Métrica de Kähler-Einstein

Tipos de métricas en la geometría de Riemann

En geometría diferencial , una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es tanto una métrica de Kähler como una métrica de Einstein . Se dice que una variedad es de Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estas son las variedades de Calabi-Yau , que son de Kähler y de Ricci-planas .

El problema más importante en esta área es la existencia de métricas de Kähler-Einstein para variedades de Kähler compactas. Este problema se puede dividir en tres casos dependiendo del signo de la primera clase de Chern de la variedad de Kähler:

• Cuando la primera clase de Chern es negativa, siempre existe una métrica de Kähler-Einstein, como demostraron independientemente Thierry Aubin y Shing-Tung Yau .
• Cuando la primera clase de Chern es cero, siempre existe una métrica de Kähler-Einstein, como demostró Yau en la conjetura de Calabi . Esto da lugar al nombre de variedades de Calabi-Yau. Fue galardonado con la Medalla Fields en parte por este trabajo.
• El tercer caso, el caso positivo o de Fano, siguió siendo un problema abierto bien conocido durante muchos años. En este caso, hay una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Xiuxiong Chen , Simon Donaldson y Song Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado K-estabilidad . Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society. ^{[1] [2] [3]} Gang Tian produjo una prueba de forma independiente al mismo tiempo. ^[4]

Cuando la primera clase de Chern no está definida, o tenemos una dimensión Kodaira intermedia, entonces encontrar la métrica canónica queda como un problema abierto, llamado conjetura de algebrización a través del programa de modelo mínimo analítico.

Definición

Variedades de Einstein

Supongamos que es una variedad de Riemann . En física, las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales sobre el tensor métrico que describen cómo debería curvarse la variedad debido a la existencia de masa o energía, una cantidad encapsulada por el tensor de tensión-energía . En el vacío donde no hay masa ni energía, es decir , las ecuaciones de campo de Einstein se simplifican. Es decir, la curvatura de Ricci de es un tensor simétrico, al igual que la propia métrica, y las ecuaciones se reducen a ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g}$

donde es la curvatura escalar de . Es decir, la curvatura de Ricci se vuelve proporcional a la métrica. Una variedad de Riemann que satisface la ecuación anterior se denomina variedad de Einstein . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Toda variedad de Riemann bidimensional es Einstein. Se puede demostrar mediante las identidades de Bianchi que, en cualquier dimensión mayor, la curvatura escalar de cualquier variedad de Einstein conexa debe ser constante. Por esta razón, la condición de Einstein se expresa a menudo como

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}=\lambda g}$

para un numero real ${\displaystyle \lambda .}$

Colectores Kähler

Cuando la variedad de Riemann es también una variedad compleja , es decir, que tiene una estructura casi compleja integrable , es posible preguntar por una compatibilidad entre la estructura métrica y la estructura compleja . Hay muchas formas equivalentes de formular esta condición de compatibilidad, y una interpretación sucinta es preguntar que es ortogonal con respecto a , de modo que para todos los cuerpos vectoriales , y que se conserva por el transporte paralelo de la conexión de Levi-Civita , capturada por la condición . Una tripleta de este tipo se llama variedad de Kähler . ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle J:TX\to TX}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Métricas de Kähler-Einstein

Una variedad de Kähler-Einstein es aquella que combina las propiedades anteriores de ser Kähler y admitir una métrica de Einstein. La combinación de estas propiedades implica una simplificación de la ecuación de Einstein en términos de la estructura compleja. Es decir, en una variedad de Kähler se puede definir la forma de Ricci , una forma real , mediante la expresión ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle \rho (u,v)=\operatorname {Ric} _{g}(Ju,v),}$

¿Dónde están los campos vectoriales tangentes a ? ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X}$

La estructura casi compleja obliga a ser antisimétrica, y la condición de compatibilidad combinada con la identidad de Bianchi implica que es una forma diferencial cerrada . Asociada a la métrica de Riemann está la forma de Kähler definida por una expresión similar . Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein para pueden reescribirse como ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (u,v)=g(Ju,v)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \rho =\lambda \omega ,}$

la ecuación de Kähler-Einstein.

