En el área matemática de la teoría del orden , existen diversas nociones del concepto común de distributividad , aplicado a la formación de suprema e ínfima . La mayoría de estos se aplican a conjuntos parcialmente ordenados que son al menos redes , pero, de hecho, el concepto también puede generalizarse razonablemente a semiredes .
Probablemente el tipo de distributividad más común es el definido para redes , donde la formación de suprema e ínfima binarias proporciona las operaciones totales de unión ( ) y encuentro ( ). La distributividad de estas dos operaciones se expresa requiriendo que la identidad
se mantiene para todos los elementos x , y y z . Esta ley de distributividad define la clase de redes distributivas . Tenga en cuenta que este requisito se puede reformular diciendo que las reuniones binarias preservan las uniones binarias. Se sabe que la afirmación anterior es equivalente a su orden dual
de modo que una de estas propiedades sea suficiente para definir la distributividad de las redes. Ejemplos típicos de red distributiva son los conjuntos totalmente ordenados , las álgebras de Boole y las álgebras de Heyting . Toda red distributiva finita es isomorfa a una red de conjuntos, ordenados por inclusión ( teorema de representación de Birkhoff ).
Una semired es un conjunto parcialmente ordenado con solo una de las dos operaciones de la red, ya sea una semired de encuentro o de unión . Dado que sólo hay una operación binaria, la distributividad obviamente no se puede definir de la forma estándar. Sin embargo, debido a la interacción de la operación única con el orden dado, sigue siendo posible la siguiente definición de distributividad. Una semirretícula de encuentro es distributiva , si para todos a , b y x :
Las semirrejillas de unión distributivas se definen de forma dual : una semirrejilla de unión es distributiva , si para todos a , b y x :
En cualquier caso, a' y b' no tienen por qué ser únicos. Estas definiciones se justifican por el hecho de que dada cualquier red L , las siguientes afirmaciones son todas equivalentes:
Por tanto, cualquier semired distributiva en la que existan uniones binarias es una red distributiva. Una semired conjunta es distributiva si y sólo si la red de sus ideales (bajo inclusión) es distributiva. [1]
Esta definición de distributividad permite generalizar algunas afirmaciones sobre redes distributivas a semiredes distributivas.
Para una red completa , los subconjuntos arbitrarios tienen tanto ínfima como suprema y, por lo tanto, están disponibles operaciones infinitas de encuentro y unión. De este modo se pueden describir varias nociones ampliadas de distributividad. Por ejemplo, para la ley distributiva infinita , los encuentros finitos pueden distribuirse en uniones arbitrarias, es decir
puede ser válido para todos los elementos x y todos los subconjuntos S de la red. Las redes completas con esta propiedad se denominan marcos , locales o álgebras completas de Heyting . Surgen en relación con una topología inútil y la dualidad de Stone . Esta ley distributiva no es equivalente a su enunciado dual.
que define la clase de marcos duales o álgebras co-Heyting completas.
Ahora se puede ir aún más lejos y definir órdenes en las que las uniones arbitrarias se distribuyan entre encuentros arbitrarios. Estas estructuras se denominan redes completamente distributivas . Sin embargo, expresar esto requiere formulaciones un poco más técnicas. Considere una familia doblemente indexada { x j , k | j en J , k en K ( j )} de elementos de una red completa, y sea F el conjunto de funciones de elección f eligiendo para cada índice j de J algún índice f ( j ) en K ( j ). Una red completa es completamente distributiva si para todos esos datos se cumple la siguiente afirmación:
La distributividad completa es nuevamente una propiedad autodual, es decir, al dualizar la afirmación anterior se obtiene la misma clase de redes completas. Las redes completamente distributivas (también denominadas para abreviar redes completamente distributivas ) son estructuras muy especiales. Ver el artículo sobre celosías completamente distributivas .
En una red arbitraria, un elemento x se llama elemento distributivo si ∀ y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ). Un elemento x se llama elemento distributivo dual si ∀ y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).
En una red distributiva, cada elemento es, por supuesto, distributivo y distributivo dual. En una red no distributiva, puede haber elementos que sean distributivos, pero no distributivos duales (y viceversa). Por ejemplo, en la red del pentágono N 5 representada , el elemento x es distributivo, [2] pero no distributivo dual, ya que x ∧ ( y ∨ z ) = x ∧ 1 = x ≠ z = 0 ∨ z = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).
En una red arbitraria L , lo siguiente es equivalente:
En una red arbitraria, si x 1 y x 2 son elementos distributivos, entonces también lo es x 1 ∨ x 2 . [4]
La distributividad es un concepto básico que se trata en cualquier libro de texto sobre teoría de redes y orden. Consulte la literatura proporcionada para los artículos sobre teoría del orden y teoría de la red . La literatura más específica incluye:
