Nudo toroide

Nudo que se encuentra en la superficie de un toroide en un espacio tridimensional.

A (3,−7)- Nudo toroide 3D .

Premio EureleA que muestra un nudo toroidal (2,3).

(2,8) enlace toroidal

En la teoría de nudos , un nudo toroidal es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toroide no anudado en R ³ . De manera similar, un enlace toroidal es un enlace que se encuentra en la superficie de un toroide de la misma manera. Cada nudo toroidal está especificado por un par de enteros coprimos p y q . Un enlace toroidal surge si p y q no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es mcd ( p, q )). Un nudo toroidal es trivial (equivalente al desanudado) si y sólo si p o q son iguales a 1 o −1. El ejemplo no trivial más simple es el nudo toroide (2,3), también conocido como nudo trébol .

el nudo (2, −3) -toroide, también conocido como nudo trébol zurdo

representación geométrica

Un nudo toroidal se puede representar geométricamente de múltiples maneras que son topológicamente equivalentes (consulte Propiedades a continuación) pero geométricamente distintas. La convención utilizada en este artículo y sus figuras es la siguiente.

El nudo ( p , q )-toro gira q veces alrededor de un círculo en el interior del toro, yp veces alrededor de su eje de simetría rotacional . ^{[nota 1]} . Si p y q no son primos relativos, entonces tenemos un eslabón toroidal con más de un componente.

La dirección en la que las hebras del nudo se enrollan alrededor del toro también está sujeta a diferentes convenciones. Lo más común es que los hilos formen un tornillo de mano derecha para pq > 0 . ^{[3] [4] [5]}

El nudo ( p , q ) -toroidal puede venir dado por la parametrización

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

dónde y . Este se encuentra en la superficie del toro dada por (en coordenadas cilíndricas ). ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$ ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$ ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

También son posibles otras parametrizaciones, ya que los nudos se definen hasta una deformación continua. Las ilustraciones para los nudos de toro (2,3) y (3,8) se pueden obtener tomando , y en el caso del nudo de toro (2,3) restando además respectivamente y de las parametrizaciones anteriores de x y y . Este último se generaliza suavemente a cualquier coprimo p,q que satisfaga . ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$ ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle p<q<2p}$

Propiedades

Diagrama de un nudo toroidal (3, −8).

Un nudo toroidal es trivial si p o q son iguales a 1 o −1. ^{[4] [5]}

Cada nudo toroidal no trivial es primo ^[6] y quiral . ^[4]

El nudo toroidal ( p , q ) es equivalente al nudo toroidal ( q , p ). ^{[3] [5]} Esto se puede demostrar moviendo los hilos en la superficie del toroide. ^[7] El nudo toroidal ( p , − q ) es el anverso (imagen especular) del nudo toroidal ( p , q ). ^[5] El nudo toroidal (− p , − q ) es equivalente al nudo toroidal ( p , q ) excepto por la orientación invertida.

El nudo del toroide (3, 4) en la superficie del toroide desenvuelto y su palabra trenzada

Cualquier nudo ( p , q )-toro se puede hacer a partir de una trenza cerrada con p hebras. La palabra trenza apropiada es ^[8]

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

(Esta fórmula asume la convención común de que los generadores de trenzas son giros correctos, ^{[4] [8] [9] [10]} que no sigue la página de Wikipedia sobre trenzas).

El número de cruce de un nudo toroidal ( p , q ) con p , q > 0 viene dado por

c = mín(( p −1) q , ( q −1) p ).

El género de un nudo toroidal con p , q > 0 es

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

El polinomio de Alexander de un nudo toroide es ^{[3] [8]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$dónde ${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

El polinomio de Jones de un nudo toroidal (diestro) viene dado por

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

El complemento de un nudo toroidal en las 3 esferas es una variedad de fibras de Seifert , unida sobre el disco con dos fibras singulares.

Sea Y el gorro de burro de p veces con un disco retirado del interior, Z sea el gorro de burro de q veces con un disco retirado de su interior y X sea el espacio cociente obtenido al identificar Y y Z a lo largo de su círculo límite. El complemento de nudo de la deformación del nudo ( p , q ) -toroidal se retrae al espacio X. Por tanto, el grupo de nudos de un nudo toroidal tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Los nudos toroidales son los únicos nudos cuyos grupos de nudos tienen un centro no trivial (que es cíclico infinito, generado por el elemento en la presentación anterior). ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

El factor de estiramiento del nudo toroidal ( p , q ), como curva en el espacio euclidiano , es Ω(min( p , q )), por lo que los nudos toroidales tienen factores de estiramiento ilimitados. El investigador universitario John Pardon ganó el Premio Morgan 2012 por su investigación que demostró este resultado, que resolvió un problema planteado originalmente por Mikhail Gromov . ^{[11] [12]}

Conexión a hipersuperficies complejas

Los nudos ( p , q )-toro surgen al considerar el vínculo de una singularidad de hipersuperficie compleja aislada. Se cruza la hipersuperficie compleja con una hiperesfera , centrada en el punto singular aislado, y con un radio suficientemente pequeño como para que no encierre ni encuentre ningún otro punto singular. La intersección da una subvariedad de la hiperesfera.