Puesto que se trata de una igualdad de formas diferenciales cerradas, implica una igualdad de las clases de cohomología de De Rham asociadas y . La primera clase es la primera clase de Chern de , . Por lo tanto, una condición necesaria para la existencia de una solución a la ecuación de Kähler-Einstein es que , para algún . Esta es una condición topológica necesaria en la variedad de Kähler . ${\displaystyle [\rho ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Nótese que, dado que la curvatura de Ricci es invariante bajo el escalamiento , si hay una métrica tal que , siempre se puede normalizar a una nueva métrica con , es decir . Por lo tanto, la ecuación de Kähler-Einstein a menudo se escribe ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \lambda ^{-1}g}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$

${\displaystyle \rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega }$

dependiendo del signo de la constante topológica . ${\displaystyle \lambda }$

Transformación a una ecuación compleja de Monge-Ampere

La situación de las variedades de Kähler compactas es especial, porque la ecuación de Kähler-Einstein puede reformularse como una ecuación compleja de Monge-Ampere para un potencial de Kähler suave en . ^[5] Por el supuesto topológico sobre la variedad de Kähler, siempre podemos suponer que existe alguna métrica de Kähler . La forma de Ricci de se da en coordenadas locales mediante la fórmula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{0}\in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.}$

Por suposición , y están en la misma clase de cohomología , por lo que el -lema de la teoría de Hodge implica que existe una función suave tal que . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle F\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}}$

Cualquier otra métrica está relacionada con por un potencial de Kähler tal que . Entonces se deduce que si es la forma de Ricci con respecto a , entonces ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Por lo tanto, para hacer esto, necesitamos encontrar tal que ${\displaystyle \rho =\lambda \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial }}F-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Esto será ciertamente cierto si se demuestra la misma ecuación después de eliminar las derivadas , y de hecho esta es una ecuación equivalente por el -lema hasta que se cambia por la adición de una función constante. En particular, después de eliminar y exponenciar, la ecuación se transforma en ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle (\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n}.}$

Esta ecuación diferencial parcial es similar a una ecuación real de Monge-Ampere , y se conoce como ecuación compleja de Monge-Ampere, y posteriormente puede estudiarse utilizando herramientas del análisis convexo . Su comportamiento es altamente sensible al signo de la constante topológica . Las soluciones de esta ecuación aparecen como puntos críticos de la funcional de energía K introducida por Toshiki Mabuchi en el espacio de potenciales de Kähler en la clase . ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Existencia

El problema de existencia para las métricas de Kähler-Einstein se puede dividir en tres casos distintos, dependiendo del signo de la constante topológica . Dado que la forma de Kähler es siempre una forma diferencial positiva , el signo de depende de si la clase de cohomología es positiva, negativa o cero. En geometría algebraica esto se entiende en términos del fibrado canónico de : si y solo si el fibrado canónico es un fibrado lineal amplio , y si y solo si es amplio. Si es un fibrado lineal trivial, entonces . Cuando la variedad de Kähler es compacta , el problema de existencia se ha resuelto por completo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

El casoc1 (X)< 0

Cuando la variedad de Kähler satisface el supuesto topológico , el fibrado canónico es amplio y, por lo tanto, debe ser negativo. Si se satisface el supuesto topológico necesario, es decir, existe una métrica de Kähler tal que , entonces Aubin y Yau demostraron que siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. ^{[6] [7]} La ​​existencia de una métrica de Kähler que satisface el supuesto topológico es una consecuencia de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle c_{1}(X)=\lambda [\omega ]}$

Teorema (Aubin, Yau): Una variedad compacta de Kähler siempre admite una métrica de Kähler-Einstein. ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$

El casoc1 (X)= 0

Cuando el fibrado canónico es trivial, de modo que , se dice que la variedad es Calabi–Yau . Estas variedades son de especial importancia en física, donde deberían aparecer como el fondo de cuerdas en la teoría de supercuerdas en 10 dimensiones. Matemáticamente, esto corresponde al caso donde , es decir, cuando la variedad de Riemann es plana de Ricci . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle (X,g)}$

La existencia de una métrica de Kähler-Einstein fue demostrada en este caso por Yau, utilizando un método de continuidad similar al caso donde . ^[8] El supuesto topológico introduce nuevas dificultades en el método de continuidad. En parte debido a su prueba de existencia, y la prueba relacionada de la conjetura de Calabi , Yau fue galardonado con la medalla Fields . ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Teorema (Yau): Una variedad compacta de Kähler con fibrado canónico trivial, una variedad de Calabi–Yau, siempre admite una métrica de Kähler–Einstein y, en particular, admite una métrica de Ricci-plana.

