Ideal (teoría de anillos)

Subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación

En matemáticas , y más específicamente en la teoría de anillos , un ideal de un anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de los números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de números pares preserva la paridad, y la multiplicación de un número par por cualquier número entero (par o impar) da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Un ideal se puede utilizar para construir un anillo cociente de una manera similar a cómo, en la teoría de grupos , se puede utilizar un subgrupo normal para construir un grupo cociente .

Entre los números enteros, los ideales se corresponden uno a uno con los números enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal que consiste en los múltiplos de un único número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se vinculan más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema chino del resto se puede generalizar a los ideales. Existe una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números ).

El concepto relacionado, pero distinto, de ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría de anillos. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal y, para mayor claridad, los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales .

Historia

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para servir como los factores "faltantes" en los anillos numéricos en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" tiene el sentido de existir solo en la imaginación, en analogía con los objetos "ideales" en geometría como los puntos en el infinito. ^[1] En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había agregado muchos suplementos. ^{[1] [2] [3]} Más tarde, la noción se extendió más allá de los anillos numéricos al entorno de los anillos polinómicos y otros anillos conmutativos por David Hilbert y especialmente Emmy Noether .

Definiciones

Dado un anillo R , un ideal izquierdo es un subconjunto I de R que es un subgrupo del grupo aditivo de que "absorbe la multiplicación por la izquierda por elementos de ⁠ ⁠ "; es decir, es un ideal izquierdo si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$es un subgrupo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle (R,+)}$ ,
2. Para cada uno y cada ⁠ ⁠ , el producto está en ⁠ ⁠ . ^[4] ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle I}$

En otras palabras, un ideal izquierdo es un submódulo izquierdo de R , considerado como un módulo izquierdo sobre sí mismo. ^[5]

Un ideal recto se define de manera similar, con la condición reemplazada por ⁠ ⁠ . Un ideal bilateral es un ideal izquierdo que también es un ideal recto. ${\displaystyle rx\in I}$ ${\displaystyle xr\in I}$

Si el anillo es conmutativo , las tres definiciones son las mismas y se habla simplemente de ideal . En el caso no conmutativo, se suele utilizar "ideal" en lugar de "ideal bilateral".

Si I es un ideal izquierdo, derecho o bilateral, la relación si y sólo si ${\displaystyle x\sim y}$

${\displaystyle x-y\in I}$

es una relación de equivalencia en R , y el conjunto de clases de equivalencia forma un módulo izquierdo, derecho o bi denotado y llamado cociente de R por I . ^[6] (Es una instancia de una relación de congruencia y es una generalización de la aritmética modular ). ${\displaystyle R/I}$

Si el ideal I es bilateral, es un anillo, ^[7] y la función ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R\to R/I}$

que asocia a cada elemento de R su clase de equivalencia es un homomorfismo de anillo sobreyectivo que tiene como núcleo al ideal . ^[8] Por el contrario, el núcleo de un homomorfismo de anillo es un ideal bilateral. Por lo tanto, los ideales bilaterales son exactamente los núcleos de los homomorfismos de anillo.

Nota sobre la convención

Por convención, un anillo tiene la identidad multiplicativa. Pero algunos autores no requieren que un anillo tenga la identidad multiplicativa; es decir, para ellos, un anillo es un rng . Para un rng R , un ideal izquierdo I es un subanillo con la propiedad adicional de que está en I para todos y cada uno . (Los ideales derechos y bilaterales se definen de manera similar). Para un anillo, un ideal I (digamos un ideal izquierdo) rara vez es un subanillo; dado que un subanillo comparte la misma identidad multiplicativa con el anillo ambiente R , si I fuera un subanillo, para cada , tenemos es decir, . ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle r=r1\in I;}$ ${\displaystyle I=R}$

La noción de ideal no implica asociatividad; por lo tanto, un ideal también se define para anillos no asociativos (a menudo sin la identidad multiplicativa) como un álgebra de Lie .

