La teoría del orden es una rama de las matemáticas que investiga la noción intuitiva de orden mediante relaciones binarias . Proporciona un marco formal para describir afirmaciones como "esto es menor que eso" o "esto precede a eso". Este artículo presenta el campo y proporciona definiciones básicas. Se puede encontrar una lista de términos de teoría del orden en el glosario de teoría del orden .
Los órdenes están por todas partes en las matemáticas y en campos relacionados, como la informática . El primer orden que se suele discutir en la escuela primaria es el orden estándar de los números naturales , por ejemplo, "2 es menor que 3", "10 es mayor que 5" o "¿Tiene Tom menos galletas que Sally?". Este concepto intuitivo se puede extender a los órdenes de otros conjuntos de números , como los enteros y los reales . La idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas numéricos (compárese con los sistemas de numeración ) en general (aunque uno generalmente también está interesado en la diferencia real de dos números, que no está dada por el orden). Otros ejemplos familiares de ordenamientos son el orden alfabético de las palabras en un diccionario y la propiedad genealógica de la descendencia lineal dentro de un grupo de personas.
La noción de orden es muy general y se extiende más allá de los contextos que tienen una sensación inmediata e intuitiva de secuencia o cantidad relativa. En otros contextos, los órdenes pueden captar nociones de contención o especialización. De manera abstracta, este tipo de orden equivale a la relación de subconjunto , por ejemplo, " Los pediatras son médicos " y " Los círculos son simplemente elipses de casos especiales ".
Algunos órdenes, como el "menor que" en los números naturales y el orden alfabético en las palabras, tienen una propiedad especial: cada elemento puede compararse con cualquier otro elemento, es decir, es más pequeño (anterior) que, más grande (posterior) que o idéntico a. Sin embargo, muchos otros órdenes no lo hacen. Consideremos, por ejemplo, el orden de subconjunto en una colección de conjuntos : aunque el conjunto de pájaros y el conjunto de perros son ambos subconjuntos del conjunto de animales, ni los pájaros ni los perros constituyen un subconjunto del otro. Aquellos órdenes como la relación "subconjunto de" para la que existen elementos incomparables se denominan órdenes parciales ; los órdenes para los que cada par de elementos es comparable son órdenes totales .
La teoría del orden capta la intuición de los órdenes que surgen de tales ejemplos en un contexto general. Esto se logra especificando las propiedades que debe tener una relación ≤ para ser un orden matemático. Este enfoque más abstracto tiene mucho sentido, porque se pueden derivar numerosos teoremas en el contexto general, sin centrarse en los detalles de ningún orden en particular. Estos conocimientos se pueden transferir fácilmente a muchas aplicaciones menos abstractas.
Impulsada por el amplio uso práctico de los órdenes, se han definido numerosos tipos especiales de conjuntos ordenados, algunos de los cuales han crecido hasta convertirse en campos matemáticos propios. Además, la teoría del orden no se limita a las diversas clases de relaciones de ordenación, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad teórica del orden para funciones proviene del análisis en el que se encuentran con frecuencia funciones monótonas .
Esta sección presenta conjuntos ordenados basándose en los conceptos de teoría de conjuntos , aritmética y relaciones binarias .
