modelo de bohr

Modelo atómico introducido por Niels Bohr en 1913.

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno ( Z = 1 ) o un ion similar al hidrógeno ( Z > 1 ), donde el electrón cargado negativamente confinado a una capa atómica rodea un núcleo atómico pequeño, cargado positivamente y donde un electrón salta entre órbitas, va acompañado de una cantidad emitida o absorbida de energía electromagnética ( hν ). ^[1] Las órbitas en las que puede viajar el electrón se muestran como círculos grises; su radio aumenta a medida que n ² , donde n es el número cuántico principal . La transición 3 → 2 representada aquí produce la primera línea de la serie de Balmer , y para el hidrógeno ( Z = 1 ) da como resultado un fotón de longitud de onda de 656  nm (luz roja).

En física atómica , el modelo de Bohr o modelo del átomo de Rutherford-Bohr , presentado por Niels Bohr y Ernest Rutherford en 1913, consiste en un núcleo pequeño y denso rodeado por electrones en órbita . Es análoga a la estructura del Sistema Solar , pero con la atracción proporcionada por la fuerza electrostática en lugar de la gravedad , y con las energías de los electrones cuantificadas (asumiendo sólo valores discretos).

En la historia de la física atómica, siguió y finalmente reemplazó a varios modelos anteriores, incluido el modelo del Sistema Solar de Joseph Larmor (1897), el modelo de Jean Perrin (1901), ^[2] el modelo cúbico (1902), Hantaro El modelo saturniano de Nagaoka (1904), el modelo del pudín de ciruelas (1904), el modelo cuántico de Arthur Haas (1910), el modelo de Rutherford (1911) y el modelo cuántico nuclear de John William Nicholson (1912). La mejora con respecto al modelo de Rutherford de 1911 se refería principalmente a la nueva interpretación de la mecánica cuántica introducida por Haas y Nicholson, pero abandonando cualquier intento de explicar la radiación según la física clásica .

El éxito clave del modelo radica en explicar la fórmula de Rydberg para las líneas espectrales de emisión del hidrógeno . Si bien la fórmula de Rydberg se conocía experimentalmente, no obtuvo una base teórica hasta que se introdujo el modelo de Bohr. El modelo de Bohr no sólo explicó las razones de la estructura de la fórmula de Rydberg, sino que también proporcionó una justificación de las constantes físicas fundamentales que conforman los resultados empíricos de la fórmula.

El modelo de Bohr es un modelo relativamente primitivo del átomo de hidrógeno , en comparación con el modelo de la capa de valencia . Como teoría, puede derivarse como una aproximación de primer orden del átomo de hidrógeno utilizando la mecánica cuántica más amplia y precisa y, por lo tanto, puede considerarse una teoría científica obsoleta . Sin embargo, debido a su simplicidad y sus resultados correctos para sistemas seleccionados (consulte la aplicación a continuación), el modelo de Bohr todavía se enseña comúnmente para presentar a los estudiantes la mecánica cuántica o los diagramas de niveles de energía antes de pasar al modelo más preciso, pero más complejo. átomo de la capa de valencia. Arthur Erich Haas propuso un modelo cuántico relacionado en 1910, pero fue rechazado hasta el Congreso Solvay de 1911, donde se discutió a fondo. ^[3] La teoría cuántica del período comprendido entre el descubrimiento de lo cuántico por parte de Planck (1900) y el advenimiento de una mecánica cuántica madura (1925) a menudo se conoce como la antigua teoría cuántica .

Origen

Modelo de Bohr en 1921 ^[4] después de la expansión de Sommerfeld del modelo de 1913 que muestra el máximo de electrones por capa con capas etiquetadas en notación de rayos X

A principios del siglo XX, los experimentos de Ernest Rutherford establecieron que los átomos consistían en una nube difusa de electrones cargados negativamente que rodeaban un núcleo pequeño, denso y cargado positivamente . ^[5] Teniendo en cuenta estos datos experimentales, Rutherford naturalmente consideró un modelo planetario del átomo, el modelo de Rutherford de 1911. Éste tenía electrones orbitando un núcleo solar, pero implicaba una dificultad técnica: las leyes de la mecánica clásica (es decir, la fórmula de Larmor ) predicen que el electrón liberará radiación electromagnética mientras orbita alrededor de un núcleo. Debido a que el electrón perdería energía, rápidamente entraría en espiral hacia adentro, colapsando en el núcleo en una escala de tiempo de alrededor de 16 picosegundos . ^[6] El modelo atómico de Rutherford es desastroso porque predice que todos los átomos son inestables. ^[7] Además, a medida que el electrón gira en espiral hacia adentro, la emisión aumentaría rápidamente en frecuencia debido a que el período orbital se acorta, lo que resulta en radiación electromagnética con un espectro continuo. Sin embargo, los experimentos de finales del siglo XIX con descargas eléctricas habían demostrado que los átomos sólo emiten luz (es decir, radiación electromagnética) en determinadas frecuencias discretas. A principios del siglo XX se esperaba que el átomo fuera el responsable de las líneas espectrales. En 1897, Lord Rayleigh analizó el problema. En 1906, Rayleigh dijo: “Las frecuencias observadas en el espectro pueden no ser en absoluto frecuencias de perturbación u oscilación en el sentido ordinario, sino que más bien forman una parte esencial de la constitución original del átomo determinada por las condiciones de estabilidad”. ^{[8] [9]}