Ejemplos y propiedades

(En aras de la brevedad, algunos resultados se indican sólo para ideales de izquierda, pero normalmente también son verdaderos para ideales de derecha con los cambios de notación apropiados).

• En un anillo R , el propio conjunto R forma un ideal bilateral de R llamado ideal unitario . A menudo también se denota por ya que es precisamente el ideal bilateral generado (ver más abajo) por la unidad ⁠ ⁠ . Además, el conjunto que consiste únicamente en la identidad aditiva 0 _R forma un ideal bilateral llamado ideal cero y se denota por ⁠ ⁠ . ^{[nota 1]} Todo ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal unitario. ^[9] ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle 1_{R}}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle (0)}$
• Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que no es el ideal unidad se denomina ideal propio (ya que es un subconjunto propio ). ^[10] Nota: un ideal izquierdo es propio si y solo si no contiene un elemento unidad, ya que si es un elemento unidad, entonces para cada ⁠ ⁠ . Normalmente hay muchos ideales propios. De hecho, si R es un cuerpo oblicuo , entonces son sus únicos ideales y a la inversa: es decir, un anillo distinto de cero R es un cuerpo oblicuo si son los únicos ideales izquierdos (o derechos). (Demostración: si es un elemento distinto de cero, entonces el ideal izquierdo principal (ver más abajo) es distinto de cero y, por tanto , ; es decir, para algún ⁠ ⁠ distinto de cero . Asimismo , para algún . distinto de cero . Entonces .) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle Rx=(1)}$ ${\displaystyle yx=1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle zy=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Los números enteros pares forman un ideal en el anillo de todos los números enteros, ya que la suma de dos números enteros pares cualesquiera es par, y el producto de cualquier número entero por un número entero par también es par; este ideal se denota habitualmente por ⁠ ⁠ . De forma más general, el conjunto de todos los números enteros divisibles por un número entero fijo es un ideal denotado ⁠ ⁠ . De hecho, todo ideal no nulo del anillo se genera por su elemento positivo más pequeño, como consecuencia de la división euclidiana , por lo que es un dominio ideal principal . ^[9] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio es un ideal en el anillo de todos los polinomios con coeficientes reales . ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• Tome un anillo y un entero positivo ⁠ ⁠ . Para cada ⁠ ⁠ , el conjunto de todas las matrices con entradas en cuya -ésima fila es cero es un ideal derecho en el anillo de todas las matrices con entradas en ⁠ ⁠ . No es un ideal izquierdo. De manera similar, para cada ⁠ ⁠ , el conjunto de todas las matrices cuya -ésima columna es cero es un ideal izquierdo pero no un ideal derecho. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle j}$
• El anillo de todas las funciones continuas desde hasta bajo la multiplicación puntual contiene el ideal de todas las funciones continuas tales que ⁠ ⁠ . ^[11] Otro ideal en está dado por aquellas funciones que se desvanecen para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas para las que existe un número tal que siempre que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L>0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle \vert x\vert >L}$
• Un anillo se denomina anillo simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales distintos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0),(1)}$ . Por lo tanto, un cuerpo oblicuo es simple y un anillo conmutativo simple es un cuerpo. El anillo matricial sobre un cuerpo oblicuo es un anillo simple.
• Si es un homomorfismo de anillo , entonces el núcleo es un ideal bilateral de ⁠ ⁠ . ^[9] Por definición, ⁠ ⁠ , y por lo tanto si no es el anillo cero (por lo tanto ⁠ ⁠ ), entonces es un ideal propio. De manera más general, para cada ideal izquierdo I de S , la preimagen es un ideal izquierdo. Si I es un ideal izquierdo de R , entonces es un ideal izquierdo del subanillo de S : a menos que f sea sobreyectiva, no necesita ser un ideal de S ; vea también #Extensión y contracción de un ideal a continuación. ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(I)}$