Los órdenes son relaciones binarias especiales. Supóngase que P es un conjunto y que ≤ es una relación sobre P ( se entiende por 'relación sobre un conjunto' la 'relación entre sus habitantes', es decir, ≤ es un subconjunto del producto cartesiano P x P ). Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexivo , antisimétrico y transitivo , es decir, si para todos a , b y c en P , tenemos que:
Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado , conjunto parcial o simplemente conjunto ordenado si el significado que se pretende dar a este conjunto es claro. Al comprobar estas propiedades, se ve inmediatamente que los órdenes bien conocidos de los números naturales , enteros , racionales y reales son todos órdenes en el sentido anterior. Sin embargo, estos ejemplos tienen la propiedad adicional de que dos elementos cualesquiera son comparables, es decir, para todos los a y b en P , tenemos que:
Un orden parcial con esta propiedad se denomina orden total . Estos órdenes también se pueden llamar órdenes lineales o cadenas . Si bien muchos órdenes familiares son lineales, el orden de subconjuntos en conjuntos proporciona un ejemplo en el que este no es el caso. Otro ejemplo lo da la relación de divisibilidad (o "es-un- factor -de") |. Para dos números naturales n y m , escribimos n | m si n divide a m sin resto. Se ve fácilmente que esto produce un orden parcial. Por ejemplo, ni 3 divide a 13 ni 13 divide a 3, por lo que 3 y 13 no son elementos comparables de la relación de divisibilidad en el conjunto de los números enteros. La relación de identidad = en cualquier conjunto también es un orden parcial en el que cada dos elementos distintos son incomparables. También es la única relación que es a la vez un orden parcial y una relación de equivalencia porque satisface tanto la propiedad de antisimetría de los órdenes parciales como la propiedad de simetría de las relaciones de equivalencia. Muchas propiedades avanzadas de los conjuntos parciales son interesantes principalmente para los órdenes no lineales.
Los diagramas de Hasse pueden representar visualmente los elementos y las relaciones de un ordenamiento parcial. Se trata de dibujos de gráficos en los que los vértices son los elementos del conjunto parcial y la relación de ordenamiento se indica tanto por las aristas como por la posición relativa de los vértices. Los órdenes se dibujan de abajo a arriba: si un elemento x es menor que (precede) y, entonces existe un camino de x a y que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que las aristas que conectan elementos se crucen entre sí, pero los elementos nunca deben estar ubicados dentro de una arista. Un ejercicio instructivo es dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de números naturales que son menores o iguales a 13, ordenados por | (la relación divisoria ).
Incluso algunos conjuntos infinitos pueden representarse mediante la superposición de una elipsis (...) sobre un suborden finito. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no hay un sucesor inmediato por encima de 0; sin embargo, con bastante frecuencia se puede obtener una intuición relacionada con diagramas de un tipo similar [ vago ] .
En un conjunto parcialmente ordenado puede haber algunos elementos que desempeñen un papel especial. El ejemplo más básico lo da el elemento mínimo de un conjunto parcial . Por ejemplo, 1 es el elemento mínimo de los enteros positivos y el conjunto vacío es el conjunto mínimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, un elemento m es un elemento mínimo si:
La notación 0 se encuentra frecuentemente para el elemento más pequeño, incluso cuando no hay números involucrados. Sin embargo, en órdenes sobre conjuntos de números, esta notación puede ser inapropiada o ambigua, ya que el número 0 no siempre es el más pequeño. Un ejemplo lo da el orden de divisibilidad | anterior, donde 1 es el elemento más pequeño ya que divide a todos los demás números. En contraste, 0 es el número que se divide por todos los demás números. Por lo tanto, es el elemento más grande del orden. Otros términos frecuentes para los elementos más pequeño y más grande son bottom y top o zero y unit .
Los elementos mínimo y máximo pueden no existir, como lo demuestra el ejemplo de los números reales. Pero si existen, siempre son únicos. Por el contrario, considere la relación de divisibilidad | en el conjunto {2,3,4,5,6}. Aunque este conjunto no tiene ni arriba ni abajo, los elementos 2, 3 y 5 no tienen elementos debajo de ellos, mientras que 4, 5 y 6 no tienen ninguno encima. Tales elementos se denominan mínimos y máximos , respectivamente. Formalmente, un elemento m es mínimo si:
Intercambiando ≤ por ≥ obtenemos la definición de maximalidad . Como muestra el ejemplo, puede haber muchos elementos maximales y algunos elementos pueden ser tanto maximales como minimales (p. ej., el ejemplo 5 anterior). Sin embargo, si hay un elemento mínimo, entonces es el único elemento minimal del orden. Nuevamente, en los conjuntos de objetos finitos no siempre existen elementos maximales: el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto infinito dado, ordenados por inclusión de subconjuntos, proporciona uno de los muchos contraejemplos. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el Lema de Zorn .
