superficie de seifert

Superficie orientable cuyo límite es un nudo o eslabón.

Una superficie de Seifert delimitada por un conjunto de anillos borromeos .

En matemáticas , una superficie de Seifert (llamada así en honor al matemático alemán Herbert Seifert ^{[1] [2]} ) es una superficie orientable cuyo límite es un nudo o vínculo determinado .

Estas superficies se pueden utilizar para estudiar las propiedades del nudo o eslabón asociado. Por ejemplo, muchas invariantes de nudos se calculan más fácilmente utilizando una superficie de Seifert. Las superficies de Seifert también son interesantes por sí mismas y son objeto de considerables investigaciones.

Específicamente, sea L un nudo o vínculo dócilmente orientado en el 3 espacio euclidiano (o en las 3 esferas ). Una superficie de Seifert es una superficie compacta , conectada y orientada S incrustada en un espacio tridimensional cuyo límite es L tal que la orientación en L es solo la orientación inducida desde S.

Tenga en cuenta que cualquier superficie compacta, conectada y orientada con un límite no vacío en el espacio tridimensional euclidiano es la superficie de Seifert asociada a su vínculo de límite. Un solo nudo o eslabón puede tener muchas superficies Seifert diferentes y no equivalentes. Se debe orientar una superficie de Seifert . También es posible asociar superficies a nudos que no estén orientados ni orientables.

Ejemplos

Una superficie de Seifert para el enlace Hopf . Se trata de un anillo, no de una tira de Möbius. Tiene dos medias vueltas y por tanto es orientable.

La tira de Möbius estándar tiene el desanudado como límite, pero no es una superficie de Seifert para el desanudado porque no es orientable.

El color "tablero de ajedrez" de la habitual proyección mínima cruzada del nudo trébol da una tira de Mobius con tres medias vueltas. Como en el ejemplo anterior, esta no es una superficie de Seifert ya que no es orientable. La aplicación del algoritmo de Seifert a este diagrama, como se esperaba, produce una superficie de Seifert; en este caso, es un toro perforado de género g = 1, y la matriz de Seifert es

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Matriz de existencia y Seifert

Es un teorema que cualquier enlace siempre tiene una superficie de Seifert asociada. Este teorema fue publicado por primera vez por Frankl y Pontryagin en 1930. ^[3] Herbert Seifert publicó una prueba diferente en 1934 y se basa en lo que ahora se llama el algoritmo de Seifert. El algoritmo produce una superficie de Seifert , dada una proyección del nudo o eslabón en cuestión. ${\displaystyle S}$

Supongamos que el vínculo tiene m componentes ( m = 1 para un nudo), el diagrama tiene d puntos de cruce y al resolver los cruces (preservando la orientación del nudo) se obtienen f círculos. Luego, la superficie se construye a partir de f discos disjuntos uniendo d bandas. El grupo de homología es abeliano libre en generadores de 2 g , donde ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)}$

es el género de . La forma de intersección Q en es simétrica sesgada y hay una base de 2 g ciclos con igual a una suma directa de las g copias de la matriz. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$ ${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Una ilustración de (curvas isotópicas) los impulsos de un generador de homología a en las direcciones positiva y negativa para una superficie de Seifert del nudo en forma de ocho.

La matriz de Seifert entera de 2 g × 2 g

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

tiene el número de enlace en el espacio tridimensional euclidiano (o en las 3 esferas ) de a _i y el "empuje" de a _j en la dirección positiva de . Más precisamente, recordando que las superficies de Seifert tienen dos collares, lo que significa que podemos extender la incrustación de a una incrustación de , dado algún bucle representativo que sea un generador de homología en el interior de , la expulsión positiva es y la expulsión negativa es . ^[4] ${\displaystyle v(i,j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times [-1,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\times \{1\}}$ ${\displaystyle x\times \{-1\}}$

Con esto tenemos

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

donde V ^∗ = ( v ( j , i )) la matriz transpuesta. Cada matriz entera de 2 g × 2 g surge como la matriz Seifert de un nudo con superficie de género g Seifert. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V^{*}=Q}$

El polinomio de Alexander se calcula a partir de la matriz de Seifert, por la cual es un polinomio de grado como máximo 2 g en lo indeterminado. El polinomio de Alexander es independiente de la elección de la superficie de Seifert y es una invariante del nudo o eslabón. ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle S,}$

La firma de un nudo es la firma de la matriz simétrica de Seifert . Es nuevamente una invariante del nudo o vínculo. ${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$

Género de un nudo

Las superficies de Seifert no son en absoluto únicas: una superficie de Seifert S de género g y una matriz de Seifert V pueden modificarse mediante una cirugía topológica , dando como resultado una superficie de Seifert S ′ de género g + 1 y una matriz de Seifert.

