadrado truncado tiene 2 octágonos alrededor de cada vértice.
  
• 
  Un prisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  
• 
  Un antiprisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  
• 
  El cuboctaedro truncado contiene 6 caras octogonales.
  
• 
  El panal cúbico omnitruncado
  

Politopos relacionados

El octágono , como cuadrado truncado , es el primero de una secuencia de hipercubos truncados :

Como cuadrado expandido , también es el primero en una secuencia de hipercubos expandidos:

Ver también

• piscina de parachoques
• El pequeño octágono de Hansen
• casa octágono
• numero octogonal
• Octagrama
• Octaedro , forma 3D con ocho caras.
• Oktogon , una intersección importante en Budapest , Hungría
• Rub el Hizb (también conocido como Al Quds Star y Octa Star)
• Octágono suavizado

Referencias

1. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 9, ISBN 9780521098595.
2. Dao Thanh Oai (2015), "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos", Forum Geometriorum 15, 105--114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
3. Weisstein, Eric. "Octágono." De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
4. Coxeter , Ensayos y recreaciones matemáticas, decimotercera edición, p.141
5. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278) 

enlaces externos

• Calculadora de octágono
• Definición y propiedades de un octágono Con animación interactiva