Los subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2,3,4,5,6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducida. Ahora también hay elementos de un conjunto parcial que son especiales con respecto a algún subconjunto del orden. Esto conduce a la definición de límites superiores . Dado un subconjunto S de algún conjunto parcial P , un límite superior de S es un elemento b de P que está por encima de todos los elementos de S. Formalmente, esto significa que
Los límites inferiores se definen nuevamente invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es un límite inferior de los números naturales como un subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos, un límite superior para estos conjuntos bajo el orden de subconjuntos viene dado por su unión . De hecho, este límite superior es bastante especial: es el conjunto más pequeño que contiene todos los conjuntos. Por lo tanto, hemos encontrado el límite superior mínimo de un conjunto de conjuntos. Este concepto también se llama supremo o unión , y para un conjunto S se escribe sup( S ) o para su límite superior mínimo. Por el contrario, el límite inferior máximo se conoce como ínfimo o encuentro y se denota inf( S ) o . Estos conceptos juegan un papel importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden. Para dos elementos x e y , también se escribe y para sup({ x , y }) e inf({ x , y }), respectivamente.
Por ejemplo, 1 es el ínfimo de los números enteros positivos como subconjunto de los números enteros.
Para dar otro ejemplo, consideremos nuevamente la relación | sobre números naturales. El límite superior mínimo de dos números es el número más pequeño que se divide por ambos, es decir, el mínimo común múltiplo de los números. Los límites inferiores máximos, a su vez, están dados por el máximo común divisor .
En las definiciones anteriores, a menudo hemos observado que un concepto puede definirse simplemente invirtiendo el orden de una definición anterior. Este es el caso de "mínimo" y "máximo", de "mínimo" y "máximo", de "límite superior" y "límite inferior", etc. Esta es una situación general en la teoría del orden: un orden dado puede invertirse simplemente intercambiando su dirección, volteando gráficamente el diagrama de Hasse de arriba hacia abajo. Esto produce el llamado orden dual , inverso u opuesto .
Toda definición teórica de orden tiene su dual: es la noción que se obtiene al aplicar la definición al orden inverso. Como todos los conceptos son simétricos, esta operación preserva los teoremas de órdenes parciales. Para un resultado matemático dado, uno puede simplemente invertir el orden y reemplazar todas las definiciones por sus duales y se obtiene otro teorema válido. Esto es importante y útil, ya que se obtienen dos teoremas por el precio de uno. Se pueden encontrar más detalles y ejemplos en el artículo sobre dualidad en teoría de órdenes .
Existen muchas maneras de construir órdenes a partir de órdenes dados. El orden dual es un ejemplo. Otra construcción importante es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, tomados junto con el orden del producto en pares de elementos. El orden se define por ( a , x ) ≤ ( b , y ) si (y solo si) a ≤ b y x ≤ y . (Observe cuidadosamente que hay tres significados distintos para el símbolo de relación ≤ en esta definición). La unión disjunta de dos conjuntos parciales es otro ejemplo típico de construcción de órdenes, donde el orden es simplemente la unión (disjunta) de los órdenes originales.
Todo orden parcial ≤ da lugar a un llamado orden estricto <, definiendo a < b si a ≤ b y no b ≤ a . Esta transformación se puede invertir estableciendo a ≤ b si a < b o a = b . Los dos conceptos son equivalentes, aunque en algunas circunstancias puede resultar más cómodo trabajar con uno que con el otro.
Es razonable considerar que las funciones entre conjuntos parcialmente ordenados tienen ciertas propiedades adicionales que están relacionadas con las relaciones de ordenamiento de los dos conjuntos. La condición más fundamental que ocurre en este contexto es la monotonía . Una función f de un conjunto posesivo P a un conjunto posesivo Q es monótona , o preservadora del orden , si a ≤ b en P implica f ( a ) ≤ f ( b ) en Q (observando que, estrictamente, las dos relaciones aquí son diferentes ya que se aplican a conjuntos diferentes). El inverso de esta implicación conduce a funciones que reflejan el orden , es decir, funciones f como las anteriores para las que f ( a ) ≤ f ( b ) implica a ≤ b . Por otro lado, una función también puede invertir el orden o ser antítona , si a ≤ b implica f ( a ) ≥ f ( b ).
