postura continua

En teoría del orden , un poset continuo es un conjunto parcialmente ordenado en el que cada elemento es el supremo dirigido de los elementos que se aproximan a él.

Definiciones

Sean dos elementos de un conjunto reservado . Entonces decimos que se aproxima , o que está muy por debajo , si se satisfacen las dos condiciones equivalentes siguientes. $a,b\en P$ $(P,\lesssim)$ $a$ $b$ $a$ $b$

Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que . $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\en D$ $a\lesssim d$
Para cualquier ideal tal que , . $I\subseteq P$ $b\lesssim \sup I$ $a\en I$

Si es aproximado , escribimos . La relación de aproximación es una relación transitiva que es más débil que el orden original, también antisimétrica si es un conjunto parcialmente ordenado , pero no necesariamente un preorden . Es un pedido anticipado si y sólo si satisface la condición de la cadena ascendente . ^[1]^{: p.52, Ejemplos I-1.3, (4)} $a$ $b$ $a\ll b$ ${\displaystyle\ll}$ $P$ $(P,\lesssim)$

Para cualquiera , deja $a\en P$

\matop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}

\matop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

Entonces hay un conjunto superior y un conjunto inferior . Si es una semired superior , es un conjunto dirigido (es decir, implica ) y, por tanto, un ideal . $\matop {\Uparrow } a$ $\mathop {\Downarrow } a$ $P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $b,c\ll a$ $b\vee c\ll a$

Un conjunto preordenado se llama conjunto preordenado continuo si, para cualquiera , el subconjunto está dirigido y . $(P,\lesssim )$ $a\in P$ $\mathop {\Downarrow } a$ $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$

Propiedades

La propiedad de interpolación

Para dos elementos cualesquiera de un conjunto continuo preordenado , si y sólo si para cualquier conjunto dirigido tal que , existe tal que . De esto se sigue la propiedad de interpolación del conjunto continuo preordenado : para cualquier tal que existe un tal que . $a,b\in P$ $(P,\lesssim )$ $a\ll b$ $D\subseteq P$ $b\lesssim \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $(P,\lesssim )$ $a,b\in P$ $a\ll b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$

DCPOS continuos

Para dos elementos cualesquiera de un dcpo continuo , las dos condiciones siguientes son equivalentes. ^[1]^{: p.61, Proposición I-1.19(i)} $a,b\in P$ $(P,\leq )$

$a\ll b$ y . $a\neq b$
Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe tal que y . $D\subseteq P$ $b\leq \sup D$ $d\in D$ $a\ll d$ $a\neq d$

Con esto se puede demostrar que la siguiente propiedad de interpolación más fuerte es cierta para dcpos continuos. Para cualquier tal que y , existe tal eso y . ^[1]^{: p.61, Proposición I-1.19(ii)} $a,b\in P$ $a\ll b$ $a\neq b$ $c\in P$ $a\ll c\ll b$ $a\neq c$

Para un dcpo , las siguientes condiciones son equivalentes. ^[1]^{: Teorema I-1.10} $(P,\leq )$

$P$ es continuo.
El mapa supremo del conjunto parcialmente ordenado de ideales de a tiene un adjunto izquierdo . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ $P$ $P$

En este caso, el adjunto izquierdo real es

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

Celosías completas continuas

Para dos elementos cualesquiera de una red completa , si y sólo si para cualquier subconjunto tal que , existe un subconjunto finito tal que . $a,b\in L$ $L$ $a\ll b$ $A\subseteq L$ $b\leq \sup A$ $F\subseteq A$ $a\leq \sup F$

Sea una celosía completa . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. $L$

$L$ es continuo.
El mapa supremo del entramado completo de ideales de conserva ínfima arbitraria . $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ $L$ $L$
Para cualquier familia de conjuntos dirigidos de , . ${\mathcal {D}}$ $L$ $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$
$L$ es isomorfo a la imagen de un mapa idempotente continuo de Scott sobre la potencia directa de arbitrariamente muchas redes de dos puntos . ^[2]^{: p.56, Teorema 44} $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ $\{0,1\}$

Una red continua completa a menudo se llama red continua .

Ejemplos

Celosías de conjuntos abiertos

Para un espacio topológico , las siguientes condiciones son equivalentes. $X$

El álgebra de Heyting completa de conjuntos abiertos es un álgebra de Heyting completa y continua . $\operatorname {Open} (X)$ $X$
La sobrificación de es un espacio localmente compacto (en el sentido de que cada punto tiene una base local compacta ) $X$
$X$ es un objeto exponencial en la categoría de espacios topológicos . ^[1]^{: p.196, Teorema II-4.12} Es decir, el functor tiene un adjunto derecho . $\operatorname {Top}$ $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$

Referencias

^ abcdeGierz , Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Desamor, Michael; Scott, Dana S. (2003). Redes continuas y dominios . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 93. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. SEÑOR 1975381. Zbl 1088.06001.
^ Grätzer, George (2011). Teoría de la red: fundamento . Basilea: Springer. doi :10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. SEÑOR 2768581. Zbl 1233.06001.

enlaces externos

"Enrejado continuo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Espacio central compacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Poset continuo en el n Lab
Categoría continua en el n Lab
Ley exponencial para espacios en el n Lab
Poset continuo en PlanetMath .