El esbozo del átomo de Bohr se produjo durante las actuaciones de la primera Conferencia Solvay en 1911 sobre el tema de Radiación y Quanta, en la que estuvo presente el mentor de Bohr, Rutherford. La conferencia de Max Planck terminó con esta observación: “...los átomos o electrones sujetos al enlace molecular obedecerían las leyes de la teoría cuántica”. ^{[10] [11]} Hendrik Lorentz en la discusión de la conferencia de Planck planteó la cuestión de la composición del átomo basándose en el modelo de Thomson con una gran parte de la discusión en torno al modelo atómico desarrollado por Arthur Erich Haas . Lorentz explicó que la constante de Planck podría considerarse como determinante del tamaño de los átomos, o que el tamaño de los átomos podría utilizarse para determinar la constante de Planck. ^[12] Lorentz incluyó comentarios sobre la emisión y absorción de radiación concluyendo que “Se establecerá un estado estacionario en el que el número de electrones que entran en sus esferas es igual al número de los que salen de ellas”. ^[3] En la discusión sobre qué podría regular las diferencias de energía entre los átomos, Max Planck simplemente afirmó: "Los intermediarios podrían ser los electrones". ^[13] Las discusiones delinearon la necesidad de que la teoría cuántica se incluya en el átomo y las dificultades en una teoría atómica. Planck en su charla dijo explícitamente: “Para que un oscilador [molécula o átomo] pueda proporcionar radiación de acuerdo con la ecuación, es necesario introducir en las leyes de su funcionamiento, como ya dijimos al principio de este Informe, una hipótesis física particular que está, en un punto fundamental, en contradicción con la Mecánica clásica, explícita o tácitamente”. ^[14] El primer artículo de Bohr sobre su modelo atómico cita a Planck casi palabra por palabra, diciendo: “Cualquiera que sea la alteración en las leyes del movimiento de los electrones, parece necesario introducir en las leyes en cuestión una cantidad ajena a las leyes clásicas”. electrodinámica, es decir, la constante de Planck, o como a menudo se la llama el cuanto elemental de acción”. La nota a pie de página de Bohr al final de la página corresponde a la traducción francesa del Congreso Solvay de 1911, lo que demuestra que modeló su modelo directamente sobre los procedimientos y principios fundamentales establecidos por Planck, Lorentz y el modelo cuantificado del átomo de Arthur Haas que se mencionó. diecisiete veces. ^[5] Lorentz terminó la discusión de la charla de Einstein explicando: "La suposición de que esta energía debe ser un múltiplo de conduce a la siguiente fórmula, donde es un número entero: ". ^[15] Rutherford podría haber resumido estos puntos a Bohr o darle una copia de las actas, ya que las citó y las utilizó como referencia. ^[dieciséis] ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle qv^{2}=nh\nu }$En una entrevista posterior, Bohr dijo que fue muy interesante escuchar los comentarios de Rutherford sobre el Congreso Solvay. ^[17] Pero Bohr dijo: “Vi los informes reales” del Congreso de Solvay. ^[18]

Luego, en 1912, Bohr se topó con la teoría del modelo atómico de John William Nicholson que cuantificaba el momento angular como . Según una celebración del centenario del átomo de Bohr en la revista Nature, fue Nicholson quien descubrió que los electrones irradian las líneas espectrales a medida que descienden hacia el núcleo y su teoría era a la vez nuclear y cuántica. ^{[11] [19] [20]} Niels Bohr lo citó en su artículo de 1913 sobre el modelo atómico de Bohr. ^[5] Muchos historiadores han enfatizado la importancia del trabajo del modelo atómico cuántico nuclear de Nicholson sobre el modelo de Bohr. ^{[21] [22] [20] [23]} ${\displaystyle h/2\pi }$

Luego, su amigo Hans Hansen le dijo a Bohr que la serie de Balmer se calcula utilizando la fórmula de Balmer, una ecuación empírica descubierta por Johann Balmer en 1885 que describía las longitudes de onda de algunas líneas espectrales del hidrógeno. ^{[17] [24]} Esto fue generalizado aún más por Johannes Rydberg en 1888, dando como resultado lo que ahora se conoce como la fórmula de Rydberg . Después de esto, declaró Bohr, “todo quedó claro”. ^[24]

Para superar los problemas del átomo de Rutherford, en 1913 Niels Bohr propuso tres postulados que resumen la mayor parte de su modelo:

1. El electrón es capaz de girar en determinadas órbitas estables alrededor del núcleo sin irradiar energía, contrariamente a lo que sugiere el electromagnetismo clásico . Estas órbitas estables se denominan órbitas estacionarias y se alcanzan a determinadas distancias discretas del núcleo. El electrón no puede tener ninguna otra órbita entre las discretas.
2. Las órbitas estacionarias se alcanzan a distancias para las cuales el momento angular del electrón que gira es un múltiplo entero de la constante de Planck reducida : , donde se llama número cuántico principal , y . El valor más bajo de es 1; esto da el radio orbital más pequeño posible, conocido como radio de Bohr , de 0,0529 nm para el hidrógeno. Una vez que un electrón está en esta órbita más baja, no puede acercarse al núcleo. A partir de la regla cuántica del momento angular, como admite Bohr, fue dada previamente por Nicholson en su artículo de 1912, ^{[17] [11] [19] [20]} Bohr ^[5] pudo calcular las energías de las órbitas permitidas del átomo de hidrógeno. y otros átomos e iones similares al hidrógeno. Estas órbitas están asociadas con energías definidas y también se denominan capas de energía o niveles de energía . En estas órbitas, la aceleración del electrón no produce radiación ni pérdida de energía. El modelo atómico de Bohr se basó en la teoría cuántica de la radiación de Planck. ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$ ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$ ${\displaystyle n}$
3. Los electrones sólo pueden ganar y perder energía saltando de una órbita permitida a otra, absorbiendo o emitiendo radiación electromagnética con una frecuencia determinada por la diferencia de energía de los niveles según la relación de Planck : , donde es la constante de Planck. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta E=E_{2}-E_{1}=h\nu }$ ${\displaystyle h}$

