En matemáticas , un mapa regular es un mosaico simétrico de una superficie cerrada . Más precisamente, un mapa regular es una descomposición de una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos de modo que cada bandera (una tripleta incidente vértice-borde-cara) se pueda transformar en cualquier otra bandera por una simetría de la descomposición. Los mapas regulares son, en cierto sentido, generalizaciones topológicas de los sólidos platónicos . La teoría de mapas y su clasificación está relacionada con la teoría de superficies de Riemann , la geometría hiperbólica y la teoría de Galois . Los mapas regulares se clasifican según: el género y la orientabilidad de la superficie de apoyo, el gráfico subyacente o el grupo de automorfismos .
Los mapas regulares generalmente se definen y estudian de tres maneras: topológicamente, teóricamente de grupos y teóricamente de grafos.
Topológicamente, un mapa es una descomposición de 2 celdas de una variedad compacta conectada. [1]
El género g, de un mapa M está dado por la relación de Euler que es igual a si el mapa es orientable y si el mapa no es orientable. Es un hecho crucial que existe un número finito (distinto de cero) de mapas regulares para cada género orientable excepto el toro.
Teóricamente de grupo, la representación de permutación de un mapa regular M es un grupo de permutación transitivo C , en un conjunto de banderas , generado por tres involuciones libres de punto fijo r 0 , r 1 , r 2 que satisfacen (r 0 r 2 ) 2 = I. En esta definición las caras son las órbitas de F = < r 0 , r 1 >, las aristas son las órbitas de E = < r 0 , r 2 > y los vértices son las órbitas de V = < r 1 , r 2 >. De manera más abstracta, el grupo de automorfismo de cualquier mapa regular es la imagen homomórfica no degenerada de un grupo de triángulos <2,m,n> .
Teóricamente, un mapa es un gráfico cúbico con aristas coloreadas en azul, amarillo y rojo de modo que: está conectado, cada vértice incide en una arista de cada color y los ciclos de aristas que no están coloreadas en amarillo tienen una longitud de 4. Tenga en cuenta que es la gráfico de bandera o mapa codificado en gráfico (GEM) del mapa, definido en el conjunto de banderas de vértices y no es el esqueleto G = (V,E) del mapa. En general, | | = 4|E|.
Un mapa M es regular si Aut(M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut( M ) de un mapa regular es transitivo en los vértices, aristas y caras de M . Se dice que un mapa M es reflexible si y sólo si Aut( M ) es regular y contiene un automorfismo que fija tanto un vértice v como una cara f , pero invierte el orden de las aristas. Un mapa que es regular pero no reflexible se dice quiral .
La siguiente es una lista completa de mapas regulares en superficies de característica de Euler positiva , χ: la esfera y el plano proyectivo. [2]
Las imágenes a continuación muestran tres de los 20 mapas regulares en el triple toro , etiquetados con sus tipos Schläfli.
Los mapas regulares existen como poliedros toroédricos como porciones finitas de mosaicos euclidianos, envueltos sobre la superficie de un duocilindro como un toro plano . Estos están etiquetados como {4,4} b , c para aquellos relacionados con el mosaico cuadrado , {4,4}. [4] {3,6} b , c están relacionados con el mosaico triangular , {3,6}, y {6,3} b , c relacionados con el mosaico hexagonal , {6,3}. b y c son números enteros . [5] Hay 2 casos especiales ( b ,0) y ( b , b ) con simetría reflexiva, mientras que los casos generales existen en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ).
Los mapas regulares de la forma {4,4} m ,0 se pueden representar como el poliedro sesgado regular finito {4,4 | m }, visto como las caras cuadradas de un duoprisma m × m en 4 dimensiones.
Aquí hay un ejemplo {4,4} 8,0 mapeado desde un plano como un tablero de ajedrez a una sección de cilindro y a un toroide. La proyección de un cilindro a un toroide distorsiona la geometría en 3 dimensiones, pero se puede realizar sin distorsión en 4 dimensiones.
En los poliedros toroidales generalmente regulares { p , q } b , c se puede definir si p o q son pares, aunque solo los euclidianos anteriores pueden existir como poliedros toroidales en 4 dimensiones. En {2 p , q }, los caminos ( b , c ) se pueden definir como escalones cara-borde-cara en líneas rectas, mientras que las formas duales { p ,2 q } verán los caminos ( b , c ) como escalones vértice-borde-vértice en rectas.