• Correspondencia ideal : Dado un homomorfismo de anillo sobreyectivo ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:R\to S}$ , existe una correspondencia biyectiva que preserva el orden entre los ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) de que contienen el núcleo de y los ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) de : la correspondencia está dada por y la preimagen ⁠ ⁠ . Además, para anillos conmutativos, esta correspondencia biyectiva se restringe a ideales primos, ideales maximales e ideales radicales (ver la sección Tipos de ideales para las definiciones de estos ideales). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I\mapsto f(I)}$ ${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Para quienes conocen módulos) Si M es un R -módulo izquierdo y un subconjunto, entonces el aniquilador de S es un ideal izquierdo. Dados ideales de un anillo conmutativo R , el R -aniquilador de es un ideal de R llamado cociente ideal de por y se denota por ⁠ ⁠ ; es una instancia de idealizador en álgebra conmutativa. ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Sea una cadena ascendente de ideales izquierdos en un anillo R ; es decir, es un conjunto totalmente ordenado y para cada ⁠ ⁠ . Entonces la unión es un ideal izquierdo de R . (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R no tiene la unidad 1.) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• El hecho anterior junto con el lema de Zorn demuestra lo siguiente: si es un subconjunto posiblemente vacío y es un ideal izquierdo que es disjunto de E , entonces hay un ideal que es máximo entre los ideales que contienen y disjunto de E . (De nuevo, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1.) Cuando , tomando y ⁠ ⁠ , en particular, existe un ideal izquierdo que es máximo entre los ideales izquierdos propios (a menudo simplemente llamado ideal izquierdo maximal); consulte el teorema de Krull para obtener más información. ${\displaystyle E\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle R\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ ${\displaystyle E=\{1\}}$
• Una unión arbitraria de ideales no tiene por qué ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto posiblemente vacío X de R , existe el ideal izquierdo más pequeño que contiene a X , llamado ideal izquierdo generado por X y se denota por ⁠ ⁠ ${\displaystyle RX}$ . Tal ideal existe ya que es la intersección de todos los ideales izquierdos que contienen a X . Equivalentemente, es el conjunto de todas las combinaciones R -lineales izquierdas (finitas) de elementos de X sobre R : ${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(dado que dicho intervalo es el ideal izquierdo más pequeño que contiene a X. ) ^{[nota 2]} Un ideal derecho (o bilateral) generado por X se define de manera similar. Para "bilateral", uno tiene que usar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Un ideal izquierdo (o derecho, bilateral) generado por un solo elemento x se denomina ideal izquierdo (o derecho, bilateral) principal generado por x y se denota por (o ⁠ ⁠ ). El ideal bilateral principal a menudo también se denota por ⁠ ⁠ . Si es un conjunto finito, entonces también se escribe como ⁠ ⁠ . ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle xR,RxR}$ ${\displaystyle RxR}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle RXR}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• Hay una correspondencia biyectiva entre ideales y relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura del anillo) en el anillo: Dado un ideal de un anillo ⁠ ⁠ , sea si ⁠ ⁠ . Entonces es una relación de congruencia en ⁠ ⁠ . A la inversa, dada una relación de congruencia en ⁠ ⁠ , sea ⁠ ⁠ . Entonces es un ideal de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in I}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Tipos de ideales