Otros puntos son:

1. Al igual que la teoría del efecto fotoeléctrico de Einstein , la fórmula de Bohr supone que durante un salto cuántico se irradia una cantidad discreta de energía. Sin embargo, a diferencia de Einstein, Bohr se apegó a la teoría clásica de Maxwell del campo electromagnético. La cuantificación del campo electromagnético se explica por la discreción de los niveles de energía atómica; Bohr no creía en la existencia de fotones . ^{[25] [26]}
2. Según la teoría de Maxwell, la frecuencia de la radiación clásica es igual a la frecuencia de rotación _del electrón en su órbita, con armónicos en múltiplos enteros de esta frecuencia. Este resultado se obtiene del modelo de Bohr para saltos entre niveles de energía y cuando es mucho menor que . Estos saltos reproducen la frecuencia del -ésimo armónico de la órbita . Para valores suficientemente grandes de (los llamados estados de Rydberg ), las dos órbitas involucradas en el proceso de emisión tienen casi la misma frecuencia de rotación, de modo que la frecuencia orbital clásica no es ambigua. Pero para los pequeños (o grandes ), la frecuencia de radiación no tiene una interpretación clásica inequívoca. Esto marca el nacimiento del principio de correspondencia , que exige que la teoría cuántica concuerde con la teoría clásica sólo en el límite de los grandes números cuánticos. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n-k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$
3. La teoría de Bohr-Kramers-Slater (teoría BKS) es un intento fallido de extender el modelo de Bohr, que viola la conservación de la energía y el impulso en los saltos cuánticos, y las leyes de conservación solo se cumplen en promedio.

La condición de Bohr, de que el momento angular sea un múltiplo entero de , fue reinterpretada más tarde en 1924 por De Broglie como una condición de onda estacionaria : el electrón es descrito por una onda y un número entero de longitudes de onda deben caber a lo largo de la circunferencia de la órbita del electrón: ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

Según la hipótesis de De Broglie, las partículas de materia como el electrón se comportan como ondas . La longitud de onda de De Broglie de un electrón es

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}},}$

lo que implica que

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r,}$

o

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr,}$

¿Dónde está el momento angular del electrón en órbita? Escribiendo para este momento angular, la ecuación anterior se convierte en ${\displaystyle mvr}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }},}$

que es el segundo postulado de Bohr.

Bohr describió el momento angular de la órbita del electrón como mientras que la longitud de onda de De Broglie la describió dividida por el momento del electrón. En 1913, sin embargo, Bohr justificó su regla apelando al principio de correspondencia, sin proporcionar ningún tipo de interpretación ondulatoria. En 1913, no se sospechaba el comportamiento ondulatorio de partículas de materia como el electrón. ${\displaystyle 2/h}$ ${\displaystyle \lambda =h/p}$ ${\displaystyle h}$

En 1925, se propuso un nuevo tipo de mecánica, la mecánica cuántica , en la que el modelo de Bohr de electrones que viajan en órbitas cuantificadas se amplió hasta convertirlo en un modelo más preciso del movimiento de los electrones. La nueva teoría fue propuesta por Werner Heisenberg . Otra forma de la misma teoría, la mecánica ondulatoria, fue descubierta por el físico austriaco Erwin Schrödinger de forma independiente y mediante razonamientos diferentes. Schrödinger empleó las ondas de materia de De Broglie, pero buscó soluciones ondulatorias de una ecuación de onda tridimensional que describía electrones que estaban obligados a moverse alrededor del núcleo de un átomo similar al hidrógeno , al quedar atrapados por el potencial de la carga nuclear positiva.

Niveles de energía de los electrones.

Modelos que representan niveles de energía de electrones en hidrógeno, helio, litio y neón.

El modelo de Bohr da resultados casi exactos sólo para un sistema en el que dos puntos cargados orbitan entre sí a velocidades mucho menores que la de la luz. Esto no sólo involucra sistemas de un solo electrón como el átomo de hidrógeno , el helio simple ionizado y el litio doblemente ionizado , sino que incluye los estados de positronio y Rydberg de cualquier átomo en el que un electrón esté lejos de todo lo demás. Se puede utilizar para cálculos de transición de rayos X de la línea K si se agregan otras suposiciones (consulte la ley de Moseley a continuación). En física de altas energías, se puede utilizar para calcular las masas de mesones de quarks pesados .

El cálculo de las órbitas requiere dos suposiciones.

• Mecanica clasica

El electrón se mantiene en una órbita circular por atracción electrostática. La fuerza centrípeta es igual a la fuerza de Coulomb .

${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},}$

donde m _e es la masa del electrón, e es la carga elemental , k _e es la constante de Coulomb y Z es el número atómico del átomo . Aquí se supone que la masa del núcleo es mucho mayor que la masa del electrón (lo cual es una buena suposición). Esta ecuación determina la velocidad del electrón en cualquier radio:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.}$

También determina la energía total del electrón en cualquier radio:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.}$

La energía total es negativa e inversamente proporcional a r . Esto significa que se necesita energía para alejar el electrón en órbita del protón. Para valores infinitos de r , la energía es cero, correspondiente a un electrón inmóvil infinitamente lejos del protón. La energía total es la mitad de la energía potencial , siendo la diferencia la energía cinética del electrón. Esto también es válido para órbitas no circulares según el teorema del virial .

