En matemáticas, una superficie de género g (también conocida como toro g o toro con agujeros g ) es una superficie formada por la suma conectada de g toros distintos : el interior de un disco se elimina de cada uno de g toros distintos y los límites de la g se identifican muchos discos (pegados entre sí), formando un toro g . El género de dicha superficie es g .
Una superficie de género g es una variedad bidimensional . El teorema de clasificación de superficies establece que toda variedad bidimensional compacta y conectada es homeomórfica ya sea para la esfera, la suma conexa de toros o la suma conexa de planos proyectivos reales .
El género de una superficie orientable conectada es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se cruzan sin desconectar la variedad resultante . [1] Es igual al número de asas que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ = 2 − 2 g para superficies cerradas , donde g es el género.
El género (a veces llamado semigénero o género Euler) de una superficie cerrada conectada no orientable es un número entero positivo que representa el número de tapas transversales unidas a una esfera. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ = 2 − g , donde g es el género no orientable.
Una superficie orientable de género cero es la esfera S 2 . Otra superficie del género cero es el disco .
Una superficie orientable del género uno es el toro ordinario. Una superficie no orientable de género uno es el plano proyectivo . [2]
Las curvas elípticas sobre los números complejos se pueden identificar con superficies del género 1. La formulación de curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se deriva naturalmente de una propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass que permite obtener curvas elípticas a partir del cociente del plano complejo mediante una red . [3]
El término doble toro se utiliza ocasionalmente para denotar una superficie de género 2. [4] [5] Una superficie no orientable del género dos es la botella de Klein .
La superficie de Bolza es la superficie de Riemann más simétrica del género 2, en el sentido de que tiene el mayor grupo de automorfismos conformales posible . [6]
El término triple toro también se utiliza ocasionalmente para denotar una superficie de género 3. [7] [5]
El cuártico de Klein es una superficie compacta de Riemann del género 3 con el grupo de automorfismo de orden más alto posible para superficies compactas de Riemann del género 3. Tiene 168 automorfismos que conservan la orientación y 336 automorfismos en total.
![Dodecágono con aristas opuestas identificadas[8]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Dodecagon_with_opposite_faces_identified.svg/1280px-Dodecagon_with_opposite_faces_identified.svg.png)
![Tetradecágono con bordes opuestos identificados[8]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/14-gon_with_opposite_faces_identified.svg/1280px-14-gon_with_opposite_faces_identified.svg.png)
