Momento magnético del electrón

Espín de un electrón

En física atómica , el momento magnético del electrón , o más específicamente el momento dipolar magnético del electrón , es el momento magnético de un electrón resultante de sus propiedades intrínsecas de espín y carga eléctrica . El valor del momento magnético del electrón (símbolo μ _e ) es−9,284 764 6917 (29) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ^[1] En unidades del magnetón de Bohr ( μ _B ), es−1.001 159 652 180 59 (13)  μ _B , ^[2] un valor que se midió con una precisión relativa de1,3 × 10 ⁻¹³ .

Momento magnético de un electrón

El electrón es una partícula cargada con carga − e , donde e es la unidad de carga elemental . Su momento angular proviene de dos tipos de rotación: espín y movimiento orbital . De la electrodinámica clásica , una distribución rotatoria de carga eléctrica produce un dipolo magnético , de modo que se comporta como una pequeña barra magnética . Una consecuencia es que un campo magnético externo ejerce un par sobre el momento magnético del electrón que depende de la orientación de este dipolo con respecto al campo .

Si el electrón se visualiza como un cuerpo rígido clásico en el que la masa y la carga tienen una distribución idéntica y un movimiento que gira alrededor de un eje con un momento angular L , su momento dipolar magnético μ viene dado por: donde m _e es la masa en reposo del electrón . El momento angular L en esta ecuación puede ser el momento angular de espín, el momento angular orbital o el momento angular total. La relación entre el momento magnético de espín verdadero y el predicho por este modelo es un factor adimensional g _e , conocido como el factor g del electrón : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

Es habitual expresar el momento magnético en términos de la constante de Planck reducida ħ y el magnetón de Bohr μ _B : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

Dado que el momento magnético se cuantifica en unidades de μ _B , correspondientemente el momento angular se cuantifica en unidades de ħ .

Definición formal

Sin embargo, las nociones clásicas como el centro de carga y masa son difíciles de precisar para una partícula elemental cuántica. En la práctica, la definición utilizada por los experimentalistas proviene de los factores de forma que aparecen en el elemento de matriz del operador de corriente electromagnética entre dos estados en capas. Aquí y son la solución de 4 espinores de la ecuación de Dirac normalizada de modo que , y es la transferencia de momento de la corriente al electrón. El factor de forma es la carga del electrón, es su momento dipolar magnético estático y proporciona la definición formal del momento dipolar eléctrico del electrón . El factor de forma restante , si no es cero, sería el momento anapolar . ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$ $${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$ ${\displaystyle u(p_{i})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=0}$ ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$ ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$

Momento dipolar magnético de espín

El momento magnético de espín es intrínseco para un electrón. ^[3] Es $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

Aquí S es el momento angular del espín del electrón. El factor g del espín es aproximadamente dos: . El factor dos indica que el electrón parece ser dos veces más eficaz en la producción de un momento magnético que un cuerpo cargado para el cual las distribuciones de masa y carga son idénticas. ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

_El momento dipolar magnético de espín es de aproximadamente un μB porque y el electrón es un espín- ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$1/2⁠ partícula ( S = ⁠es/2⁠ ):

El componente z del momento magnético del electrón es donde m _s es el número cuántico de espín . Nótese que μ es una constante negativa multiplicada por el espín , por lo que el momento magnético es antiparalelo al momento angular del espín. $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$

El factor g de espín g _s = 2 proviene de la ecuación de Dirac , una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas. La reducción de la ecuación de Dirac para un electrón en un campo magnético a su límite no relativista produce la ecuación de Schrödinger con un término de corrección, que tiene en cuenta la interacción del momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético, lo que da la energía correcta.