• Una regla cuántica

El momento angular L = m _e vr es un múltiplo entero de ħ :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .}$

Derivación

Si un electrón en un átomo se mueve en una órbita con período T, clásicamente la radiación electromagnética se repetirá en cada período orbital. Si el acoplamiento al campo electromagnético es débil, de modo que la órbita no decaiga mucho en un ciclo, la radiación se emitirá en un patrón que se repite en cada período, de modo que la transformada de Fourier tendrá frecuencias que sólo son múltiplos de 1/t. Sin embargo, en el ámbito cuántico, la cuantificación del momento angular conduce a niveles de energía discretos, y las frecuencias emitidas se cuantifican de acuerdo con las diferencias de energía entre estos niveles. Esta naturaleza discreta de los niveles de energía introduce una desviación fundamental de la ley de radiación clásica, dando lugar a distintas líneas espectrales en la radiación emitida.

En mecánica cuántica, esta emisión debe ser en cuantos de luz, de frecuencias compuestas por múltiplos enteros de 1/ T , de modo que la mecánica clásica es una descripción aproximada en números cuánticos grandes. Esto significa que el nivel de energía correspondiente a una órbita clásica de período 1/ T debe tener niveles de energía cercanos que difieren en energía en h / T , y deben estar igualmente espaciados cerca de ese nivel.

${\displaystyle \Delta E_{n}={\frac {h}{T(E_{n})}}.}$

A Bohr le preocupaba si el espaciamiento de energía 1/ T debería calcularse mejor con el período del estado de energía , o , o algún promedio; en retrospectiva, este modelo es sólo la principal aproximación semiclásica. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$

Bohr consideró órbitas circulares. Clásicamente, estas órbitas deben desintegrarse a círculos más pequeños cuando se emiten fotones. El espaciado de niveles entre órbitas circulares se puede calcular con la fórmula de correspondencia. Para un átomo de hidrógeno, las órbitas clásicas tienen un período T determinado por la tercera ley de Kepler a escala como r ^3/2 . La energía se escala como 1/ r , por lo que la fórmula de espaciado de niveles equivale a

${\displaystyle \Delta E\propto {\frac {1}{r^{3/2}}}\propto E^{3/2}.}$

Es posible determinar los niveles de energía reduciendo recursivamente órbita por órbita, pero existe un atajo.

El momento angular L de la órbita circular escala como . La energía en términos del momento angular es entonces ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$

${\displaystyle E\propto {\frac {1}{r}}\propto {\frac {1}{L^{2}}}.}$

Suponiendo, con Bohr, que los valores cuantificados de L están igualmente espaciados, el espaciado entre energías vecinas es

${\displaystyle \Delta E\propto {\frac {1}{(L+\hbar )^{2}}}-{\frac {1}{L^{2}}}\approx -{\frac {2\hbar }{L^{3}}}\propto -E^{3/2}.}$

Esto es lo que se desea para momentos angulares igualmente espaciados. Si se hiciera un seguimiento de las constantes, el espaciado sería ħ , por lo que el momento angular debería ser un múltiplo entero de ħ ,

${\displaystyle L={\frac {nh}{2\pi }}=n\hbar .}$

Así llegó Bohr a su modelo.

Sustituyendo la expresión de la velocidad se obtiene una ecuación para r en términos de n :

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,}$

de modo que el radio de órbita permitido en cualquier n es

${\displaystyle r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.}$

El valor más pequeño posible de r en el átomo de hidrógeno ( Z = 1 ) se llama radio de Bohr y es igual a:

${\displaystyle r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .}$

La energía del n -ésimo nivel para cualquier átomo está determinada por el radio y el número cuántico:

${\displaystyle E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .}$

Por lo tanto , un electrón en el nivel de energía más bajo del hidrógeno ( n = 1 ) tiene aproximadamente 13,6  eV menos energía que un electrón inmóvil infinitamente lejos del núcleo. El siguiente nivel de energía ( n = 2 ) es −3,4 eV. El tercero ( n = 3) es −1,51 eV, y así sucesivamente. Para valores mayores de n , estas son también las energías de enlace de un átomo altamente excitado con un electrón en una órbita circular grande alrededor del resto del átomo. La fórmula del hidrógeno también coincide con el producto de Wallis . ^[27]

La combinación de constantes naturales en la fórmula de la energía se llama energía de Rydberg ( R _E ):

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.}$

Esta expresión se aclara interpretándola en combinaciones que formen unidades más naturales :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }c^{2}}$es la energía de la masa en reposo del electrón (511 keV),

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}}$es la constante de estructura fina ,

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$.

Dado que esta derivación se realiza asumiendo que el núcleo está orbitado por un electrón, podemos generalizar este resultado dejando que el núcleo tenga una carga q = Ze , donde Z es el número atómico. Esto nos dará ahora niveles de energía para los átomos hidrógenos (similares al hidrógeno), que pueden servir como una aproximación aproximada de orden de magnitud de los niveles de energía reales. Entonces, para núcleos con Z protones, los niveles de energía son (en una aproximación aproximada):

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.}$

Los niveles de energía reales no se pueden resolver analíticamente para más de un electrón (ver problema de n cuerpos ) porque los electrones no solo se ven afectados por el núcleo sino que también interactúan entre sí a través de la fuerza de Coulomb .

Cuando Z = 1/ α ( Z ≈ 137 ), el movimiento se vuelve altamente relativista y Z ² cancela el α ² en R ; la energía de la órbita comienza a ser comparable a la energía en reposo. Los núcleos suficientemente grandes, si fueran estables, reducirían su carga creando un electrón ligado desde el vacío, expulsando el positrón al infinito. Se trata del fenómeno teórico de detección de carga electromagnética que predice una carga nuclear máxima. Se ha observado la emisión de tales positrones en las colisiones de iones pesados ​​para crear núcleos superpesados ​​temporales. ^[28]

La fórmula de Bohr utiliza correctamente la masa reducida del electrón y del protón en todas las situaciones, en lugar de la masa del electrón.