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se analiza en detalle en los artículos respectivos.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillos y permiten definir anillos factoriales . Se estudian distintos tipos de ideales porque se pueden utilizar para construir distintos tipos de anillos factoriales.

• Ideal maximalista : Un ideal propio I se denomina ideal maximalista si no existe otro ideal propio J con I como subconjunto propio de J. El anillo de factores de un ideal maximalista es un anillo simple en general y es un cuerpo para anillos conmutativos. ^[12]
• Ideal mínimo : un ideal distinto de cero se denomina mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
• Ideal cero : el ideal . ^[13] ${\displaystyle \{0\}}$
• Ideal unitario : el anillo completo (siendo el ideal generado por ). ^[9] ${\displaystyle 1}$
• Ideal primo : Un ideal propiose llama ideal primo si para cualquieryen ⁠ ⁠ , siestá en ⁠ ⁠ , entonces al menos uno deyestá en ⁠ ⁠ . El anillo de factores de un ideal primo es un anillo primo en general y es un dominio integral para anillos conmutativos. ^[14] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$
• Ideal radical o ideal semiprimo : Un ideal propio I se llama radical o semiprimo si para cualquier a en R , si a ⁿ está en I para algún n , entonces a está en I . El anillo factorial de un ideal radical es un anillo semiprimo para anillos generales, y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
• Ideal primario : Un ideal I se llama ideal primario si para todo a y b en R , si ab está en I , entonces al menos uno de a y b ⁿ está en I para algún número natural n . Todo ideal primo es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprimo es primo.
• Ideal principal : Un ideal generado por un elemento. ^[15]
• Ideal finitamente generado : Este tipo de ideal se genera finitamente como un módulo.
• Ideal primitivo : Un ideal primitivo izquierdo es el aniquilador de un módulo izquierdo simple .
• Ideal irreducible : Se dice que un ideal es irreducible si no puede escribirse como una intersección de ideales que lo contengan adecuadamente.
• Ideales co-máximos : Se dice que dos ideales I , J son co-máximos si para algún y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x+y=1}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle y\in J}$
• Ideal regular : este término tiene múltiples usos. Consulta el artículo para ver una lista.
• Ideal nulo : Un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
• Ideal nilpotente : Alguna potencia del mismo es cero.
• Ideal paramétrico : ideal generado por un sistema de parámetros .
• Ideal perfecto : Un ideal propio I en un anillo noetherianose llama ideal perfecto si su grado es igual a la dimensión proyectiva del anillo cociente asociado, ^[16] ⁠ ⁠ . Un ideal perfecto no está mezclado . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• Ideal no mixto : un ideal propio I en un anillo noetherianose denomina ideal no mixto (en altura) si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de R / I . (Esto es más fuerte que decir que R / I es equidimensional . Véase también anillo equidimensional . ${\displaystyle R}$

Otros dos términos importantes que utilizan la palabra "ideal" no siempre son ideales de su anillo. Consulte sus respectivos artículos para obtener más detalles:

• Ideal fraccionario : se define generalmente cuando R es un dominio conmutativo con cuerpo cociente K. A pesar de sus nombres, los ideales fraccionarios son R submódulos de K con una propiedad especial. Si el ideal fraccionario está contenido completamente enR , entonces es verdaderamente un ideal de R.
• Ideal invertible : Generalmente, un ideal invertible A se define como un ideal fraccionario para el cual existe otro ideal fraccionario B tal que AB = BA = R. Algunos autores también pueden aplicar el término "ideal invertible" a ideales de anillos ordinarios A y B con AB = BA = R en anillos distintos de los dominios.

Operaciones ideales

La suma y el producto de ideales se definen de la siguiente manera. Para y ⁠ ⁠ , ideales izquierdos (o derechos) de un anillo R , su suma es ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

que es un ideal izquierdo (o derecho), y, si son bilaterales, ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

es decir, el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con a en y b en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

La nota es el ideal izquierdo (o derecho) más pequeño que contiene tanto a como (o la unión ⁠ ⁠ ), mientras que el producto está contenido en la intersección de y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

La ley distributiva se cumple para ideales bilaterales , ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$ ,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$ .

Si un producto se reemplaza por una intersección, se cumple una ley distributiva parcial:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

donde la igualdad se cumple si contiene o . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Observación : La suma y la intersección de ideales es nuevamente un ideal; con estas dos operaciones de unión y encuentro, el conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma una red modular completa . La red no es, en general, una red distributiva . Las tres operaciones de intersección, suma (o unión) y producto convierten el conjunto de ideales de un anillo conmutativo en un cuántalo .

Si son ideales de un anillo conmutativo R , entonces en los dos casos siguientes (al menos) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$se genera por elementos que forman una secuencia regular módulo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ .

(De manera más general, la diferencia entre un producto y una intersección de ideales se mide mediante el functor Tor : ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ . ^[17] )

Un dominio integral se denomina dominio de Dedekind si para cada par de ideales , existe un ideal tal que ⁠ ⁠ . ^[18] Se puede demostrar entonces que cada ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind se puede escribir de forma única como un producto de ideales máximos, una generalización del teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Ejemplos de operaciones ideales

En nosotros tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

ya que es el conjunto de números enteros que son divisibles tanto por como ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Deja y deja ⁠ ⁠ . Entonces, ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$y ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$mientras ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales finitamente generados, es decir, el ideal generado por la unión de sus generadores. En los últimos tres, observamos que los productos y las intersecciones concuerdan siempre que los dos ideales se intersequen en el ideal cero. Estos cálculos se pueden comprobar utilizando Macaulay2 . ^{[19] [20] [21]}

Radical de un anillo

Los ideales aparecen de forma natural en el estudio de los módulos, especialmente en forma de radical.

Para simplificar, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son válidos para anillos no conmutativos.

Sea R un anillo conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R es el aniquilador de un R -módulo simple (distinto de cero) . El radical de Jacobson de R es la intersección de todos los ideales primitivos. De manera equivalente, ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

En efecto, si es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces y , es decir, es un ideal maximal. Por el contrario, si es un ideal maximal, entonces es el aniquilador del módulo simple R ⁠ ⁠ . También hay otra caracterización (la demostración no es difícil): ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx=M}$ ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que es un elemento unidad si y sólo si es (ver el enlace) y por tanto esta última caracterización muestra que el radical puede definirse tanto en términos de ideales primitivos izquierdos como derechos. ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1-xy}$

El siguiente hecho simple pero importante ( lema de Nakayama ) está incorporado a la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle JM=M}$ , entonces M no admite un submódulo máximo , ya que si hay un submódulo máximo ⁠ ⁠ ${\displaystyle L\subsetneq M}$ , y por lo tanto ⁠ ⁠ , una contradicción. Dado que un módulo finitamente generado distinto de cero admite un submódulo máximo, en particular, se tiene: ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$ ${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Si y M se genera finitamente, entonces ⁠ ⁠ . ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Un ideal maximalista es un ideal primo y por lo tanto se tiene

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

donde la intersección a la izquierda se llama radical nil de R . Resulta que también es el conjunto de elementos nilpotentes de R . ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Si R es un anillo artiniano , entonces es nilpotente y ⁠ ⁠ . (Demostración: primero note que el DCC implica para algún n . Si (DCC) es un ideal propiamente mínimo sobre este último, entonces . Es decir, ⁠ ⁠ , una contradicción.) ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$ ${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ ${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Extensión y contracción de un ideal

Sean A y B dos anillos conmutativos y sea f  : A → B un homomorfismo de anillos . Si es un ideal en A , entonces no necesita ser un ideal en B (por ejemplo, tome f como la inclusión del anillo de números enteros Z en el cuerpo de racionales Q ). La extensión de en B se define como el ideal en B generado por ⁠ ⁠ . Explícitamente, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Si es un ideal de B , entonces es siempre un ideal de A , llamado contracción de a A . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Suponiendo que f  : A → B es un homomorfismo de anillo, es un ideal en A , es un ideal en B , entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es primo en B es primo en A. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

Es falso, en general, que ser primo (o máximo) en A implique que sea primo (o máximo) en B . Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría algebraica de números. Por ejemplo, incrustando ⁠ ⁠ . En , el elemento 2 se factoriza como donde (se puede demostrar) ninguno de son unidades en B . Por lo tanto, no es primo en B (y, por lo tanto, tampoco es máximo). De hecho, muestra que ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y, por lo tanto , ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ ${\displaystyle 1+i,1-i}$ ${\displaystyle (2)^{e}}$ ${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$ ${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$ ${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$ ${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

Por otra parte, si f es sobreyectiva y entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$ .
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal primo en A es un ideal primo en B. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal maximal en A es un ideal maximal en B. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Observación : Sea K una extensión de campo de L y sean B y A los anillos de números enteros de K y L , respectivamente. Entonces B es una extensión integral de A y sea f la función de inclusión de A a B. El comportamiento de un ideal primo de A bajo extensión es uno de los problemas centrales de la teoría de números algebraicos . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