Para el espín del electrón, se ha determinado experimentalmente que el valor más preciso para el factor g de espín es el valor

−2,002 319 304 360 92 (36) . ^[4]

Obsérvese que esto difiere sólo marginalmente del valor de la ecuación de Dirac. La pequeña corrección se conoce como el momento dipolar magnético anómalo del electrón; surge de la interacción del electrón con fotones virtuales en la electrodinámica cuántica . Un triunfo de la teoría de la electrodinámica cuántica es la predicción precisa del factor g del electrón . El valor CODATA para el momento magnético del electrón es

−9,284 764 6917 (29) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ^[1]

Momento dipolar magnético orbital

La revolución de un electrón alrededor de un eje a través de otro objeto, como el núcleo, da lugar al momento dipolar magnético orbital. Supongamos que el momento angular para el movimiento orbital es L . Entonces el momento dipolar magnético orbital es $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

Aquí g _L es el factor g del orbital electrónico y μ _B es el magnetón de Bohr . El valor de g _L es exactamente igual a uno, mediante un argumento mecánico-cuántico análogo a la derivación de la relación giromagnética clásica .

Momento dipolar magnético total

El momento dipolar magnético total resultante de los momentos angulares de giro y orbital de un electrón está relacionado con el momento angular total J mediante una ecuación similar: $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

El factor g g _J se conoce como factor g de Landé , que puede relacionarse con g _L y g _S mediante la mecánica cuántica. Consulte el factor g de Landé para obtener más detalles.

Ejemplo: átomo de hidrógeno

Para un átomo de hidrógeno , un electrón que ocupa el orbital atómico Ψ _n,ℓ,m  , el momento dipolar magnético está dado por $${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

Aquí L es el momento angular orbital , n , ℓ y m son los números cuánticos principal , azimutal y magnético respectivamente. El componente z del momento dipolar magnético orbital para un electrón con un número cuántico magnético m _ℓ está dado por $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

Historia

El momento magnético del electrón está intrínsecamente conectado al espín del electrón y se planteó por primera vez durante los primeros modelos del átomo a principios del siglo XX. El primero en introducir la idea del espín del electrón fue Arthur Compton en su artículo de 1921 sobre investigaciones de sustancias ferromagnéticas con rayos X. ^{[5] : 145–155  [6]} En el artículo de Compton, escribió: "Quizás la visión más natural, y ciertamente la más aceptada en general, de la naturaleza del imán elemental, es que la revolución de los electrones en órbitas dentro del átomo le da al átomo en su conjunto las propiedades de un pequeño imán permanente". ^{[5] : 146}

Ese mismo año, Otto Stern propuso un experimento que se llevó a cabo más tarde llamado experimento de Stern-Gerlach en el que los átomos de plata en un campo magnético se desviaron en direcciones opuestas de distribución. Este período anterior a 1925 marcó la antigua teoría cuántica construida sobre el modelo de Bohr-Sommerfeld del átomo con sus órbitas electrónicas elípticas clásicas. Durante el período entre 1916 y 1925, se estaban haciendo muchos avances en relación con la disposición de los electrones en la tabla periódica . Para explicar el efecto Zeeman en el átomo de Bohr, Sommerfeld propuso que los electrones se basarían en tres "números cuánticos", n, k y m, que describían el tamaño de la órbita, la forma de la órbita y la dirección en la que apuntaba la órbita. ^[7] Irving Langmuir había explicado en su artículo de 1919 sobre los electrones en sus capas: "Rydberg ha señalado que estos números se obtienen de la serie . El factor dos sugiere una simetría doble fundamental para todos los átomos estables". ^[8] Esta configuración fue adoptada por Edmund Stoner en octubre de 1924 en su artículo 'La distribución de electrones entre los niveles atómicos' publicado en la revista Philosophical Magazine. Wolfgang Pauli planteó la hipótesis de que esto requería un cuarto número cuántico con dos valores. ^[9] ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

