Las matemáticas puras son el estudio de conceptos matemáticos independientemente de cualquier aplicación fuera de las matemáticas . Estos conceptos pueden tener su origen en problemas del mundo real y los resultados obtenidos pueden resultar útiles posteriormente para aplicaciones prácticas, pero los matemáticos puros no están motivados principalmente por dichas aplicaciones. En cambio, el atractivo se atribuye al desafío intelectual y la belleza estética de elaborar las consecuencias lógicas de los principios básicos.
Si bien las matemáticas puras han existido como actividad al menos desde la antigua Grecia , el concepto fue elaborado alrededor del año 1900, [2] después de la introducción de teorías con propiedades contraintuitivas (como las geometrías no euclidianas y la teoría de conjuntos infinitos de Cantor ), y el descubrimiento de paradojas aparentes (como las funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte , y la paradoja de Russell ). Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matemático y reescribir todas las matemáticas en consecuencia, con un uso sistemático de métodos axiomáticos . Esto llevó a muchos matemáticos a centrarse en las matemáticas por sí mismas, es decir, las matemáticas puras.
Sin embargo, casi todas las teorías matemáticas siguieron motivadas por problemas provenientes del mundo real o de teorías matemáticas menos abstractas. Además, muchas teorías matemáticas, que parecían ser matemáticas totalmente puras, terminaron utilizándose en áreas aplicadas, principalmente la física y la informática . Un ejemplo temprano famoso es la demostración de Isaac Newton de que su ley de gravitación universal implicaba que los planetas se mueven en órbitas que son secciones cónicas , curvas geométricas que habían sido estudiadas en la antigüedad por Apolonio . Otro ejemplo es el problema de factorización de números enteros grandes , que es la base del criptosistema RSA , ampliamente utilizado para asegurar las comunicaciones por Internet . [3]
De ello se desprende que, en la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más un punto de vista filosófico o una preferencia matemática que una subdivisión rígida de las matemáticas. [4]
Los matemáticos griegos antiguos fueron de los primeros en hacer una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Platón ayudó a crear la brecha entre la "aritmética", ahora llamada teoría de números , y la "logística", ahora llamada aritmética . Platón consideraba que la logística (aritmética) era apropiada para los hombres de negocios y los hombres de guerra que "deben aprender el arte de los números o no sabrán cómo organizar sus tropas" y la aritmética (teoría de números) era apropiada para los filósofos "porque [tienen] que surgir del mar del cambio y apoderarse del ser verdadero". [5] Euclides de Alejandría , cuando uno de sus estudiantes le preguntó de qué servía el estudio de la geometría, le pidió a su esclavo que le diera al estudiante tres peniques, "ya que debe sacar provecho de lo que aprende". [6] Al matemático griego Apolonio de Perga le preguntaron sobre la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro IV de las Cónicas, a lo que afirmó con orgullo: [7]
Son dignas de aceptación por el hecho de ser demostradas en sí mismas, de la misma manera que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esta y ninguna otra razón.
Y como muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o la ingeniería de su época, Apolonio argumentó además en el prefacio del quinto libro de Cónicas que el tema es uno de aquellos que "... parecen dignos de estudio por sí mismos". [7]
El término en sí está consagrado en el título completo de la Cátedra Sadleirian , "Profesor Sadleirian de Matemáticas Pura", fundada (como cátedra) a mediados del siglo XIX. La idea de una disciplina separada de las matemáticas puras puede haber surgido en esa época. La generación de Gauss no hizo una distinción general del tipo entre matemáticas puras y aplicadas . En los años siguientes, la especialización y la profesionalización (en particular en el enfoque de Weierstrass para el análisis matemático ) comenzaron a hacer más evidente la brecha.
A principios del siglo XX, los matemáticos adoptaron el método axiomático , fuertemente influidos por el ejemplo de David Hilbert . La formulación lógica de las matemáticas puras sugerida por Bertrand Russell en términos de una estructura cuantificadora de proposiciones parecía cada vez más plausible, a medida que grandes partes de las matemáticas se axiomatizaban y, por lo tanto, quedaban sujetas a los simples criterios de la demostración rigurosa .
Según una concepción que se puede atribuir al grupo de Bourbaki , lo que está demostrado es la matemática pura. El "matemático puro" se convirtió en una vocación reconocida, alcanzable mediante la formación.
