Paquete de línea Nef

En geometría algebraica , un fibrado lineal en una variedad proyectiva es nef si tiene grado no negativo en cada curva de la variedad. Las clases de fibrados lineales nef se describen mediante un cono convexo , y las posibles contracciones de la variedad corresponden a ciertas caras del cono nef. En vista de la correspondencia entre fibrados lineales y divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de divisor nef .

Definición

De manera más general, se dice que un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo k es nef si tiene grado no negativo en cada curva (cerrada e irreducible ) en X. [ ^1] (El grado de un fibrado lineal L en una curva propia C sobre k es el grado del divisor ( es ) de cualquier sección racional distinta de cero s de L. ) Un fibrado lineal también puede denominarse haz invertible .

El término "nef" fue introducido por Miles Reid como reemplazo de los términos más antiguos "aritméticamente eficaz" (Zariski 1962, definición 7.6) y "numéricamente eficaz", así como de la frase "numéricamente eventualmente libre". ^[2] Los términos más antiguos eran engañosos, en vista de los ejemplos que se presentan a continuación.

Todo fibrado lineal L sobre una curva propia C sobre k que tiene una sección global que no es idénticamente cero tiene grado no negativo. Como resultado, un fibrado lineal sin punto base sobre un esquema propio X sobre k tiene grado no negativo sobre cada curva en X ; es decir, es nef. ^[3] De manera más general, un fibrado lineal L se llama semiamplio si alguna potencia tensorial positiva está libre de punto base. De ello se deduce que un fibrado lineal semiamplio es nef. Los fibrados lineales semiamplios pueden considerarse la principal fuente geométrica de fibrados lineales nef, aunque los dos conceptos no son equivalentes; véanse los ejemplos a continuación. ${\displaystyle L^{\otimes a}}$

Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema propio X sobre un cuerpo es nef si el fibrado de líneas asociado O ( D ) es nef en X . De manera equivalente, D es nef si el número de intersección es no negativo para cada curva C en X . ${\displaystyle D\cdot C}$

Para volver de los fibrados lineales a los divisores, la primera clase de Chern es el isomorfismo del grupo de fibrados lineales de Picard en una variedad X al grupo de divisores de Cartier módulo equivalencia lineal . Explícitamente, la primera clase de Chern es el divisor ( es ) de cualquier sección racional no nula s de L. ^[4] ${\displaystyle c_{1}(L)}$

El cono nef

Para trabajar con desigualdades, es conveniente considerar R -divisores, es decir, combinaciones lineales finitas de divisores de Cartier con coeficientes reales . Los R -divisores módulo equivalencia numérica forman un espacio vectorial real de dimensión finita, el grupo de Néron-Severi tensado con los números reales. ^[5] (Explícitamente: se dice que dos R -divisores son numéricamente equivalentes si tienen el mismo número de intersección con todas las curvas en X .) Un R -divisor se llama nef si tiene grado no negativo en cada curva. Los nef R -divisores forman un cono convexo cerrado en , el cono nef Nef( X ). ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

El cono de curvas se define como el cono convexo de combinaciones lineales de curvas con coeficientes reales no negativos en el espacio vectorial real de 1-ciclos módulo equivalencia numérica. Los espacios vectoriales y son duales entre sí por el emparejamiento de intersección, y el cono nef es (por definición) el cono dual del cono de curvas. ^[6] ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$

Un problema significativo en geometría algebraica es analizar qué fibrados de líneas son amplios , ya que eso equivale a describir las diferentes formas en que una variedad puede ser incorporada en el espacio proyectivo. Una respuesta es el criterio de Kleiman (1966): para un esquema proyectivo X sobre un cuerpo, un fibrado de líneas (o R -divisor) es amplio si y solo si su clase en se encuentra en el interior del cono nef. ^[7] (Un R -divisor se llama amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios). Del criterio de Kleiman se deduce que, para X proyectivo, cada nef R -divisor sobre X es un límite de R -divisores amplios en . De hecho, para D nef y A amplio, D + cA es amplio para todos los números reales c > 0. ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Definición métrica de los haces de líneas nef

Sea X una variedad compleja compacta con una métrica hermítica fija , vista como una forma (1,1) positiva . Siguiendo a Jean-Pierre Demailly , Thomas Peternell y Michael Schneider, se dice que un fibrado lineal holomorfo L en X es nef si para cada hay una métrica hermítica suave en L cuya curvatura satisface . Cuando X es proyectiva sobre C , esto es equivalente a la definición anterior (que L tiene grado no negativo en todas las curvas en X ). ^[8] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$

Incluso para X proyectivo sobre C , un fibrado lineal nef L no necesita tener una métrica hermítica h con curvatura , lo que explica la definición más complicada que se acaba de dar. ^[9] ${\displaystyle \Theta _{h}(L)\geq 0}$

