Monoide (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un monoide (u objeto monoide , o monoide interno , o álgebra ) ( M , μ , η ) en una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) es un objeto M junto con dos morfismos.

• μ : M ⊗ M → M se llama multiplicación ,
• η : I → M llamada unidad ,

de tal manera que el diagrama del pentágono

y el diagrama unitor

conmuta . En la notación anterior, 1 es el morfismo identidad de M , I es el elemento unidad y α , λ y ρ son respectivamente la asociatividad, la identidad izquierda y la identidad derecha de la categoría monoidal C.

Dualmente, un comonoide en una categoría monoidal C es un monoide en la categoría dual C ^op .

Supóngase que la categoría monoidal C tiene una simetría γ . Un monoide M en C es conmutativo cuando μ ∘ γ = μ .

Ejemplos

• Un objeto monoide en Conjunto , la categoría de conjuntos (con la estructura monoidal inducida por el producto cartesiano ), es un monoide en el sentido habitual.
• Un objeto monoide en Top , la categoría de espacios topológicos (con la estructura monoidal inducida por la topología del producto ), es un monoide topológico .
• Un objeto monoide de la categoría de monoides (con el producto directo de monoides) es simplemente un monoide conmutativo . Esto se deduce fácilmente del argumento de Eckmann-Hilton .
• Un objeto monoide en la categoría de semirretículos de unión completos Sup (con la estructura monoidal inducida por el producto cartesiano) es un cuantol unital .
• Un objeto monoide en ( Ab , ⊗ _Z ,  Z ) , la categoría de grupos abelianos , es un anillo .
• Para un anillo conmutativo R , un objeto monoide en
  • ( R - Mod , ⊗ _R ,  R ) , la categoría de módulos sobre R , es una R -álgebra .
  • La categoría de módulos graduados es una R -álgebra graduada .
  • La categoría de complejos de cadena de R -módulos es un álgebra graduada diferencial .
• Un objeto monoide en K - Vect , la categoría de K -espacios vectoriales (de nuevo, con el producto tensorial), es una K - álgebra asociativa unital , y un objeto comonoide es una K - coalgebra .
• Para cualquier categoría C , la categoría [ C , C ] de sus endofunctores tiene una estructura monoidal inducida por la composición y el funtor identidad I _C . Un objeto monoide en [ C , C ] es una mónada en C .
• Para cualquier categoría con un objeto terminal y productos finitos , cada objeto se convierte en un objeto comonoide a través del morfismo diagonal Δ _X  : X → X × X . Dualmente, en una categoría con un objeto inicial y coproductos finitos , cada objeto se convierte en un objeto monoide a través de id _X ⊔ id _X  : X ⊔ X → X .

Categorías de monoides

Dados dos monoides ( M , μ , η ) y ( M ′, μ ′, η ′) en una categoría monoidal C , un morfismo f  : M → M ′ es un morfismo de monoides cuando

• f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f ),
• f ∘ η = η ′.

En otras palabras, los siguientes diagramas

,

desplazarse.

La categoría de monoides en C y sus morfismos monoides se escribe Mon _C . ^[1]

Véase también

• Act-S , la categoría de monoides que actúan sobre conjuntos

Referencias

1. Sección VII.3 en Mac Lane, Saunders (1988). Categorías para el matemático en activo (4.ª edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.

• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mijálov, Alejandro V. (2000). Monoides, actos y categorías . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015248-7.