El casoc1 (X)> 0

Cuando el fibrado anticanónico es amplio, o equivalentemente , se dice que la variedad es Fano. A diferencia del caso , en este caso no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Akito Futaki observó que existen posibles obstrucciones a la existencia de una solución dada por los campos vectoriales holomorfos de , y es una condición necesaria que el invariante de Futaki de estos campos vectoriales sea no negativo. ^[9] De hecho, mucho antes Matsushima y Lichnerowicz habían observado que otra condición necesaria es que el álgebra de Lie de los campos vectoriales holomorfos debe ser reductiva . ^{[10] [11]} ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$

En 1993, Yau conjeturó, en analogía con el problema similar de la existencia de métricas de Hermite-Einstein en fibrados vectoriales holomórficos , que la obstrucción a la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería ser equivalente a una cierta condición de estabilidad algebro-geométrica similar a la estabilidad de la pendiente de los fibrados vectoriales. ^[12] En 1997, Tian Gang propuso una posible condición de estabilidad, que llegó a conocerse como K-estabilidad . ^[13]

La conjetura de Yau fue resuelta en 2012 por Chen - Donaldson - Sun usando técnicas muy diferentes del método de continuidad clásico del caso , ^{[1] [2] [3]} y al mismo tiempo por Tian. ^{[4] [14]} Chen-Donaldson-Sun han cuestionado la prueba de Tian, ​​alegando que contiene imprecisiones matemáticas y material que debería atribuirse a ellos. ^[a] Tian ha cuestionado estas afirmaciones. ^{[b] El} premio Veblen 2019 fue otorgado a Chen-Donaldson-Sun por su prueba. ^{[15] Donaldson fue galardonado con el} Premio Breakthrough en Matemáticas 2015 en parte por su contribución a la prueba, ^{[16] y el} Premio Breakthrough New Horizons 2021 fue otorgado a Sun en parte por su contribución. ^[17] ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Teorema: Una variedad de Fano compacta admite una métrica de Kähler-Einstein si y sólo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,K_{X}^{-1})}$

Posteriormente, Datar–Székelyhidi proporcionó una prueba basada en el método de continuidad que resolvió el caso , y ahora se conocen varias otras pruebas. ^{[18] [19]} Véase la conjetura de Yau–Tian–Donaldson para más detalles. ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Flujo de Kähler-Ricci y el programa modelo mínimo

Un programa central en geometría biracional es el programa de modelo mínimo , que busca generar modelos de variedades algebraicas dentro de cada clase de biracionalidad, que son en algún sentido mínimas , generalmente en el sentido de que minimizan ciertas medidas de complejidad (como el género aritmético en el caso de las curvas). En dimensiones superiores, se busca un modelo mínimo que tenga un fibrado canónico nef . Una forma de construir modelos mínimos es contraer ciertas curvas dentro de una variedad algebraica que tengan autointersección negativa. Estas curvas deben considerarse geométricamente como subvariedades en las que hay una concentración de curvatura negativa. ${\displaystyle C\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En este sentido, el programa del modelo mínimo puede ser visto como una analogía del flujo de Ricci en geometría diferencial, donde las regiones donde se concentra la curvatura se expanden o contraen para reducir la variedad riemanniana original a una con curvatura uniforme (precisamente, a una nueva variedad riemanniana que tiene curvatura de Ricci uniforme, es decir, una variedad de Einstein). En el caso de las 3-variedades, esto fue utilizado famosamente por Grigori Perelman para probar la conjetura de Poincaré .

En el contexto de las variedades de Kähler, el flujo de Kähler-Ricci fue escrito por primera vez por Cao. ^[20] Aquí se fija una métrica de Kähler con la forma de Ricci y se estudia el flujo geométrico para una familia de métricas de Kähler parametrizadas por : ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle \rho _{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.}$

Cuando una variedad proyectiva es de tipo general , el modelo mínimo admite una simplificación adicional a un modelo canónico , con un fibrado canónico amplio. En entornos donde solo hay singularidades leves ( orbifold ) para este modelo canónico, es posible preguntar si el flujo de Kähler-Ricci de converge a una métrica de Kähler-Einstein (posiblemente levemente singular) en , que debería existir según el resultado de existencia de Yau y Aubin para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle c_{1}(X'')<0}$