Una incrustación de orden es una función f entre órdenes que preserva y refleja el orden. Se encuentran fácilmente ejemplos de estas definiciones. Por ejemplo, la función que asigna un número natural a su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de un orden discreto, es decir, de un conjunto ordenado por el orden identidad "=", también es monótona. Asignar cada número natural al número real correspondiente da un ejemplo de incrustación de orden. El complemento de conjunto en un conjunto potencia es un ejemplo de una función antitona.
Una pregunta importante es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir, cuándo son iguales hasta el cambio de nombre de los elementos. Los isomorfismos de orden son funciones que definen dicho cambio de nombre. Un isomorfismo de orden es una función biyectiva monótona que tiene una inversa monótona. Esto es equivalente a ser una incrustación de orden sobreyectiva . Por lo tanto, la imagen f ( P ) de una incrustación de orden es siempre isomorfa a P , lo que justifica el término "incrustación".
Un tipo más elaborado de funciones son las llamadas conexiones de Galois . Las conexiones de Galois monótonas pueden considerarse como una generalización de los isomorfismos de orden, ya que están formadas por un par de dos funciones en direcciones inversas, que no son "del todo" inversas entre sí, pero que aún tienen relaciones estrechas.
Otro tipo especial de autoaplicaciones en un conjunto parcial son los operadores de cierre , que no sólo son monótonos, sino también idempotentes , es decir, f ( x ) = f ( f ( x )), y extensivos (o inflacionarios ), es decir, x ≤ f ( x ). Estos tienen muchas aplicaciones en todo tipo de "cierres" que aparecen en matemáticas.
Además de ser compatibles con las meras relaciones de orden, las funciones entre conjuntos parciales también pueden comportarse bien con respecto a elementos y construcciones especiales. Por ejemplo, cuando se habla de conjuntos parciales con el menor elemento, puede parecer razonable considerar solo funciones monótonas que preserven este elemento, es decir, que asignen el menor elemento al menor elemento. Si existe un ínfimo binario ∧ , entonces una propiedad razonable podría ser requerir que f ( x ∧ y ) = f ( x ) ∧ f ( y ), para todo x e y . Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden compilarse bajo la etiqueta de funciones que preservan el límite .
Finalmente, se puede invertir la visión, pasando de funciones de órdenes a órdenes de funciones . De hecho, las funciones entre dos conjuntos parciales P y Q se pueden ordenar a través del orden puntual . Para dos funciones f y g , tenemos f ≤ g si f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los elementos x de P. Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de dominios , donde los espacios de funciones juegan un papel importante.
Muchas de las estructuras que se estudian en la teoría del orden emplean relaciones de orden con propiedades adicionales. De hecho, incluso algunas relaciones que no son órdenes parciales son de especial interés. Principalmente, debe mencionarse el concepto de preorden . Un preorden es una relación que es reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una relación de equivalencia entre elementos, donde a es equivalente a b , si a ≤ b y b ≤ a . Los preórdenes se pueden convertir en órdenes identificando todos los elementos que son equivalentes con respecto a esta relación.
Se pueden definir varios tipos de órdenes a partir de datos numéricos sobre los elementos del orden: un orden total resulta de asociar números reales distintos a cada elemento y usar las comparaciones numéricas para ordenar los elementos; en cambio, si se permite que elementos distintos tengan puntuaciones numéricas iguales, se obtiene un ordenamiento débil estricto . Exigir que dos puntuaciones estén separadas por un umbral fijo antes de que puedan compararse conduce al concepto de semiorden , mientras que permitir que el umbral varíe en función de cada elemento produce un orden de intervalo .
Una propiedad adicional, simple pero útil, conduce a los denominados bien fundados , para los cuales todos los subconjuntos no vacíos tienen un elemento mínimo. Generalizando los bien ordenados desde órdenes lineales a órdenes parciales, un conjunto está bien parcialmente ordenado si todos sus subconjuntos no vacíos tienen un número finito de elementos mínimos.
