Red completamente distributiva

En el área matemática de la teoría del orden , una red completamente distributiva es una red completa en la que uniones arbitrarias se distribuyen sobre encuentros arbitrarios .

Formalmente, se dice que una red completa L es completamente distributiva si, para cualquier familia doblemente indexada { x _{j , k} | j en J , k en K _j } de L , tenemos

${\displaystyle \bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K_{j}}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

donde F es el conjunto de funciones de elección f que eligen para cada índice j de J algún índice f ( j ) en K _j . ^[1]

La distributividad completa es una propiedad autodual, es decir, al dualizar la afirmación anterior se obtiene la misma clase de redes completas. ^[1]

Caracterizaciones alternativas

Existen varias caracterizaciones diferentes. Por ejemplo, la siguiente es una ley equivalente que evita el uso de funciones de elección ^{[ cita necesaria ]} . Para cualquier conjunto S de conjuntos, definimos el conjunto S ^# como el conjunto de todos los subconjuntos X de la red completa que tienen intersección no vacía con todos los miembros de S. Entonces podemos definir la distributividad completa mediante la declaración

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigwedge \{\bigvee Y\mid Y\in S\}=\bigvee \{\bigwedge Z\mid Z\in S^{\#}\}\end{aligned}}}$

El operador ( ) ^# podría denominarse operador de corte transversal . Esta versión de distributividad completa sólo implica la noción original al admitir el Axioma de Elección .

Propiedades

Además, se sabe que las siguientes afirmaciones son equivalentes para cualquier red completa L : ^[2]

• L es completamente distributivo.
• L puede incrustarse en un producto directo de cadenas [0,1] mediante una incrustación de orden que preserva encuentros y uniones arbitrarias.
• Tanto L como su orden dual L ^op son posets continuos . ^{[ cita necesaria ]}

Los productos directos de [0,1], es decir, conjuntos de todas las funciones de algún conjunto X a [0,1] ordenados puntualmente , también se denominan cubos .

Redes completamente distributivas gratuitas.

Cada poset C puede completarse en una red completamente distributiva.

Una red completamente distributiva L se llama red completamente distributiva libre sobre un poset C si y sólo si hay un orden incrustado tal que para cada red completamente distributiva M y función monótona , hay un homomorfismo completo único que satisface . Para cada poset C , la red completamente distributiva libre sobre un poset C existe y es única hasta el isomorfismo. ^[3] ${\displaystyle \phi :C\rightarrow L}$ ${\displaystyle f:C\rightarrow M}$ ${\displaystyle f_{\phi }^{*}:L\rightarrow M}$ ${\displaystyle f=f_{\phi }^{*}\circ \phi }$

Este es un ejemplo del concepto de objeto libre . Dado que un conjunto X puede considerarse como un poset de orden discreto, el resultado anterior garantiza la existencia de la red completamente distributiva libre sobre el conjunto X.

Ejemplos

• El intervalo unitario [0,1], ordenado de forma natural, es una red completamente distributiva. ^[4]
  • De manera más general, cualquier cadena completa es una red completamente distributiva. ^[5]
• La red de conjuntos de potencias para cualquier conjunto X es una red completamente distributiva. ^[1] ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$
• Para cada poset C , existe una red completamente distributiva libre sobre C. ^[3] Consulte la sección anterior sobre redes completamente distributivas libres.

Ver también

• Glosario de teoría del orden
• Red distributiva

Referencias

1. BA Davey y HA Priestley, Introducción a las celosías y el orden , segunda edición, Cambridge University Press, 2002, ISBN  0-521-78451-4 , 10.23 Leyes distributivas infinitas, págs.
2. GN Raney, Una representación de unión subdirecta para celosías completas completamente distributivas , Actas de la American Mathematical Society, 4: 518 - 522, 1953.
3. Joseph M. Morris, Tipos aumentados con indeterminación angelical y demoníaca ilimitada , Matemáticas de la construcción de programas, LNCS 3125, 274-288, 2004
4. GN Raney, Redes completas completamente distributivas , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 3: 677 - 680, 1952.
5. Alan Hopenwasser, Distributividad completa , Actas de simposios en matemáticas puras, 51 (1), 285 - 305, 1990.