El espín del electrón en las teorías de Pauli y Dirac

Partiendo de aquí, la carga del electrón es e < 0. La necesidad de introducir un espín semiintegral se remonta experimentalmente a los resultados del experimento de Stern-Gerlach . Un haz de átomos se hace pasar por un campo magnético fuerte no uniforme, que luego se divide en N partes dependiendo del momento angular intrínseco de los átomos. Se descubrió que, para los átomos de plata , el haz se dividía en dos; por lo tanto, el estado fundamental no podía ser integral, porque incluso si el momento angular intrínseco de los átomos fuera lo más pequeño posible, 1, el haz se dividiría en 3 partes, correspondientes a átomos con L _z = −1, 0 y +1. La conclusión es que los átomos de plata tienen un momento angular intrínseco neto de ⁠1/2⁠ . Pauli propuso una teoría que explicaba esta división introduciendo una función de onda de dos componentes y un término de corrección correspondiente en el hamiltoniano , lo que representa un acoplamiento semiclásico de esta función de onda a un campo magnético aplicado, de la siguiente manera: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

Aquí A es el potencial vectorial magnético y ϕ el potencial eléctrico , ambos representan el campo electromagnético , y σ = ( σ _x , σ _y , σ _z ) son las matrices de Pauli . Al elevar al cuadrado el primer término, se encuentra una interacción residual con el campo magnético, junto con el hamiltoniano clásico habitual de una partícula cargada que interactúa con un campo aplicado: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Este hamiltoniano es ahora una matriz 2 × 2, por lo que la ecuación de Schrödinger basada en él debe utilizar una función de onda de dos componentes. Pauli había introducido las matrices sigma 2 × 2 como fenomenología pura —Dirac ahora tenía un argumento teórico que implicaba que el espín era de alguna manera la consecuencia de incorporar la relatividad a la mecánica cuántica . Al introducir el 4-potencial electromagnético externo en la ecuación de Dirac de una manera similar, conocida como acoplamiento mínimo , toma la forma (en unidades naturales ħ = c = 1) donde son las matrices gamma (conocidas como matrices de Dirac ) e i es la unidad imaginaria . Una segunda aplicación del operador de Dirac reproducirá ahora el término de Pauli exactamente como antes, porque las matrices espaciales de Dirac multiplicadas por i , tienen las mismas propiedades de cuadratura y conmutación que las matrices de Pauli. Es más, el valor de la relación giromagnética del electrón, que se encuentra frente al nuevo término de Pauli, se explica a partir de primeros principios. Éste fue un logro importante de la ecuación de Dirac y dio a los físicos una gran fe en su corrección general. La teoría de Pauli puede verse como el límite de baja energía de la teoría de Dirac de la siguiente manera. Primero, la ecuación se escribe en forma de ecuaciones acopladas para 2-espinores con las unidades restauradas: así $${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Suponiendo que el campo es débil y el movimiento del electrón no relativista, tenemos la energía total del electrón aproximadamente igual a su energía en reposo , y el momento se reduce al valor clásico, por lo que se puede escribir la segunda ecuación , que es de orden ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$en/do⁠ - por lo tanto, a energías y velocidades típicas, los componentes inferiores del espinor de Dirac en la representación estándar se suprimen mucho en comparación con los componentes superiores. Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación, después de un cierto reordenamiento, se obtiene $${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

El operador de la izquierda representa la energía de la partícula reducida por su energía en reposo, que es simplemente la energía clásica, de modo que recuperamos la teoría de Pauli si identificamos su 2-espinor con los componentes superiores del espinor de Dirac en la aproximación no relativista. Una aproximación posterior da la ecuación de Schrödinger como el límite de la teoría de Pauli. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger puede verse como la aproximación no relativista lejana de la ecuación de Dirac cuando uno puede ignorar el espín y trabajar solo a bajas energías y velocidades. Esto también fue un gran triunfo para la nueva ecuación, ya que rastreaba la misteriosa i que aparece en ella, y la necesidad de una función de onda compleja, hasta la geometría del espacio-tiempo a través del álgebra de Dirac. También destaca por qué la ecuación de Schrödinger, aunque superficialmente en forma de ecuación de difusión, en realidad representa la propagación de ondas.

Es importante destacar que esta separación del espinor de Dirac en componentes grandes y pequeños depende explícitamente de una aproximación de baja energía. El espinor de Dirac en su totalidad representa un todo irreducible , y los componentes que acabamos de dejar de lado para llegar a la teoría de Pauli introducirán nuevos fenómenos en el régimen relativista: la antimateria y la idea de creación y aniquilación de partículas.