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.}$

Sin embargo, estos números son casi iguales, debido a la masa mucho mayor del protón, aproximadamente 1836,1 veces la masa del electrón, de modo que la masa reducida en el sistema es la masa del electrón multiplicada por la constante 1836,1/( 1+1836,1) = 0,99946. Este hecho fue históricamente importante para convencer a Rutherford de la importancia del modelo de Bohr, ya que explicaba el hecho de que las frecuencias de las líneas en los espectros del helio individualmente ionizado no difieren de las del hidrógeno en un factor de exactamente 4, sino más bien en 4. veces la relación entre la masa reducida de los sistemas de hidrógeno y helio, que estaba mucho más cerca de la relación experimental que exactamente 4.

Para el positronio, la fórmula también usa la masa reducida, pero en este caso, es exactamente la masa del electrón dividida por 2. Para cualquier valor del radio, el electrón y el positrón se mueven cada uno a la mitad de la velocidad alrededor de su centro común de masa, y cada uno tiene sólo una cuarta parte de la energía cinética. La energía cinética total es la mitad de la que tendría un solo electrón moviéndose alrededor de un núcleo pesado.

${\displaystyle E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}}$ (positronio).

fórmula de rydberg

La fórmula de Rydberg, que se conocía empíricamente antes de la fórmula de Bohr, se considera en la teoría de Bohr como una descripción de las energías de las transiciones o saltos cuánticos entre niveles de energía orbitales. La fórmula de Bohr da el valor numérico de la constante de Rydberg , ya conocida y medida , pero en términos de constantes más fundamentales de la naturaleza, incluida la carga del electrón y la constante de Planck .

Cuando el electrón se mueve de su nivel de energía original a uno superior, salta cada nivel hacia atrás hasta llegar a la posición original, lo que da como resultado la emisión de un fotón. Utilizando la fórmula derivada para los diferentes niveles de energía del hidrógeno, se pueden determinar las longitudes de onda de luz que puede emitir un átomo de hidrógeno.

La energía de un fotón emitido por un átomo de hidrógeno viene dada por la diferencia de dos niveles de energía del hidrógeno:

${\displaystyle E=E_{i}-E_{f}=R_{\text{E}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right),}$

donde n _f es el nivel de energía final y n _i es el nivel de energía inicial.

Dado que la energía de un fotón es

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},}$

la longitud de onda del fotón emitido está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right).}$

Esto se conoce como fórmula de Rydberg , y la constante de Rydberg R es R _E / hc , o R _E /2 π en unidades naturales . Esta fórmula era conocida en el siglo XIX por los científicos que estudiaban la espectroscopia , pero no hubo una explicación teórica para esta forma ni una predicción teórica para el valor de R , hasta Bohr. De hecho, la derivación de Bohr de la constante de Rydberg, así como la concordancia concomitante de la fórmula de Bohr con las líneas espectrales observadas experimentalmente de Lyman ( n _f =1), Balmer ( n _f =2) y Paschen ( n _f =3) Las series y la predicción teórica exitosa de otras líneas aún no observadas fueron una de las razones por las que su modelo fue aceptado de inmediato.

Para aplicarla a átomos con más de un electrón, la fórmula de Rydberg se puede modificar reemplazando Z con Z  −  bo n con n  −  b donde b es constante y representa un efecto de pantalla debido a la capa interna y otros electrones (ver Capa de electrones y la discusión posterior sobre el "Modelo de caparazón del átomo" más adelante). Esto quedó establecido empíricamente antes de que Bohr presentara su modelo.

Modelo de caparazón (átomos más pesados)

Los tres artículos originales de Bohr en 1913 describían principalmente la configuración electrónica en elementos más ligeros. Bohr llamó a sus capas de electrones “anillos” en 1913. Los orbitales atómicos dentro de las capas no existían en el momento de su modelo planetario. Bohr explica en la parte 3 de su famoso artículo de 1913 que el máximo de electrones en una capa es ocho, y escribe: “Vemos, además, que un anillo de n electrones no puede girar en un solo anillo alrededor de un núcleo de carga n _e a menos que n < 8.” Para átomos más pequeños, las capas de electrones se llenarían de la siguiente manera: “los anillos de electrones sólo se unirán si contienen el mismo número de electrones; y que, en consecuencia, el número de electrones en los anillos interiores será sólo 2, 4, 8”. Sin embargo, en átomos más grandes la capa más interna contendría ocho electrones, “por otro lado, el sistema periódico de los elementos sugiere fuertemente que ya en el neón N = 10 se formará un anillo interno de ocho electrones”. Bohr escribió: "De lo anterior llegamos al siguiente esquema posible para la disposición de los electrones en los átomos ligeros:" ^{[29] [30] [4] [16]}

En el tercer artículo de Bohr de 1913, Parte III, titulado "Sistemas que contienen varios núcleos", dice que dos átomos forman moléculas en un plano simétrico y vuelve a describir el hidrógeno. ^[31] El modelo de Bohr de 1913 no analizaba los elementos superiores en detalle y John William Nicholson fue uno de los primeros en demostrar en 1914 que no podía funcionar con el litio, pero que era una teoría atractiva para el hidrógeno y el helio ionizado. ^{[16] [32]}

En 1921, siguiendo el trabajo de químicos y otras personas involucradas en el trabajo sobre la tabla periódica , Bohr amplió el modelo del hidrógeno para dar un modelo aproximado para átomos más pesados. Esto dio una imagen física que reprodujo muchas propiedades atómicas conocidas por primera vez, aunque estas propiedades fueron propuestas contemporáneamente con el trabajo idéntico del químico Charles Rugeley Bury ^{[4] [33]}

El compañero de investigación de Bohr entre 1914 y 1916 fue Walther Kossel , quien corrigió el trabajo de Bohr para demostrar que los electrones interactuaban a través de los anillos exteriores, y Kossel llamó a los anillos: "capas". ^{[34] [35]} A Irving Langmuir se le atribuye la primera disposición viable de electrones en capas con solo dos en la primera capa y subiendo a ocho en la siguiente según la regla del octeto de 1904, aunque Kossel ya había predicho un máximo de ocho por capa en 1916. ^[36] Los átomos más pesados ​​tienen más protones en el núcleo y más electrones para cancelar la carga. Bohr tomó de estos químicos la idea de que cada órbita discreta sólo podía contener un cierto número de electrones. Según Kossel , después de que la órbita esté llena, se tendría que utilizar el siguiente nivel. ^[4] Esto le da al átomo una estructura de capa diseñada por Kossel, Langmuir y Bury, en la que cada capa corresponde a una órbita de Bohr.

