Cuantización geométrica

Receta para construir un análogo cuántico de una teoría física clásica

En física matemática , la cuantificación geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica determinada . Intenta llevar a cabo la cuantificación , para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que queden manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, debería incorporarse la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la visión de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.

Orígenes

Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl , propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable mecánico cuántico (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert ) con una función de valor real. sobre el espacio de fases clásico . La posición y el impulso en este espacio de fase se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg , y el espacio de Hilbert aparece como una representación grupal del grupo de Heisenberg . En 1946, HJ Groenewold consideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fase clásico. ^[1] Esto lo llevó a descubrir el producto estelar del espacio fase de un par de funciones.

La teoría moderna de la cuantificación geométrica fue desarrollada por Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau en los años 1970. Una de las motivaciones de la teoría fue comprender y generalizar el método de la órbita de Kirillov en la teoría de la representación.

Tipos

El procedimiento de cuantificación geométrica se divide en los siguientes tres pasos: precuantización, polarización y corrección metapléctica. La precuantización produce un espacio de Hilbert natural junto con un procedimiento de cuantización para observables que transforma exactamente los corchetes de Poisson en el lado clásico en conmutadores en el lado cuántico. Sin embargo, generalmente se entiende que el espacio precuántico de Hilbert es "demasiado grande". ^[2] La idea es que uno debería entonces seleccionar un conjunto de conmutación de Poisson de n variables en el espacio de fase de 2 n dimensiones y considerar funciones (o, más propiamente, secciones) que dependen sólo de estas n variables. Las n variables pueden ser de valor real, lo que da como resultado un espacio de Hilbert de estilo de posición, o analítica compleja, produciendo algo como el espacio de Segal-Bargmann . ^[a] Una polarización es una descripción independiente de las coordenadas de tal elección de n funciones de conmutación de Poisson. La corrección metapléctica (también conocida como corrección de media forma) es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales y, a menudo, conveniente para polarizaciones complejas.

Precuantización

Supongamos que es una variedad simpléctica con forma simpléctica . Supongamos al principio que eso es exacto, lo que significa que hay un potencial simpléctico definido globalmente con . Podemos considerar el "espacio de Hilbert precuántico" de funciones integrables al cuadrado (con respecto a la medida de volumen de Liouville). Para cada función suave en , podemos definir el operador precuántico de Kostant-Souriau ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta =\omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1}{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f}$.

¿ Dónde está el campo vectorial hamiltoniano asociado a ? ${\displaystyle X_{f}}$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, supongamos que tiene la propiedad de que la integral de sobre cualquier superficie cerrada es un número entero. Entonces podemos construir un paquete de líneas con conexión cuya curvatura en forma 2 es . En ese caso, el espacio de Hilbert precuántico es el espacio de secciones integrables al cuadrado de , y reemplazamos la fórmula anterior con ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega /(2\pi \hbar )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega /\hbar }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q(f)}$

${\displaystyle Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f}$,

con la conexión. Los operadores precuánticos satisfacen ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})}$

para todas las funciones fluidas y . ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

La construcción del espacio de Hilbert anterior y de los operadores se conoce como precuantización . ${\displaystyle Q(f)}$

Polarización

El siguiente paso en el proceso de cuantificación geométrica es la elección de una polarización. Una polarización es una elección en cada punto de un subespacio lagrangiano del espacio tangente complejado de . Los subespacios deberían formar una distribución integrable, lo que significa que el conmutador de dos campos vectoriales que se encuentran en el subespacio en cada punto también debería estar en el subespacio en cada punto. El espacio de Hilbert cuántico (a diferencia del precuántico) es el espacio de secciones que son covariantemente constantes en la dirección de la polarización. ^{[4] [b]} La idea es que en el espacio cuántico de Hilbert, las secciones deben ser funciones de variables únicamente en el espacio de fases clásico de dimensiones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

Si es una función para la cual el flujo hamiltoniano asociado preserva la polarización, entonces preservará el espacio cuántico de Hilbert. ^[5] La suposición de que el flujo de preservar la polarización es fuerte. Normalmente no hay muchas funciones que satisfagan este supuesto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q(f)}$ ${\displaystyle f}$