Ejemplos

• Si X es una superficie proyectiva suave y C es una curva (irreducible) en X con número de autointersección , entonces C es nef en X , porque dos curvas distintas cualesquiera en una superficie tienen número de intersección no negativo. Si , entonces C es efectiva pero no nef en X . Por ejemplo, si X es la explosión de una superficie proyectiva suave Y en un punto, entonces la curva excepcional E de la explosión tiene . ${\displaystyle C^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle C^{2}<0}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$ ${\displaystyle E^{2}=-1}$
• Todo divisor efectivo en una variedad bandera o variedad abeliana es nef, usando que estas variedades tienen una acción transitiva de un grupo algebraico conexo . ^[10]
• Todo fibrado lineal L de grado 0 sobre una curva proyectiva compleja suave X es nef, pero L es semiamplio si y solo si L es torsión en el grupo de Picard de X . Para X de género g al menos 1, la mayoría de los fibrados lineales de grado 0 no son torsión, usando que el jacobiano de X es una variedad abeliana de dimensión g .
• Todo fibrado lineal semiamplio es nef, pero no todo fibrado lineal nef es numéricamente equivalente a un fibrado lineal semiamplio. Por ejemplo, David Mumford construyó un fibrado lineal L sobre una superficie reglada adecuada X tal que L tiene grado positivo en todas las curvas, pero el número de intersección es cero. ^[11] De ello se deduce que L es nef, pero ningún múltiplo positivo de es numéricamente equivalente a un divisor efectivo. En particular, el espacio de secciones globales es cero para todos los enteros positivos a . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$

Contracciones y el cono nervioso

Una contracción de una variedad proyectiva normal X sobre un cuerpo k es un morfismo sobreyectivo con Y como variedad proyectiva normal sobre k tal que . (La última condición implica que f tiene fibras conexas , y es equivalente a que f tenga fibras conexas si k tiene característica cero. ^[12] ) Una contracción se llama fibración si dim( Y ) < dim( X ). Una contracción con dim( Y ) = dim( X ) es automáticamente un morfismo biracional . ^[13] (Por ejemplo, X podría ser la explosión de una superficie proyectiva suave Y en un punto). ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}O_{X}=O_{Y}}$

Una cara F de un cono convexo N significa un subcono convexo tal que dos puntos cualesquiera de N cuya suma esté en F deben estar ellos mismos en F . Una contracción de X determina una cara F del cono nef de X , a saber, la intersección de Nef( X ) con el pullback . A la inversa, dada la variedad X , la cara F del cono nef determina la contracción hasta el isomorfismo. De hecho, hay un fibrado lineal semiamplio L en X cuya clase en está en el interior de F (por ejemplo, tomemos L como el pullback a X de cualquier fibrado lineal amplio en Y ). Cualquier fibrado lineal de este tipo determina Y por la construcción Proj : ^[14] ${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

Para describir Y en términos geométricos: una curva C en X se asigna a un punto en Y si y sólo si L tiene grado cero en C.

Como resultado, hay una correspondencia uno a uno entre las contracciones de X y algunas de las caras del cono nef de X. ^[15] (Esta correspondencia también se puede formular dualmente, en términos de caras del cono de curvas) . Saber qué fibrados de líneas nef son semiamplios determinaría qué caras corresponden a contracciones. El teorema del cono describe una clase significativa de caras que corresponden a contracciones, y la conjetura de abundancia daría más.

Ejemplo: Sea X la explosión del plano proyectivo complejo en un punto p . Sea H el pullback a X de una línea en , y sea E la curva excepcional de la explosión . Entonces X tiene número de Picard 2, lo que significa que el espacio vectorial real tiene dimensión 2. Por la geometría de los conos convexos de dimensión 2, el cono nef debe estar abarcado por dos rayos; explícitamente, estos son los rayos abarcados por H y H − E . ^[16] En este ejemplo, ambos rayos corresponden a contracciones de X : H da el morfismo biracional , y H − E da una fibración con fibras isomorfas a (que corresponden a las líneas en que pasan por el punto p ). Dado que el cono nef de X no tiene otras caras no triviales, estas son las únicas contracciones no triviales de X ; eso sería más difícil de ver sin la relación con los conos convexos. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Notas

1. Lazarsfeld (2004), Definición 1.4.1.
2. Reid (1983), sección 0.12f.
3. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.4.5.
4. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.1.5.
5. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.3.10.
6. Lazarsfeld (2004), Definición 1.4.25.
7. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.23.
8. Demailly et al. (1994), sección 1.
9. Demailly et al. (1994), Ejemplo 1.7.
10. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.4.7.
11. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.5.2.
12. Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.11.
13. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 2.1.12.
14. Lazarsfeld (2004), Teorema 2.1.27.
15. Kollár y Mori (1998), Observación 1.26.
16. Kollár & Mori (1998), Lema 1.22 y Ejemplo 1.23 (1).

Referencias

• Demailly, Jean-Pierre ; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1994), "Variedades complejas compactas con fibrados tangentes numéricamente efectivos" (PDF) , Journal of Algebraic Geometry , 3 : 295–345, MR  1257325
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, Sr.  1658959
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol. 1, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, Sr.  2095471
• Reid, Miles (1983), "Modelos mínimos de tripletes canónicos", Variedades algebraicas y variedades analíticas (Tokio, 1981) , Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 1, North-Holland, págs. 131–180, doi : 10.2969/aspm/00110131 , ISBN 0-444-86612-4, Sr.  0715649
• Zariski, Oscar (1962), "El teorema de Riemann-Roch para múltiplos altos de un divisor efectivo en una superficie algebraica", Annals of Mathematics , 2, 76 (3): 560–615, doi :10.2307/1970376, JSTOR  1970376, MR  0141668