Este modelo es incluso más aproximado que el modelo del hidrógeno, porque considera que los electrones de cada capa no interactúan. Pero las repulsiones de los electrones se tienen en cuenta en cierta medida mediante el fenómeno del apantallamiento . Los electrones en órbitas externas no solo orbitan alrededor del núcleo, sino que también se mueven alrededor de los electrones internos, por lo que la carga efectiva Z que sienten se reduce en la cantidad de electrones en la órbita interna.

Por ejemplo, el átomo de litio tiene dos electrones en la órbita 1s más baja, y estos orbitan en Z  = 2. Cada uno ve la carga nuclear de Z  = 3 menos el efecto de pantalla del otro, lo que reduce crudamente la carga nuclear en 1 unidad. . Esto significa que los electrones más internos orbitan aproximadamente a la mitad del radio de Bohr. El electrón más externo del litio orbita aproximadamente en el radio de Bohr, ya que los dos electrones internos reducen la carga nuclear en 2. Este electrón externo debería estar a casi un radio de Bohr del núcleo. Como los electrones se repelen fuertemente entre sí, la descripción de la carga efectiva es muy aproximada; la carga efectiva Z no suele ser un número entero.

El modelo de capa pudo explicar cualitativamente muchas de las misteriosas propiedades de los átomos que quedaron codificadas a finales del siglo XIX en la tabla periódica de los elementos . Una propiedad era el tamaño de los átomos, que podía determinarse aproximadamente midiendo la viscosidad de los gases y la densidad de los sólidos cristalinos puros. Los átomos tienden a hacerse más pequeños hacia la derecha en la tabla periódica y a volverse mucho más grandes en la siguiente línea de la tabla. Los átomos a la derecha de la tabla tienden a ganar electrones, mientras que los átomos a la izquierda tienden a perderlos. Cada elemento de la última columna de la tabla es químicamente inerte ( gas noble ).

En el modelo de concha, este fenómeno se explica por el llenado de concha. Los átomos sucesivos se vuelven más pequeños porque llenan órbitas del mismo tamaño, hasta que la órbita está llena, momento en el cual el siguiente átomo en la tabla tiene un electrón externo débilmente unido, lo que hace que se expanda. La primera órbita de Bohr se llena cuando tiene dos electrones, lo que explica por qué el helio es inerte. La segunda órbita permite ocho electrones, y cuando está llena el átomo es neón, de nuevo inerte. El tercer orbital contiene ocho nuevamente, excepto que en el tratamiento más correcto de Sommerfeld (reproducido en la mecánica cuántica moderna) hay electrones "d" adicionales. La tercera órbita puede contener 10 electrones d adicionales, pero estas posiciones no se llenan hasta que se llenan algunos orbitales más del siguiente nivel (llenar los orbitales n = 3 d produce los 10 elementos de transición ). El patrón de llenado irregular es un efecto de las interacciones entre electrones, que no se tienen en cuenta ni en los modelos de Bohr ni en Sommerfeld y que son difíciles de calcular incluso en el tratamiento moderno.

Ley y cálculo de Moseley (líneas de emisión de rayos X K-alfa)

Niels Bohr dijo en 1962: "En realidad, el trabajo de Rutherford no se tomó en serio. No podemos entenderlo hoy, pero no se tomó en serio en absoluto. No se mencionó en ningún lugar. El gran cambio vino de Moseley". ^[37]

En 1913, Henry Moseley encontró una relación empírica entre la línea de rayos X más fuerte emitida por los átomos bajo bombardeo electrónico (entonces conocida como línea K-alfa ) y su número atómico Z. Se descubrió que la fórmula empírica de Moseley era derivable de la fórmula de Rydberg y posteriormente de la fórmula de Bohr (Moseley en realidad menciona sólo a Ernest Rutherford y Antonius Van den Broek en términos de modelos, ya que estos se habían publicado antes del trabajo de Moseley y el artículo de Moseley de 1913 se publicó el mismo mes que el primer artículo modelo de Bohr). ^[38] Las dos suposiciones adicionales de que [1] esta línea de rayos X proviene de una transición entre niveles de energía con números cuánticos 1 y 2, y [2] , que el número atómico Z cuando se usa en la fórmula para átomos más pesados ​​que el hidrógeno , debe disminuirse en 1, a ( Z  − 1) ² .

Moseley le escribió a Bohr, desconcertado por sus resultados, pero Bohr no pudo ayudarlo. En ese momento, pensó que la supuesta capa interna de electrones "K" debería tener al menos cuatro electrones, no los dos, lo que habría explicado claramente el resultado. Entonces Moseley publicó sus resultados sin una explicación teórica.