Corrección de media forma

La corrección de semiforma, también conocida como corrección metapléctica, es una modificación técnica del procedimiento anterior que es necesaria en el caso de polarizaciones reales para obtener un espacio de Hilbert cuántico distinto de cero; También suele ser útil en casos complejos. El paquete de líneas se reemplaza por el producto tensor de con la raíz cuadrada del paquete canónico de . En el caso de la polarización vertical, por ejemplo, en lugar de considerar funciones de que son independientes de , se consideran objetos de la forma . A continuación , la fórmula debe complementarse con un término adicional de derivada de Lie. ^[6] En el caso de una polarización compleja en el plano, por ejemplo, la corrección de media forma permite que la cuantificación del oscilador armónico reproduzca la fórmula mecánica cuántica estándar para las energías, con la " " cortesía de la media -formas. ^[7] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x){\sqrt {dx}}}$ ${\displaystyle Q(f)}$ ${\displaystyle (n+1/2)\hbar \omega }$ ${\displaystyle +1/2}$

Colectores de Poisson

También se desarrolla la cuantificación geométrica de variedades de Poisson y foliaciones simplécticas. Por ejemplo, este es el caso de los sistemas hamiltonianos parcialmente integrables y superintegrables y de la mecánica no autónoma .

Ejemplo

En el caso de que la variedad simpléctica sea la de 2 esferas , se puede realizar como una órbita coadjunta en . Suponiendo que el área de la esfera es un múltiplo entero de , podemos realizar una cuantificación geométrica y el espacio de Hilbert resultante lleva una representación irreducible de SU(2) . En el caso de que el área de la esfera sea , obtenemos la representación bidimensional de espín-½ . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)^{*}}$ ${\displaystyle 2\pi \hbar }$ ${\displaystyle 2\pi \hbar }$

Generalización

De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación por deformación , donde el producto ★ se considera una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson . Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un functor), el mapa de Weyl no es satisfactorio. Por ejemplo, el mapa de Weyl del clásico momento angular al cuadrado no es solo el operador cuántico del momento angular al cuadrado, sino que además contiene un término constante 3ħ ^2/2 . (Este término adicional es en realidad físicamente significativo, ya que explica el momento angular que no desaparece de la órbita de Bohr en el estado fundamental en el átomo de hidrógeno. ^[8] ) Sin embargo, como un mero cambio de representación, el mapa de Weyl subyace a la formulación alternativa del espacio de fases. de la mecánica cuántica convencional.

Ver también

• media forma
• Foliación lagrangiana
• Método de la órbita de Kirillov
• La cuantificación conmuta con la reducción.

Notas

1. Consulte Hall 2013, Sección 22.4 para ver ejemplos sencillos.
2. Consulte la Sección 22.4 del Hall 2013 para ver ejemplos del caso euclidiano.

Citas

1. Groenewold 1946, págs. 405–460.
2. Salón 2013, Sección 22.3.
3. Salón 2013, Teorema 23.14.
4. Salón 2013, Sección 23.4.
5. Salón 2013, Teorema 23.24.
6. Salón 2013, Secciones 23.6 y 23.7.
7. Salón 2013, Ejemplo 23.53.
8. Dahl y Schleich 2002.

Fuentes

• Bates, S; Weinstein, A. (1996). Conferencias sobre la geometría de la cuantificación . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-082180798-9.
• Dahl, J.; Schleich, W. (2002). "Conceptos de energías cinéticas radial y angular". Revisión física A. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Código Bib : 2002PhRvA..65b2109D. doi : 10.1103/PhysRevA.65.022109. S2CID  39409789.
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2005). Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica . Científico mundial. ISBN 981-256-129-3.
• Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
• Hall, antes de Cristo (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 267. Saltador. ISBN 978-146147115-8.
• Kong, K. (2006). De los sistemas cuánticos micro a macro (un formalismo unificado con reglas de superselección y sus aplicaciones) . Científico mundial. ISBN 978-1-86094-625-7.
• Śniatycki, J. (1980). Cuantización Geométrica y Mecánica Cuántica . Saltador. ISBN 0-387-90469-7.
• Vaisman, I. (1991). Conferencias sobre la geometría de las variedades de Poisson . Birkhauser. ISBN 978-3-7643-5016-1.
• Woodhouse, Nueva Jersey (1991). Cuantización Geométrica . Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-853673-9.

enlaces externos

• La revisión de William Ritter sobre la cuantificación geométrica presenta un marco general para todos los problemas de física y ajusta la cuantificación geométrica a este marco arXiv :math-ph/0208008
• La reseña de John Baez sobre Cuantización geométrica, de John Baez, es breve y pedagógica.
• Manual básico de Matthias Blau sobre cuantificación geométrica, uno de los pocos buenos manuales (solo formato ps)
• A. Echeverría-Enríquez, M. Muñoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Fundamentos matemáticos de la cuantificación geométrica, arXiv :math-ph/9904008.
• G. Sardanashvily , Cuantización geométrica de foliaciones simplécticas, arXiv :math/0110196.