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El género de un nudo K es el invariante del nudo definido por el género mínimo g de una superficie de Seifert para K.

Por ejemplo:

• Un desanudado (que es, por definición, el límite de un disco ) tiene género cero. Además, el desanudado es el único nudo de género cero.
• El nudo trébol tiene género 1, al igual que el nudo en forma de ocho .
• El género de un ( p ,  q )- nudo toroide es ( p − 1)( q − 1)/2
• El grado del polinomio de Alexander de un nudo es un límite inferior del doble de su género.

Una propiedad fundamental del género es que es aditivo respecto de la suma de nudos :

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

En general, el género de un nudo es difícil de calcular y el algoritmo de Seifert normalmente no produce una superficie de Seifert de menor género. Por esta razón, a veces son útiles otras invariantes relacionadas. El género canónico de un nudo es el género mínimo de todas las superficies de Seifert que pueden construirse mediante el algoritmo de Seifert, y el género libre es el género mínimo de todas las superficies de Seifert cuyo complemento es un cuerpo de mango . (El complemento de una superficie de Seifert generada por el algoritmo de Seifert es siempre un cuerpo de mango). Para cualquier nudo, la desigualdad obviamente se cumple, por lo que, en particular, estos invariantes colocan límites superiores en el género. ^[5] ${\displaystyle g_{c}}$ ${\displaystyle g_{f}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$

El género de nudos es NP-completo gracias al trabajo de Ian Agol , Joel Hass y William Thurston . ^[6]

Se ha demostrado que hay superficies de Seifert del mismo género que no se vuelven isotópicas ni topológicamente ni suavemente en las 4 bolas. ^{[7] [8]}

Ver también

• número cruzado
• Arf invariante de un nudo
• Género de rebanadas

Referencias

1. Seifert, H. (1934). "Über das Geschlecht von Knoten". Matemáticas. Annalen (en alemán). 110 (1): 571–592. doi :10.1007/BF01448044. S2CID  122221512.
2. van Wijk, Jarke J .; Cohen, Arjeh M. (2006). "Visualización de superficies de Seifert". Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 12 (4): 485–496. doi :10.1109/TVCG.2006.83. PMID  16805258. S2CID  4131932.
3. Frankl, F.; Pontrjagin, L. (1930). "Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie". Matemáticas. Annalen (en alemán). 102 (1): 785–789. doi :10.1007/BF01782377. S2CID  123184354.
4. Dale Rolfsen. Nudos y Enlaces. (1976), 146-147.
5. Brittenham, Mark (24 de septiembre de 1998). "Delimitación del volumen de límites de género canónico". arXiv : matemáticas/9809142 .
6. Agol, Ian ; Hass, Joel ; Thurston, William (19 de mayo de 2002). "El género de nudos de 3 variedades es NP-completo". Actas del trigésimo cuarto simposio anual de ACM sobre teoría de la informática . STOC '02. Nueva York, NY, EE.UU.: Asociación de Maquinaria de Computación. págs. 761–766. arXiv : matemáticas/0205057 . doi :10.1145/509907.510016. ISBN 978-1-58113-495-7. S2CID  10401375: a través del enlace del autor.
7. Hayden, Kyle; Kim, Seungwon; Molinero, Maggie; Park, JungHwan; Sundberg, Isaac (30 de mayo de 2022). "Seifert emerge en la bola 4". arXiv : 2205.15283 [matemáticas.GT].
8. "Las superficies especiales siguen siendo distintas en cuatro dimensiones". Revista Quanta . 2022-06-16 . Consultado el 16 de julio de 2022 .

enlaces externos

• El programa SeifertView de Jack van Wijk visualiza las superficies Seifert de nudos construidos utilizando el algoritmo de Seifert.