En un caso general (si una determinada función lineal del campo electromagnético no se anula de forma idéntica), tres de los cuatro componentes de la función espinorial en la ecuación de Dirac pueden eliminarse algebraicamente, lo que da como resultado una ecuación diferencial parcial de cuarto orden equivalente para un solo componente. Además, este componente restante puede hacerse real mediante una transformación de calibre. ^[10]

Medición

La existencia del momento magnético anómalo del electrón se ha detectado experimentalmente mediante el método de resonancia magnética . ^[2] Esto permite la determinación de la división hiperfina de los niveles de energía de la capa electrónica en átomos de protio y deuterio utilizando la frecuencia de resonancia medida para varias transiciones. ^{[11] [12]}

El momento magnético del electrón se ha medido utilizando un ciclotrón cuántico de un electrón y una espectroscopia cuántica de no demolición . La frecuencia de espín del electrón se determina mediante el factor g . $${\displaystyle \nu _{\text{s}}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$ $${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

Véase también

• Giro (física)
• Precipitación de electrones
• Magneto de Bohr
• Momento magnético nuclear
• Momento magnético del nucleón
• Momento dipolar magnético anómalo
• Momento dipolar eléctrico del electrón
• Estructura fina
• Estructura hiperfina

Referencias

1. "Valor CODATA 2022: momento magnético del electrón". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
2. Fan, X.; Myers, T. G.; Sukra, B. A. D.; Gabrielse, G. (13 de febrero de 2023). "Medición del momento magnético del electrón". Physical Review Letters . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801.
3. Mahajan, A.; Rangwala, A. (1989). Electricidad y magnetismo. pág. 419. ISBN 9780074602256.
4. "Valor CODATA 2022: factor g del electrón". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
5. Compton, Arthur H. (agosto de 1921). "El electrón magnético". Revista del Instituto Franklin . 192 (2). doi :10.1016/S0016-0032(21)90917-7.
6. Charles P. Enz, Las aplicaciones de la mecánica cuántica de Heisenberg (1926-33) o el asentamiento de la nueva tierra*), Department de Physique Théorique Université de Genève, 1211 Genève 4, Suiza (10. I. 1983)
7. Manjit Kumar, Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad, 2008.
8. Langmuir, Irving (1919). "La disposición de los electrones en átomos y moléculas". Revista del Instituto Franklin . 187 (3): 359–362. doi :10.1016/S0016-0032(19)91097-0.
9. Wolfgang Pauli. Principio de exclusión y mecánica cuántica. Disponible en línea en ⟨http://nobelprize.org⟩ ^{[ enlace muerto permanente ]} . Discurso Nobel pronunciado el 13 de diciembre de 1946 con motivo del Premio Nobel de Física de 1945.
10. Akhmeteli, Andrey (2011). "Una función real en lugar de la función espinorial de Dirac". Journal of Mathematical Physics . 52 (8): 082303. arXiv : 1008.4828 . Bibcode :2011JMP....52h2303A. doi :10.1063/1.3624336. S2CID  119331138. Archivado desde el original el 18 de julio de 2012 . Consultado el 26 de abril de 2012 .
11. Foley, HM; Kusch, Polykarp (15 de febrero de 1948). «Intrinsic moment of the electron» (Momento intrínseco del electrón). Physical Review . 73 (4): 412. doi :10.1103/PhysRev.73.412. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2021 . Consultado el 2 de abril de 2015 .
12. Kusch, Polykarp ; Foley, HM (1 de agosto de 1948). "El momento magnético del electrón". Physical Review . 74 (3): 207–11. Bibcode :1948PhRv...74..250K. doi :10.1103/PhysRev.74.250. PMID  17820251. Archivado desde el original el 22 de abril de 2021 . Consultado el 2 de abril de 2015 .

Bibliografía

• Sergei Vonsovsky (1975). Magnetismo de partículas elementales. Editorial Mir.
• Sin-Itiro Tomonaga (1997). La historia del spin . Prensa de la Universidad de Chicago.