Lo siguiente es a veces útil: ^[22] un ideal primo es una contracción de un ideal primo si y solo si ⁠ ⁠ . (Demostración: Suponiendo que este último, nótese que interseca a ⁠ ⁠ , una contradicción. Ahora, los ideales primos de corresponden a aquellos en B que son disjuntos de ⁠ ⁠ . Por lo tanto, hay un ideal primo de B , disjunto de ⁠ ⁠ , tal que es un ideal maximalista que contiene a ⁠ ⁠ . Luego se comprueba que se encuentra sobre ⁠ ⁠ . El recíproco es obvio.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Generalizaciones

Los ideales se pueden generalizar a cualquier objeto monoide ⁠ ⁠ ${\displaystyle (R,\otimes )}$ , donde es el objeto cuya estructura monoide se ha olvidado . Un ideal izquierdo de es un subobjeto que "absorbe la multiplicación desde la izquierda por elementos de ⁠ ⁠ "; es decir, es un ideal izquierdo si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$es un subobjeto de ${\displaystyle R}$
2. Para todos y cada uno , el producto está en . ${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$ ${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle r\otimes x}$ ${\displaystyle (I,\otimes )}$

Un ideal recto se define con la condición " " reemplazada ${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ por " ' " ${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ . Un ideal bilateral es un ideal izquierdo que también es un ideal derecho, y a veces se lo llama simplemente ideal. Cuando es un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y bilateral coinciden, y el término ideal se usa solo. ${\displaystyle R}$

Un ideal también puede considerarse como un tipo específico de R -módulo . Si lo consideramos como un módulo izquierdo (por multiplicación izquierda), entonces un ideal izquierdo es realmente solo un submódulo izquierdo de ⁠ ⁠ . En otras palabras, es un ideal izquierdo (derecho) de si y solo si es un módulo izquierdo (derecho) que es un subconjunto de ⁠ ⁠ . es un ideal bilateral si es un sub- -bimódulo de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplo: Si dejamos ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ , un ideal de es un grupo abeliano que es un subconjunto de ⁠ ⁠ , es decir, para algún ⁠ ⁠ . Por lo tanto, estos dan todos los ideales de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Véase también

• Aritmética modular
• Teorema de isomorfismo de Noether
• Teorema del ideal primo de Boole
• Teoría ideal
• Ideal (teoría del orden)
• Norma ideal
• Desdoblamiento de ideales primos en extensiones de Galois
• Gavilla ideal

Notas

1. Algunos autores llaman a los ideales cero y unitario de un anillo R los ideales triviales de R.
2. Si R no tiene una unidad, entonces las descripciones internas anteriores deben modificarse ligeramente. Además de las sumas finitas de productos de cosas en X con cosas en R , debemos permitir la adición de sumas n -veces de la forma x + x + ... + x , y sumas n -veces de la forma (− x ) + (− x ) + ... + (− x ) para cada x en X y cada n en los números naturales. Cuando R tiene una unidad, este requisito adicional se vuelve superfluo.

Referencias

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5. Dummit & Foote 2004, § 10.1., Ejemplos (1).
6. Dummit & Foote 2004, § 10.1., Proposición 3.
7. Dummit y Foote 2004, Cap. 7, Proposición 6.
8. Dummit y Foote 2004, Cap. 7, Teorema 7.
9. Dummit y Foote (2004), pág. 243.
10. Lang 2005, Sección III.2
11. Dummit y Foote (2004), pág. 244.
12. Porque los anillos conmutativos simples son campos. Véase Lam (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos. p. 39.
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22. Atiyah y Macdonald (1969), Proposición 3.16.

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• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Lang, Serge (2005). Álgebra de grado (tercera edición). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-22025-3.
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• Milnor, John Willard (1971). Introducción a la teoría K algebraica . Anales de estudios matemáticos. Vol. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN. 9780691081014. Sr.  0349811. Zbl  0237.18005.

Enlaces externos

• Levinson, Jake (14 de julio de 2014). "¿La interpretación geométrica para la extensión de ideales?". Stack Exchange .