Muchos otros tipos de órdenes surgen cuando se garantiza la existencia de ínfima y suprema de ciertos conjuntos. Centrándonos en este aspecto, habitualmente denominado completitud de órdenes, se obtiene:
Sin embargo, se puede ir aún más lejos: si existen todos los ínfimos finitos no vacíos, entonces ∧ puede considerarse como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal . Por lo tanto, en un retículo, están disponibles dos operaciones ∧ y ∨, y se pueden definir nuevas propiedades dando identidades, como
Esta condición se denomina distributividad y da lugar a redes distributivas . Existen otras leyes de distributividad importantes que se analizan en el artículo sobre distributividad en la teoría del orden . Algunas estructuras de orden adicionales que a menudo se especifican mediante operaciones algebraicas e identidades definitorias son
Ambas estructuras introducen una nueva operación llamada negación . Ambas estructuras desempeñan un papel en la lógica matemática y, especialmente, las álgebras de Boole tienen importantes aplicaciones en la informática . Finalmente, varias estructuras en matemáticas combinan órdenes con operaciones aún más algebraicas, como en el caso de los quantales , que permiten la definición de una operación de adición.
Existen muchas otras propiedades importantes de los conjuntos parciales. Por ejemplo, un conjunto parcial es localmente finito si cada intervalo cerrado [ a , b ] en él es finito . Los conjuntos parciales localmente finitos dan lugar a álgebras de incidencia que, a su vez, pueden utilizarse para definir la característica de Euler de los conjuntos parciales acotados finitos.
En un conjunto ordenado, se pueden definir muchos tipos de subconjuntos especiales en función del orden dado. Un ejemplo sencillo son los conjuntos superiores , es decir, los conjuntos que contienen todos los elementos que están por encima de ellos en el orden. Formalmente, el cierre superior de un conjunto S en un conjunto poset P viene dado por el conjunto { x en P | hay algún y en S con y ≤ x }. Un conjunto que es igual a su cierre superior se denomina conjunto superior. Los conjuntos inferiores se definen dualmente.
Los subconjuntos inferiores más complicados son los ideales , que tienen la propiedad adicional de que cada dos de sus elementos tienen un límite superior dentro del ideal. Sus duales están dados por los filtros . Un concepto relacionado es el de un subconjunto dirigido , que al igual que un ideal contiene límites superiores de subconjuntos finitos, pero no tiene por qué ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos preordenados.
Un subconjunto que está ordenado linealmente, como subconjunto compuesto, se denomina cadena . El concepto opuesto, la anticadena , es un subconjunto que no contiene dos elementos comparables, es decir, que tiene un orden discreto.
Aunque la mayoría de las áreas matemáticas utilizan los órdenes de una u otra manera, también hay algunas teorías que tienen relaciones que van mucho más allá de la mera aplicación. Junto con sus principales puntos de contacto con la teoría del orden, se presentarán a continuación algunas de ellas.
Como ya se ha mencionado, los métodos y formalismos del álgebra universal son una herramienta importante para muchas consideraciones teóricas del orden. Además de formalizar los órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, también se pueden establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo lo da la correspondencia entre las álgebras de Boole y los anillos de Boole . Otras cuestiones se refieren a la existencia de construcciones libres , como los retículos libres basados en un conjunto dado de generadores. Además, los operadores de clausura son importantes en el estudio del álgebra universal.
En topología , los órdenes juegan un papel muy destacado. De hecho, la colección de conjuntos abiertos proporciona un ejemplo clásico de un retículo completo, más precisamente, un álgebra de Heyting completa (o " marco " o " locale "). Los filtros y las redes son nociones estrechamente relacionadas con la teoría del orden y el operador de cierre de conjuntos se puede utilizar para definir una topología. Más allá de estas relaciones, la topología se puede considerar únicamente en términos de los retículos de conjuntos abiertos, lo que conduce al estudio de la topología sin sentido . Además, un preorden natural de los elementos del conjunto subyacente de una topología viene dado por el llamado orden de especialización , que es en realidad un orden parcial si la topología es T 0 .
