Álgebra completa de Heyting

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un álgebra de Heyting completa es un álgebra de Heyting completa como una red . Las álgebras completas de Heyting son objetos de tres categorías diferentes ; la categoría CHey , la categoría Loc de locales , y su opuesto , la categoría Frm de frames. Aunque estas tres categorías contienen los mismos objetos, difieren en sus morfismos y, por tanto, reciben nombres distintos. Sólo los morfismos de CHey son homomorfismos de álgebras de Heyting completas.

Las configuraciones regionales y los marcos forman la base de una topología sin sentido que, en lugar de basarse en una topología de conjuntos de puntos , reformula las ideas de la topología general en términos categóricos, como declaraciones sobre marcos y configuraciones regionales.

Definición

Considere un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) que es una red completa . Entonces P es un álgebra o marco de Heyting completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• P es un álgebra de Heyting, es decir, la operación tiene un adjunto derecho (también llamado adjunto inferior de una conexión de Galois (monótona) ), para cada elemento x de P . ${\displaystyle (x\land \cdot )}$

• Para todos los elementos x de P y todos los subconjuntos S de P , se cumple la siguiente ley de distributividad infinita:

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• P es una red distributiva, es decir, para todo x , y y z en P , tenemos

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

y las operaciones de encuentro son continuas de Scott ( es decir, preservan la supremacía de los conjuntos dirigidos ) para todo x en P. ${\displaystyle (x\land \cdot )}$

La definición implicada de la implicación de Heyting es ${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

Usando un poco más de teoría de categorías, podemos definir de manera equivalente un marco como un poset cerrado cartesiano cocompleto .

Ejemplos

El sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico determinado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.

Marcos y locales

Los objetos de la categoría CHey , la categoría Frm de frames y la categoría Loc de locales son álgebras completas de Heyting. Estas categorías difieren en lo que constituye un morfismo :

• Los morfismos de Frm son funciones (necesariamente monótonas ) que preservan encuentros finitos y uniones arbitrarias.

• La definición de las álgebras de Heyting implica de manera crucial la existencia de adjuntos derechos a la operación de encuentro binario, que juntos definen una operación de implicación adicional. Así, los morfismos de CHey son morfismos de marcos que además conservan implicación.

• Los morfismos de Loc son opuestos a los de Frm , y suelen denominarse mapas (de locales).

La relación de los lugares y sus mapas con los espacios topológicos y las funciones continuas se puede ver de la siguiente manera. Sea cualquier mapa. Los conjuntos de potencias P ( X ) y P ( Y ) son álgebras booleanas completas , y el mapa es un homomorfismo de álgebras booleanas completas. Supongamos que los espacios X e Y son espacios topológicos , dotados de la topología O ( X ) y O ( Y ) de conjuntos abiertos en X e Y. Tenga en cuenta que O ( X ) y O ( Y ) son subtramas de P ( X ) y P ( Y ). Si es una función continua, entonces conserva los encuentros finitos y las uniones arbitrarias de estas subtramas. Esto muestra que O es un functor de la categoría Top de espacios topológicos a Loc , tomando cualquier mapa continuo ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

al mapa

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

en Loc que se define en Frm como el homomorfismo inverso del marco de la imagen

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

Dado un mapa de localidades en Loc , es común escribir para el homomorfismo de marco que lo define en Frm . Usando esta notación, se define por la ecuación ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{*}:B\to A}$ ${\displaystyle O(f)}$ ${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

Por el contrario, cualquier localidad A tiene un espacio topológico S ( A ), llamado espectro , que se aproxima mejor a la localidad. Además, cualquier mapa de localidades determina un mapa continuo. Además, esta asignación es funcional: si P (1) denota la localidad que se obtiene como el conjunto potencia del conjunto terminal, los puntos de S ( A ) son los mapas en Loc , es decir , los homomorfismos del marco ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle S(A)\to S(B).}$ ${\displaystyle 1=\{*\},}$ ${\displaystyle p:P(1)\to A}$ ${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

Para cada uno definimos como el conjunto de puntos tales que es fácil verificar que esto define un homomorfismo de marco cuya imagen es, por tanto, una topología en S ( A ). Entonces, si es un mapa de locales, a cada punto le asignamos el punto definido por dejar ser la composición de con, obteniendo así un mapa continuo. Esto define un funtor de Loc a Top , que es adjunto derecho a O. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle p\in S(A)}$ ${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$ ${\displaystyle A\to P(S(A)),}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle p\in S(A)}$ ${\displaystyle S(f)(q)}$ ${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle f^{*},}$ ${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$ ${\displaystyle S}$

Cualquier lugar que sea isomorfo a la topología de su espectro se llama espacial , y cualquier espacio topológico que sea homeomorfo al espectro de su lugar de conjuntos abiertos se llama sobrio . La conjunción entre espacios topológicos y locales se restringe a una equivalencia de categorías entre espacios sobrios y locales espaciales.

Cualquier función que conserve todas las uniones (y, por tanto, cualquier homomorfismo de marco) tiene un adjunto derecho y, a la inversa, cualquier función que conserve todas las coincidencias tiene un adjunto izquierdo. Por lo tanto, la categoría Loc es isomorfa a la categoría cuyos objetos son los marcos y cuyos morfismos son las funciones que preservan las reuniones cuyos adjuntos izquierdos preservan las reuniones finitas. Esto a menudo se considera una representación de Loc , pero no debe confundirse con Loc en sí, cuyos morfismos son formalmente los mismos que los homomorfismos de marco en la dirección opuesta.

Literatura

• PT Johnstone , Stone Spaces , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ( ISBN  0-521-23893-5 )

Sigue siendo un gran recurso sobre configuraciones regionales y álgebras completas de Heyting.

• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove y DS Scott , Celosías y dominios continuos , en Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones , vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1 

Incluye la caracterización en términos de continuidad del encuentro.

• Francis Borceux: Manual de álgebra categórica III , volumen 52 de la Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994.

Recurso sorprendentemente extenso sobre configuraciones regionales y álgebras de Heyting. Adopta un punto de vista más categórico.

• Steven Vickers , Topología vía lógica , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36062-5 . 

• Pedicchio, María Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 97. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.

enlaces externos

• Ubicación en el n Lab