Fue Walther Kossel en 1914 y en 1916 quien explicó que en la tabla periódica se crearían nuevos elementos a medida que se añadieran electrones a la capa exterior. En el artículo de Kossel, escribe: “Esto lleva a la conclusión de que los electrones que se añaden más deben colocarse en anillos o capas concéntricas, en cada uno de los cuales... sólo un cierto número de electrones, es decir, ocho en nuestro caso—se debe arreglar. Tan pronto como se completa un anillo o concha, se debe comenzar uno nuevo para el siguiente elemento; el número de electrones, que son más fácilmente accesibles y se encuentran en la periferia más externa, vuelve a aumentar de un elemento a otro y, por lo tanto, en la formación de cada nueva capa se repite la periodicidad química”. ^{[34] [35]} Más tarde, el químico Langmuir se dio cuenta de que el efecto era causado por el filtrado de carga, con una capa interna que contenía solo 2 electrones. En su artículo de 1919, Irving Langmuir postuló la existencia de "células" que sólo podían contener dos electrones cada una, y éstas estaban dispuestas en "capas equidistantes".

En el experimento de Moseley, uno de los electrones más internos del átomo queda eliminado, dejando una vacante en la órbita de Bohr más baja, que contiene un único electrón restante. Esta vacante es luego ocupada por un electrón de la siguiente órbita, que tiene n=2. Pero los electrones n=2 ven una carga efectiva de Z  − 1, que es el valor apropiado para la carga del núcleo, cuando un solo electrón permanece en la órbita de Bohr más baja para proteger la carga nuclear + Z , y bajarla en − 1 (debido a que la carga negativa del electrón protege la carga nuclear positiva). La energía ganada por un electrón que cae de la segunda capa a la primera da la ley de Moseley para las líneas K-alfa,

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right),}$

o

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15}~{\text{Hz}})(Z-1)^{2}.}$

Aquí, R _v = R _E / h es la constante de Rydberg, en términos de frecuencia igual a 3,28 x 10 ¹⁵ Hz. Para valores de Z entre 11 y 31, esta última relación había sido derivada empíricamente por Moseley, en un gráfico simple (lineal) de la raíz cuadrada de la frecuencia de rayos X frente al número atómico (sin embargo, para la plata, Z = 47, el valor obtenido experimentalmente El término de selección debe sustituirse por 0,4). A pesar de su validez restringida, ^[39] la ley de Moseley no sólo estableció el significado objetivo del número atómico, sino que, como señaló Bohr, también hizo más que la derivación de Rydberg para establecer la validez del modelo nuclear de Rutherford/Van den Broek/Bohr del átomo, donde el número atómico (lugar en la tabla periódica) representa unidades enteras de carga nuclear. Van den Broek había publicado su modelo en enero de 1913 mostrando que la tabla periódica estaba ordenada según la carga, mientras que el modelo atómico de Bohr no se publicó hasta julio de 1913. ^[40]

Ahora se sabe que la línea K-alfa de la época de Moseley es un par de líneas cercanas, escritas como ( Kα ₁ y Kα ₂ ) en notación Siegbahn .

Deficiencias

El modelo de Bohr da un valor incorrecto L = ħ para el momento angular orbital del estado fundamental: se sabe por experimento que el momento angular en el estado fundamental verdadero es cero. Aunque las imágenes mentales fallan un poco en estos niveles de escala, se puede pensar que un electrón en el "orbital" moderno más bajo, sin momento orbital, no gira "alrededor" del núcleo en absoluto, sino que simplemente gira estrechamente alrededor de él en un elipse con área cero (esto se puede representar como "de ida y vuelta", sin golpear ni interactuar con el núcleo). Esto sólo se reproduce en un tratamiento semiclásico más sofisticado como el de Sommerfeld. Aún así, incluso el modelo semiclásico más sofisticado no logra explicar el hecho de que el estado de menor energía es esféricamente simétrico: no apunta en ninguna dirección particular.

Sin embargo, en el tratamiento moderno totalmente cuántico en el espacio de fases , la deformación adecuada (extensión completa cuidadosa) del resultado semiclásico ajusta el valor del momento angular al efectivo correcto. ^[41] Como consecuencia, la expresión del estado fundamental físico se obtiene mediante un cambio de la expresión del momento angular cuántico evanescente, que corresponde a la simetría esférica.

En la mecánica cuántica moderna, el electrón del hidrógeno es una nube esférica de probabilidad que se vuelve más densa cerca del núcleo. La constante de velocidad de probabilidad de desintegración del hidrógeno es igual a la inversa del radio de Bohr, pero dado que Bohr trabajó con órbitas circulares, no con elipses de área cero, el hecho de que estos dos números coincidan exactamente se considera una "coincidencia". (Sin embargo, se encuentran muchos acuerdos coincidentes entre el tratamiento mecánico cuántico semiclásico y el tratamiento mecánico cuántico completo del átomo; estos incluyen niveles de energía idénticos en el átomo de hidrógeno y la derivación de una constante de estructura fina, que surge del modelo relativista de Bohr-Sommerfeld. (ver más abajo) y que resulta ser igual a un concepto completamente diferente, en plena mecánica cuántica moderna).

El modelo de Bohr también tiene dificultades o no logra explicar:

• Gran parte de los espectros de átomos más grandes. En el mejor de los casos, puede hacer predicciones sobre los espectros de emisión de rayos X K-alfa y algunos L-alfa para átomos más grandes, si se hacen dos suposiciones ad hoc adicionales. Los espectros de emisión de átomos con un único electrón en la capa exterior (átomos del grupo del litio ) también se pueden predecir de forma aproximada. Además, si se conocen los factores empíricos de detección electrón-nuclear para muchos átomos, se pueden deducir muchas otras líneas espectrales a partir de la información, en átomos similares de diferentes elementos, mediante los principios de combinación de Ritz-Rydberg (ver fórmula de Rydberg ). Todas estas técnicas utilizan esencialmente la imagen newtoniana de energía potencial del átomo de Bohr.
• Las intensidades relativas de las líneas espectrales; aunque en algunos casos sencillos, la fórmula de Bohr o modificaciones de la misma, fue capaz de proporcionar estimaciones razonables (por ejemplo, los cálculos de Kramers para el efecto Stark ).
• La existencia de una estructura fina y una estructura hiperfina en las líneas espectrales, que se sabe que se deben a una variedad de efectos relativistas y sutiles, así como a complicaciones del espín de los electrones.
• El efecto Zeeman : cambios en las líneas espectrales debido a campos magnéticos externos ; esto también se debe a principios cuánticos más complicados que interactúan con el espín de los electrones y los campos magnéticos orbitales.
• El modelo también viola el principio de incertidumbre al considerar que los electrones tienen órbitas y ubicaciones conocidas, dos cosas que no se pueden medir simultáneamente.
• Los dobletes y tripletes aparecen en el espectro de algunos átomos como pares de líneas muy cercanas. El modelo de Bohr no puede decir por qué algunos niveles de energía deberían estar muy juntos.
• Los átomos multielectrónicos no tienen niveles de energía predichos por el modelo. No funciona con helio (neutro).