Se argumentó que las matemáticas puras son útiles en la educación en ingeniería : [8]
Un concepto central en las matemáticas puras es la idea de generalidad; las matemáticas puras suelen mostrar una tendencia hacia una mayor generalidad. Los usos y ventajas de la generalidad incluyen los siguientes:
El impacto de la generalidad en la intuición depende tanto del tema como de una cuestión de preferencia personal o estilo de aprendizaje. A menudo se considera que la generalidad es un obstáculo para la intuición, aunque sin duda puede funcionar como una ayuda, especialmente cuando proporciona analogías con material para el que ya se tiene una buena intuición.
Como un excelente ejemplo de generalidad, el programa de Erlangen implicó una expansión de la geometría para dar cabida a geometrías no euclidianas , así como al campo de la topología y otras formas de geometría, al considerar la geometría como el estudio de un espacio junto con un grupo de transformaciones. El estudio de los números , llamado álgebra en el nivel inicial de pregrado, se extiende al álgebra abstracta en un nivel más avanzado; y el estudio de las funciones , llamado cálculo en el nivel de primer año de universidad, se convierte en análisis matemático y análisis funcional en un nivel más avanzado. Cada una de estas ramas de las matemáticas más abstractas tiene muchas subespecialidades y, de hecho, existen muchas conexiones entre las matemáticas puras y las disciplinas de las matemáticas aplicadas. A mediados del siglo XX se observó un pronunciado aumento de la abstracción .
En la práctica, sin embargo, estos avances llevaron a una marcada divergencia con la física , en particular entre 1950 y 1983. Más tarde, esto fue criticado, por ejemplo por Vladimir Arnold , como demasiado Hilbert y no lo suficiente Poincaré . El punto aún no parece estar resuelto, en el sentido de que la teoría de cuerdas tira en una dirección, mientras que las matemáticas discretas retroceden hacia la demostración como tema central.
Los matemáticos siempre han tenido opiniones diferentes sobre la distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Uno de los ejemplos modernos más famosos (aunque tal vez incomprendidos) de este debate se puede encontrar en el ensayo de GH Hardy de 1940 A Mathematician's Apology .
Se cree ampliamente que Hardy consideraba que las matemáticas aplicadas eran feas y aburridas. Si bien es cierto que Hardy prefería las matemáticas puras, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía , Hardy veía la distinción entre matemáticas puras y aplicadas como simplemente que las matemáticas aplicadas buscaban expresar la verdad física en un marco matemático, mientras que las matemáticas puras expresaban verdades que eran independientes del mundo físico. Hardy hizo una distinción separada en matemáticas entre lo que él llamaba matemáticas "reales", "que tienen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen un uso práctico. [9]
Hardy consideraba que algunos físicos, como Einstein y Dirac , se encontraban entre los matemáticos "reales", pero en el momento en que estaba escribiendo su Apología , consideraba que la relatividad general y la mecánica cuántica eran "inútiles", lo que le permitió sostener la opinión de que solo las matemáticas "aburridas" eran útiles. Además, Hardy admitió brevemente que, así como la aplicación de la teoría de matrices y la teoría de grupos a la física había llegado inesperadamente, podría llegar el momento en que algunos tipos de matemáticas hermosas y "reales" también pudieran ser útiles.
Otra visión reveladora la ofrece el matemático estadounidense Andy Magid :
Siempre he pensado que un buen modelo en este caso podría extraerse de la teoría de anillos. En esa materia, uno tiene las subáreas de la teoría de anillos conmutativos y la teoría de anillos no conmutativos . Un observador desinformado podría pensar que estas representan una dicotomía, pero de hecho la última subsume a la primera: un anillo no conmutativo es un anillo no necesariamente conmutativo. Si usamos convenciones similares, entonces podríamos referirnos a matemáticas aplicadas y matemáticas no aplicadas, donde con estas últimas nos referimos a matemáticas no necesariamente aplicadas ... [énfasis añadido] [10]
Friedrich Engels argumentó en su libro de 1878 Anti-Dühring que "no es del todo cierto que en las matemáticas puras la mente se ocupe sólo de sus propias creaciones e imaginaciones. Los conceptos de número y figura no han sido inventados a partir de ninguna otra fuente que el mundo de la realidad". [11] : 36 Además, argumentó que "Antes de que uno llegara a la idea de deducir la forma de un cilindro a partir de la rotación de un rectángulo sobre uno de sus lados, se deben haber examinado varios rectángulos y cilindros reales, por imperfectos que sean en su forma. Como todas las demás ciencias, las matemáticas surgieron de las necesidades de los hombres... Pero, como en todos los departamentos del pensamiento, en una determinada etapa de desarrollo las leyes, que fueron abstraídas del mundo real, se divorcian de él y se oponen a él como algo independiente, como leyes que vienen de afuera, a las que el mundo tiene que adaptarse". [11] : 37