Un resultado preciso en este sentido fue demostrado por Cascini y La Nave ^[21] , y aproximadamente en la misma época por Tian-Zhang ^{[22] .}

Teorema: El flujo de Kähler-Ricci en una variedad proyectiva de tipo general existe para siempre, y después de como máximo un número finito de formaciones de singularidad, si el modelo canónico de tiene en el peor de los casos singularidades orbifold, entonces el flujo de Kähler-Ricci en converge a la métrica de Kähler-Einstein en , hasta una función acotada que es suave lejos de una subvariedad analítica de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$

En el caso en que la variedad es de dimensión dos, es decir, una superficie de tipo general, se obtiene convergencia a la métrica de Kähler-Einstein en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Más tarde, Jian Song y Tian estudiaron el caso donde la variedad proyectiva tiene singularidades log-terminales. ^[23] ${\displaystyle X}$

Flujo de Kähler-Ricci y existencia de métricas de Kähler-Einstein

Es posible dar una prueba alternativa del teorema de Chen–Donaldson–Sun sobre la existencia de métricas de Kähler–Einstein en una variedad Fano suave usando el flujo de Kähler-Ricci, y esto fue llevado a cabo en 2018 por Chen–Sun–Wang. ^[24] Es decir, si la variedad Fano es K-poliestable, entonces el flujo de Kähler-Ricci existe para todo el tiempo y converge a una métrica de Kähler–Einstein en la variedad Fano.

Generalizaciones y nociones alternativas

Métricas de Kähler de curvatura escalar constante

Cuando el fibrado canónico no es trivial, amplio o antiamplio, no es posible solicitar una métrica de Kähler-Einstein, ya que la clase no puede contener una métrica de Kähler y, por lo tanto, la condición topológica necesaria nunca puede satisfacerse. Esto se desprende del teorema de incrustación de Kodaira . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Una generalización natural de la ecuación de Kähler-Einstein al contexto más general de una variedad de Kähler compacta arbitraria es pedir que la métrica de Kähler tenga una curvatura escalar constante (se dice que la métrica es cscK ). La curvatura escalar es la traza total del tensor de curvatura de Riemann , una función suave en la variedad , y en el caso de Kähler la condición de que la curvatura escalar sea constante admite una transformación en una ecuación similar a la compleja ecuación de Monge-Ampere del contexto de Kähler-Einstein. Muchas técnicas del caso de Kähler-Einstein continúan hasta el contexto cscK, aunque con dificultad añadida, y se conjetura que una condición de estabilidad algebro-geométrica similar debería implicar la existencia de soluciones a la ecuación en este contexto más general. ${\displaystyle (X,g)}$

Cuando la variedad compacta de Kähler satisface los supuestos topológicos necesarios para que la condición de Kähler-Einstein tenga sentido, la ecuación de Kähler de curvatura escalar constante se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein.

Métricas de Hermite-Einstein

En lugar de preguntar si la curvatura de Ricci de la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente de una variedad de Kähler es proporcional a la métrica misma, se puede preguntar en cambio por la curvatura de una conexión de Chern asociada a una métrica hermítica en cualquier fibrado vectorial holomorfo (nótese que la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente holomorfo es precisamente la conexión de Chern de la métrica hermítica procedente de la estructura de Kähler). La ecuación resultante se denomina ecuación de Hermite-Einstein, y es de especial importancia en la teoría de gauge , donde aparece como un caso especial de las ecuaciones de Yang-Mills , que proceden de la teoría cuántica de campos , en contraste con las ecuaciones regulares de Einstein que proceden de la relatividad general . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En el caso en que el fibrado vectorial holomorfo es nuevamente el fibrado tangente holomorfo y la métrica hermítica es la métrica de Kähler, la ecuación de Hermite-Einstein se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein. Sin embargo, en general, la geometría de la variedad de Kähler suele ser fija y solo se permite que varíe la métrica del fibrado, y esto hace que la ecuación de Hermite-Einstein sea más fácil de estudiar que la ecuación de Kähler-Einstein en general. En particular, una caracterización algebro-geométrica completa de la existencia de soluciones viene dada por la correspondencia de Kobayashi-Hitchin .

Referencias

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Notas

1. Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun. "Sobre algunos desarrollos recientes en la geometría de Kähler".
2. Gang Tian. "Respuesta a CDS" y "Más comentarios sobre CDS", Corrigendum: Estabilidad K y métricas de Kähler-Einstein