Refinamientos

Órbitas elípticas con la misma energía y momento angular cuantificado.

Se propusieron varias mejoras al modelo de Bohr, en particular los modelos de Sommerfeld o Bohr-Sommerfeld , que sugerían que los electrones viajaban en órbitas elípticas alrededor de un núcleo en lugar de las órbitas circulares del modelo de Bohr. ^[1] Este modelo complementó la condición de momento angular cuantificado del modelo de Bohr con una condición de cuantificación radial adicional, la condición de cuantificación de Wilson - Sommerfeld ^{[42] [43]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

donde p _r es el momento radial conjugado canónicamente a la coordenada q _r , que es la posición radial, y T es un período orbital completo. La integral es la acción de las coordenadas del ángulo de acción . Esta condición, sugerida por el principio de correspondencia , es la única posible, ya que los números cuánticos son invariantes adiabáticos .

El modelo de Bohr-Sommerfeld era fundamentalmente inconsistente y dio lugar a muchas paradojas. El número cuántico magnético medía la inclinación del plano orbital con respecto al plano xy  , y sólo podía tomar unos pocos valores discretos. Esto contradecía el hecho obvio de que un átomo podía girarse de un lado a otro con respecto a las coordenadas sin restricción. La cuantificación de Sommerfeld se puede realizar en diferentes coordenadas canónicas y, en ocasiones, da diferentes respuestas. La incorporación de correcciones de radiación fue difícil porque requirió encontrar coordenadas de ángulo de acción para un sistema combinado de radiación/átomo, lo cual es difícil cuando se permite que la radiación escape. Toda la teoría no se extendía a los movimientos no integrables, lo que significaba que muchos sistemas no podían tratarse ni siquiera en principio. Al final, el modelo fue reemplazado por el moderno tratamiento mecánico-cuántico del átomo de hidrógeno , que fue propuesto por primera vez por Wolfgang Pauli en 1925, utilizando la mecánica matricial de Heisenberg . La imagen actual del átomo de hidrógeno se basa en los orbitales atómicos de la mecánica ondulatoria , que Erwin Schrödinger desarrolló en 1926.

Sin embargo, esto no quiere decir que el modelo de Bohr-Sommerfeld estuviera exento de éxitos. Los cálculos basados ​​en el modelo de Bohr-Sommerfeld pudieron explicar con precisión una serie de efectos espectrales atómicos más complejos. Por ejemplo, hasta las perturbaciones de primer orden , el modelo de Bohr y la mecánica cuántica hacen las mismas predicciones para la división de la línea espectral en el efecto Stark . Sin embargo, en perturbaciones de orden superior, el modelo de Bohr y la mecánica cuántica difieren, y las mediciones del efecto Stark bajo altas intensidades de campo ayudaron a confirmar la exactitud de la mecánica cuántica respecto del modelo de Bohr. La teoría predominante detrás de esta diferencia radica en las formas de los orbitales de los electrones, que varían según el estado energético del electrón.

Las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld plantean interrogantes en las matemáticas modernas. La condición de cuantificación semiclásica consistente requiere un cierto tipo de estructura en el espacio de fase, lo que impone limitaciones topológicas a los tipos de variedades simplécticas que pueden cuantificarse. En particular, la forma simpléctica debe ser la forma de curvatura de una conexión de un haz de líneas hermitianas , lo que se denomina precuantización .

Bohr también actualizó su modelo en 1922, suponiendo que cierto número de electrones (por ejemplo, 2, 8 y 18) corresponden a " capas cerradas " estables. ^[44]

Modelo del enlace químico.

Niels Bohr propuso un modelo del átomo y un modelo del enlace químico . Según su modelo de molécula diatómica , los electrones de los átomos de la molécula forman un anillo giratorio cuyo plano es perpendicular al eje de la molécula y equidistante de los núcleos atómicos. El equilibrio dinámico del sistema molecular se logra mediante el equilibrio de fuerzas entre las fuerzas de atracción de los núcleos hacia el plano del anillo de electrones y las fuerzas de repulsión mutua de los núcleos. El modelo de enlace químico de Bohr tuvo en cuenta la repulsión de Coulomb : los electrones del anillo se encuentran a la máxima distancia entre sí. ^{[45] [46]}

Ver también

• 1913 en ciencia
• Constante de Balmer
• Modelo de Bohr-Sommerfeld
• El experimento de Franck-Hertz proporcionó un apoyo temprano al modelo de Bohr.
• El efecto del par inerte se explica adecuadamente mediante el modelo de Bohr.
• Introducción a la mecánica cuántica.
• Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger.

Referencias

Notas a pie de página

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enlaces externos

• Ondas estacionarias en el modelo atómico de Bohr: una simulación interactiva para explicar intuitivamente la condición de cuantificación de las ondas estacionarias en el modo atómico de Bohr.