Octágono

Forma poligonal con ocho lados

En geometría , un octágono (del griego antiguo ὀκτάγωνον ( oktágōnon ) 'ocho ángulos') es un polígono  de ocho lados u 8-gono.

Un octógono regular tiene el símbolo de Schläfli {8} ^[1] y también puede construirse como un cuadrado truncado cuasirregular , t{4}, que alterna dos tipos de aristas. Un octógono truncado, t{8} es un hexadecágono , {16}. Un análogo 3D del octógono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares como las aristas reemplazadas, si se considera que el octógono es un cuadrado truncado.

Propiedades

Las diagonales del cuadrilátero verde tienen la misma longitud y forman ángulos rectos entre sí.

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octágono es 1080°. Como en todos los polígonos, los ángulos externos suman 360°.

Si se construyen cuadrados todos internamente o todos externamente sobre los lados de un octógono, entonces los puntos medios de los segmentos que unen los centros de los cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es a la vez equidiagonal y ortodiagonal (es decir, cuyas diagonales son iguales en longitud y forman ángulos rectos entre sí). ^{[2] : Prop. 9}

El octógono central de un octógono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octógono de referencia. Si se construyen cuadrados todos internamente o todos externamente en los lados del octógono central, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado. ^{[2] : Prop. 10}

Regularidad

Un octógono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 8. Un octógono regular se representa con el símbolo de Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octógono regular es de 135 ° ( radianes ). El ángulo central es de 45° ( radianes ). ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

Área

El área de un octágono regular de lado a está dada por

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

En términos del radio circunscrito R , el área es

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

En términos de la apotema r (ver también la figura inscrita ), el área es

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

Estos dos últimos coeficientes encierran el valor de pi , el área del círculo unitario .

El área de un octágono regular se puede calcular como un cuadrado truncado .

El área también se puede expresar como

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

donde S es la longitud del octógono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados, o bases. Esto se demuestra fácilmente si uno toma un octógono, dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego toma los triángulos de las esquinas (estos son triángulos 45–45–90 ) y los coloca con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado son cada uno la longitud de la base.

Dada la longitud de un lado a , el tramo S es

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

El alcance, entonces, es igual al cociente plata por el lado, a.

El área entonces es como se muestra arriba:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Expresado en términos de la longitud, el área es

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Otra fórmula simple para el área es

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Más a menudo se conoce la distancia S y se debe determinar la longitud de los lados, a , como cuando se corta un trozo cuadrado de material en un octógono regular. De lo anterior,

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Las dos longitudes de los extremos e de cada lado (las longitudes de los catetos de los triángulos (verdes en la imagen) truncados del cuadrado), además de ser, se pueden calcular como ${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

Circunradio e inradio

El radio circunscrito del octágono regular en términos de la longitud del lado a es ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

y el radio interno es

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

(es decir, la mitad de la relación plata por el lado, a , o la mitad de la envergadura, S )

El inradio se puede calcular a partir del circunradio como

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

Diagonalidad

El octógono regular, en términos de la longitud del lado a , tiene tres tipos diferentes de diagonales :

• Diagonal corta;
• Diagonal media (también llamada amplitud o altura), que es el doble de la longitud del radio interior;
• Diagonal larga, que es el doble de la longitud del radio circunscrito.

La fórmula para cada uno de ellos se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud: ^[4]

• Diagonal corta:  ; ${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• Diagonal media:  ; ( proporción de plata por a) ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• Diagonal larga: . ${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Construcción

Construir un octágono regular doblando una hoja de papel.

Un octógono regular en un círculo circunscrito dado se puede construir de la siguiente manera:

1. Dibuje un círculo y un diámetro AOE, donde O es el centro y A, E son puntos en el círculo circunscrito.
2. Dibuje otro diámetro GOC, perpendicular al AOE.
3. (Nótese de paso que A, C, E, G son vértices de un cuadrado).
4. Dibuja las bisectrices de los ángulos rectos GOA y EOG, formando dos diámetros más HOD y FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H son los vértices del octágono.

Un octágono regular se puede construir utilizando una regla y un compás , ya que 8 = 2 ³ , una potencia de dos :

Construcción del octágono Mecano.

El octógono regular se puede construir con barras de mecano . Se requieren doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.

Cada lado de un octógono regular subtiende medio ángulo recto en el centro del círculo que une sus vértices. Su área puede calcularse, por tanto, como la suma de ocho triángulos isósceles, lo que da como resultado:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

para un octágono de lado a .

Coordenadas estándar

Las coordenadas de los vértices de un octágono regular centrado en el origen y con longitud de lado 2 son:

• (±1, ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 ), ±1).

Disectibilidad

Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^[5] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octógono regular , m = 4, y puede dividirse en 6 rombos, con un ejemplo que se muestra a continuación. Esta descomposición puede verse como 6 de 24 caras en un plano de proyección de polígono de Petrie del teseracto . La lista (secuencia A006245 en la OEIS ) define el número de soluciones como ocho, por las ocho orientaciones de esta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker .

Sesgar

Un octágono oblicuo regular visto como los bordes de un antiprisma cuadrado , simetría D _4d , [2 ⁺ ,8], (2*4), orden 16.

Un octógono oblicuo es un polígono oblicuo con ocho vértices y aristas pero que no se encuentran en el mismo plano. El interior de un octógono de este tipo no suele estar definido. Un octógono oblicuo en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un octógono oblicuo regular es transitivo por vértices con longitudes de aristas iguales. En tres dimensiones es un octógono oblicuo en zigzag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma cuadrado con la misma simetría D _4d , [2 ⁺ ,8], orden 16.

Polígonos de Petrie

El octágono oblicuo regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores , que se muestran en estas proyecciones ortogonales oblicuas de los planos de Coxeter A ₇ , B ₄ y D ₅ .

Simetría

El octágono regular tiene simetría Dih ₈ , orden 16. Hay tres subgrupos diedros: Dih ₄ , Dih ₂ y Dih ₁ , y cuatro subgrupos cíclicos : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ , el último implica que no hay simetría.

En el octógono regular, hay once simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría completa como r16 . ^[6] Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa de la forma regular es r16 y la ausencia de simetría se etiqueta como a1 .

Los octógonos de alta simetría más comunes son p8 , un octógono isogonal construido con cuatro espejos que pueden alternar aristas largas y cortas, y d8 , un octógono isotoxal construido con longitudes de aristas iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octógono regular.

Cada subgrupo de simetría permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Usar

Planta octogonal, Cúpula de la Roca , Jerusalén .

La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una planta octogonal característica. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. La planta octogonal también se ha utilizado en la arquitectura de iglesias como la Catedral de San Jorge, Adís Abeba , la Basílica de San Vitale (en Rávena, Italia), Castel del Monte (Apulia, Italia), el Baptisterio de Florencia , la Iglesia de Zum Friedefürsten (Alemania) y varias iglesias octogonales en Noruega . El espacio central de la Catedral de Aquisgrán , la Capilla Palatina carolingia , tiene una planta octogonal regular. Los usos de octógonos en iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la Catedral de Nidaros .

Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de planta octogonal en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios del edificio, como en la sede de Intelsat en Washington o en las oficinas de Callam en Canberra.

• 
  Los paraguas suelen tener un contorno octogonal.
• 
  El famoso diseño de la alfombra de Bujará incorpora un motivo octogonal de "pata de elefante".
• 
  El trazado de calles y manzanas del distrito del Eixample de Barcelona se basa en octógonos no regulares
• 
  Janggi utiliza piezas octogonales.
• 
  Las máquinas de lotería japonesas suelen tener forma octogonal.
• 
  Señal de stop utilizada en países de habla inglesa , así como en la mayoría de países europeos.
• 
  Los trigramas del bagua taoísta suelen estar dispuestos de forma octogonal.
• 
  Famosa copa de oro octogonal del naufragio de Belitung
• 
  Las clases en Shimer College se imparten tradicionalmente alrededor de mesas octogonales.
• 
  El Laberinto de la Catedral de Reims con forma casi octogonal.
• 
  El movimiento de los joysticks analógicos del controlador de Nintendo 64 , el controlador de GameCube , el Nunchuk de Wii y el controlador clásico está rodeado por un área octogonal rotada, lo que ayuda al usuario a apuntar los joysticks en direcciones cardinales y al mismo tiempo permite libertad circular.
• 
  Silla de A la Ronde , con asientos y respaldos octogonales (juego de ocho)

Cifras derivadas

• 
  El mosaico cuadrado truncado tiene 2 octógonos alrededor de cada vértice.
  
• 
  Un prisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  
• 
  Un antiprisma octogonal contiene dos caras octogonales.
  
• 
  El cuboctaedro truncado contiene 6 caras octogonales.
  
• 
  El panal cúbico omnitruncado
  

Politopos relacionados

El octógono , como cuadrado truncado , es el primero de una secuencia de hipercubos truncados :

Como cuadrado expandido , también es el primero de una secuencia de hipercubos expandidos:

Véase también

• Piscina de parachoques
• El pequeño octágono de Hansen
• Casa octogonal
• Número octogonal
• Octagrama
• Octaedro , figura tridimensional con ocho caras.
• Oktogon , una importante intersección en Budapest , Hungría
• Rub el Hizb (también conocida como Estrella Al Quds y Estrella Octa), un motivo común en la arquitectura islámica
• Octágono alisado

Referencias

1. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 9, ISBN 9780521098595.
2. Dao Thanh Oai (2015), "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos", Forum Geometricorum 15, 105--114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
3. Weisstein, Eric. "Octagon". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
4. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2023), Una panoplia de polígonos, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 58, American Mathematical Society, pág. 124, ISBN 9781470471842
5. Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, decimotercera edición, pág. 141
6. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 

Enlaces externos

• Calculadora de octágonos
• Definición y propiedades de un octágono Con animación interactiva