Sean p y q números enteros coprimos, mayores o iguales a dos. Considere la función holomorfa dada por Sea el conjunto de tales que Dado un número real definimos las tres esferas reales como dada por La función tiene un punto crítico aislado en desde si y solo si Por lo tanto, consideramos la estructura de cerca de In Para hacer esto, consideramos la intersección. Esta intersección es el llamado vínculo de la singularidad. El vínculo de , donde p y q son coprimos, y ambos mayores o iguales a dos, es exactamente el ( p , q )−toro. nudo. ^[13] ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(w,z)=0.}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$ ${\displaystyle w=z=0.}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$

Lista

(36,3) enlace toroidal

La figura de la derecha es el eslabón toroidal (72,4).

• Sin nudo , 3 ₁ nudo (3,2), 5 ₁ nudo (5,2), 7 ₁ nudo (7,2), 8 ₁₉ nudo (4,3), 9 ₁ nudo (9,2), 10 ₁₂₄ nudo (5,3)

nudo g -toroide

Un nudo de toro g es una curva cerrada dibujada sobre un toro g . Más técnicamente, es la imagen homeomorfa de un círculo en S³ que puede realizarse como un subconjunto de un cuerpo de mango de género g en S³ (cuyo complemento es también un cuerpo de mango de género g ). Si un eslabón es un subconjunto de un cuerpo de mango de género dos, es un eslabón de doble toro . ^[14]

Para el género dos, el ejemplo más simple de un nudo toroidal doble que no es un nudo toroidal es el nudo en forma de ocho . ^{[15] [16]}

Notas

1. Tenga en cuenta que este uso de los roles de p y q es contrario a lo que aparece en. ^[1] También es inconsistente con las imágenes que aparecen en: ^[2]

Ver también

• Nudo alterno
• Nudo satélite
• Nudo hiperbólico
• Devanado irracional de un toro
• Topópolis

Referencias

1. Nudo toroide en Wolfram Mathworld [1].
2. "36 nudos toroidales", El atlas de nudos. [2].
3. Livingston, Charles (1993). Teoría de los nudos . Asociación Matemática de América. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 0-88385-027-3.
4. Murasugi, Kunio (1996). Teoría de nudos y sus aplicaciones . Birkhäuser. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 3-7643-3817-2.
5. Kawauchi, Akio (1996). Un estudio de la teoría de los nudos . Birkhäuser. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 3-7643-5124-1.
6. Norwood, FH (1 de enero de 1982). "Todo nudo de dos generadores es primo". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 86 (1): 143-147. doi : 10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN  0002-9939. JSTOR  2044414.
7. Panadero, Kenneth (28 de marzo de 2011). "pq es qp". Bocetos de topología . Consultado el 9 de noviembre de 2020 .
8. Lickorish, WBR (1997). Una introducción a la teoría de los nudos . Saltador. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 0-387-98254-X.
9. Dehornoy, P.; Dynnikov, Iván; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2000). ¿Por qué se pueden pedir trenzas? (PDF) . pag. ^{[ página necesaria ]} . Archivado desde el original (PDF) el 15 de abril de 2012 . Consultado el 12 de noviembre de 2011 .
10. Birmano, JS; Brendle, TE (2005). "Trenzas: una encuesta". En Menasco, W.; Thistlethwaite, M. (eds.). Manual de teoría de nudos . Elsevier. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 0-444-51452-X.
11. Kehoe, Elaine (abril de 2012), "Premio Morgan 2012", Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , vol. 59, núm. 4, págs. 569–571, ​​doi : 10.1090/noti825.
12. Pardon, John (2011), "Sobre la distorsión de nudos en superficies incrustadas", Annals of Mathematics , segunda serie, 174 (1): 637–646, arXiv : 1010.1972 , doi :10.4007/annals.2011.174.1.21, MR  2811613, S2CID  55567836
13. Milnor, J. (1968). Puntos singulares de hipersuperficies complejas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 0-691-08065-8.
14. Rolfsen, Dale (1976). Nudos y Enlaces . Publicar o perecer, Inc. pág. ^{[ página necesaria ]} . ISBN 0-914098-16-0.
15. Hill, Peter (diciembre de 1999). "Sobre nudos de doble toro (I)". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 08 (8): 1009–1048. doi :10.1142/S0218216599000651. ISSN  0218-2165.
16. Norwood, Frederick (noviembre de 1989). "Curvas sobre superficies". Topología y sus aplicaciones . 33 (3): 241–246. doi : 10.1016/0166-8641(89)90105-3 .

enlaces externos

• "36 Nudos Toro", El Atlas de Nudos .
• Weisstein, Eric W. "Nudo toroide". MundoMatemático .
• Representador de nudos toroidales en Actionscript
• Diversión con el nudo PQ-Torus