Por el contrario, en la teoría del orden, a menudo se hace uso de resultados topológicos. Hay varias formas de definir subconjuntos de un orden que pueden considerarse como conjuntos abiertos de una topología. Considerando topologías en un conjunto parcial ( X , ≤) que a su vez inducen ≤ como su orden de especialización, la topología más fina de este tipo es la topología de Alexandrov , dada al tomar todos los conjuntos superiores como abiertos. Por el contrario, la topología más burda que induce el orden de especialización es la topología superior , que tiene los complementos de ideales principales (es decir, conjuntos de la forma { y en X | y ≤ x } para algún x ) como subbase . Además, una topología con orden de especialización ≤ puede ser consistente con el orden , lo que significa que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por suprema dirigida" (con respecto a ≤ ). La topología consistente con el orden más fino es la topología de Scott , que es más burda que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en este espíritu es la topología de Lawson . Existen estrechas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría del orden. Por ejemplo, una función conserva la supremacía dirigida si y solo si es continua con respecto a la topología de Scott (por esta razón, esta propiedad de la teoría del orden también se denomina continuidad de Scott ).
La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización sencilla: en lugar de mostrar los elementos menores debajo de los mayores, la dirección del orden también se puede representar dando direcciones a los bordes de un grafo. De esta manera, cada orden se ve como equivalente a un grafo acíclico dirigido , donde los nodos son los elementos del conjunto parcial y hay un camino dirigido de a a b si y solo si a ≤ b . Si se descarta el requisito de ser acíclico, también se pueden obtener todos los preórdenes.
Cuando están equipados con todos los bordes transitivos, estos grafos a su vez son simplemente categorías especiales , donde los elementos son objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es como máximo singleton. Las funciones entre órdenes se convierten en funtores entre categorías. Muchas ideas de la teoría del orden son simplemente conceptos de la teoría de categorías en pequeño. Por ejemplo, un ínfimo es simplemente un producto categórico . De manera más general, uno puede capturar ínfima y suprema bajo la noción abstracta de un límite categórico (o colimite , respectivamente). Otro lugar donde aparecen las ideas categóricas es el concepto de una conexión de Galois (monótona) , que es lo mismo que un par de funtores adjuntos .
Pero la teoría de categorías también tiene su impacto en la teoría del orden a una escala mayor. Las clases de conjuntos parciales con funciones apropiadas, como las discutidas anteriormente, forman categorías interesantes. A menudo, también se pueden enunciar construcciones de órdenes, como el orden del producto , en términos de categorías. Se obtienen más conocimientos cuando se encuentra que las categorías de órdenes son categóricamente equivalentes a otras categorías, por ejemplo, de espacios topológicos. Esta línea de investigación conduce a varios teoremas de representación , a menudo reunidos bajo la etiqueta de dualidad de Stone .
Como se explicó anteriormente, los órdenes son omnipresentes en matemáticas. Sin embargo, las primeras menciones explícitas de órdenes parciales probablemente no se encuentren antes del siglo XIX. En este contexto, los trabajos de George Boole son de gran importancia. Además, los trabajos de Charles Sanders Peirce , Richard Dedekind y Ernst Schröder también consideran conceptos de teoría del orden.
Los contribuyentes a la geometría ordenada fueron enumerados en un libro de texto de 1961 :
Fue Pasch , en 1882, el primero en señalar que se podía desarrollar una geometría del orden sin referencia a la medición. Su sistema de axiomas fue mejorado gradualmente por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904).
— HSM Coxeter , Introducción a la geometría
En 1901, Bertrand Russell escribió "Sobre la noción de orden" [2], donde exploraba los fundamentos de la idea a través de la generación de series . Volvió a tratar el tema en la parte IV de Principios de las matemáticas (1903). Russell señaló que la relación binaria aRb tiene un sentido que va de a a b, mientras que la relación inversa tiene un sentido opuesto, y el sentido "es la fuente del orden y de las series" (p. 95). Reconoce que Immanuel Kant [3] era "consciente de la diferencia entre la oposición lógica y la oposición de positivo y negativo". Escribió que Kant merece crédito porque "fue el primero en llamar la atención sobre la importancia lógica de las relaciones asimétricas".
El término poset como abreviatura de conjunto parcialmente ordenado se atribuye a Garrett Birkhoff en la segunda edición de su influyente libro Lattice Theory . [4] [5]
