Teoría de Ginzburg-Landau

Teoría de la superconductividad

En física , la teoría de Ginzburg-Landau , a menudo llamada teoría de Landau-Ginzburg , llamada así por Vitaly Ginzburg y Lev Landau , es una teoría física matemática utilizada para describir la superconductividad . En su forma inicial, se postuló como un modelo fenomenológico que podría describir los superconductores de tipo I sin examinar sus propiedades microscópicas. Un superconductor de tipo GL es el famoso YBCO y, en general, todos los cupratos . ^[1]

Más tarde, Lev Gor'kov derivó una versión de la teoría de Ginzburg-Landau a partir de la teoría microscópica de Bardeen-Cooper-Schrieffer ^[2] , demostrando así que también aparece en algún límite de la teoría microscópica y dando una interpretación microscópica de todos sus parámetros. La teoría también puede tener un contexto geométrico general, ubicándola en el contexto de la geometría de Riemann , donde en muchos casos se pueden dar soluciones exactas. Este contexto general se extiende luego a la teoría cuántica de campos y a la teoría de cuerdas , nuevamente debido a su solubilidad y su estrecha relación con otros sistemas similares.

Introducción

Basándose en la teoría previamente establecida de Landau de las transiciones de fase de segundo orden , Ginzburg y Landau argumentaron que la densidad de energía libre de un superconductor cerca de la transición superconductora se puede expresar en términos de un campo de parámetros de orden complejo , donde la cantidad es una medida de la densidad local de electrones superconductores análoga a una función de onda mecánica cuántica . ^[2] Si bien es distinto de cero por debajo de una transición de fase a un estado superconductor, no se dio ninguna interpretación directa de este parámetro en el artículo original. Suponiendo pequeñez de y pequeñez de sus gradientes , la densidad de energía libre tiene la forma de una teoría de campo y exhibe simetría de calibre U(1): ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}}$ ${\displaystyle |\psi (r)|^{2}}$ ${\displaystyle n_{s}(r)}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle |\psi |}$

$${\displaystyle f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},}$$

dónde

• ${\displaystyle f_{n}}$es la densidad de energía libre de la fase normal,
• ${\displaystyle \alpha (T)}$y son parámetros fenomenológicos que son funciones de T (y a menudo escritos simplemente y ). ${\displaystyle \beta (T)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle m^{*}}$es una masa efectiva ,
• ${\displaystyle e^{*}}$es una carga efectiva (generalmente , donde e es la carga de un electrón), ${\displaystyle 2e}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es el potencial vectorial magnético , y
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$es el campo magnético.

La energía libre total está dada por . Al minimizar con respecto a las variaciones en el parámetro de orden y el potencial vectorial , se llega a las ecuaciones de Ginzburg-Landau ${\displaystyle F=\int f_{s}d^{3}r}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right\},}$$

donde denota la densidad de corriente eléctrica libre de disipación y Re la parte real . La primera ecuación, que tiene algunas similitudes con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , pero es principalmente diferente debido a un término no lineal, determina el parámetro de orden, . La segunda ecuación proporciona entonces la corriente superconductora. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi }$

Interpretación sencilla

Consideremos un superconductor homogéneo donde no hay corriente superconductora y la ecuación para ψ se simplifica a: $${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.}$$

Esta ecuación tiene una solución trivial: ψ = 0. Esto corresponde al estado de conducción normal, es decir para temperaturas superiores a la temperatura de transición superconductora, T > T _c .

Por debajo de la temperatura de transición superconductora, se espera que la ecuación anterior tenga una solución no trivial (es decir, ). Bajo este supuesto, la ecuación anterior se puede reorganizar de la siguiente manera: ${\displaystyle \psi \neq 0}$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.}$$

Cuando el lado derecho de esta ecuación es positivo, existe una solución distinta de cero para ψ (recuerde que la magnitud de un número complejo puede ser positiva o cero). Esto se puede lograr asumiendo la siguiente dependencia de la temperatura de con : ${\displaystyle \alpha :\alpha (T)=\alpha _{0}(T-T_{\rm {c}})}$ ${\displaystyle \alpha _{0}/\beta >0}$

• Por encima de la temperatura de transición superconductora, T > T _c , la expresión α ( T ) / β es positiva y el lado derecho de la ecuación anterior es negativo. La magnitud de un número complejo debe ser un número no negativo, por lo que solo ψ = 0 resuelve la ecuación de Ginzburg-Landau.
• Por debajo de la temperatura de transición superconductora, T < T _c , el lado derecho de la ecuación anterior es positivo y existe una solución no trivial para ψ . Además, es decir , ψ se acerca a cero a medida que T se acerca a T _c desde abajo. Este comportamiento es típico de una transición de fase de segundo orden. $${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}$$

En la teoría de Ginzburg-Landau se propuso que los electrones que contribuyen a la superconductividad forman un superfluido . ^[3] En esta interpretación, | ψ | ² indica la fracción de electrones que se han condensado en un superfluido. ^[3]

Longitud de coherencia y profundidad de penetración

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau predijeron dos nuevas longitudes características en un superconductor. La primera longitud característica se denominó longitud de coherencia , ξ . Para T > T _c (fase normal), está dada por

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.}$

mientras que para T < T _c (fase superconductora), donde es más relevante, viene dada por

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.}$

Establece la ley exponencial según la cual pequeñas perturbaciones de la densidad de electrones superconductores recuperan su valor de equilibrio ψ ₀ . Por tanto, esta teoría caracteriza a todos los superconductores mediante dos escalas de longitud. La segunda es la profundidad de penetración, λ . Fue introducida previamente por los hermanos London en su teoría de London . Expresada en términos de los parámetros del modelo de Ginzburg-Landau es

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},}$

donde ψ ₀ es el valor de equilibrio del parámetro de orden en ausencia de campo electromagnético. La profundidad de penetración establece la ley exponencial según la cual un campo magnético externo decae en el interior del superconductor.

La idea original del parámetro κ pertenece a Landau. La relación κ = λ / ξ se conoce actualmente como parámetro de Ginzburg-Landau. Landau ha propuesto que los superconductores de tipo I son aquellos con 0 < κ < 1/ √ 2 , y los superconductores de tipo II aquellos con κ > 1/ √ 2 .

Fluctuaciones

La transición de fase desde el estado normal es de segundo orden para los superconductores Tipo II, teniendo en cuenta las fluctuaciones, como demostraron Dasgupta y Halperin, mientras que para los superconductores Tipo I es de primer orden, como demostraron Halperin, Lubensky y Ma. ^[4]

Clasificación de los superconductores

En el artículo original, Ginzburg y Landau observaron la existencia de dos tipos de superconductores dependiendo de la energía de la interfaz entre los estados normal y superconductor. El estado de Meissner se rompe cuando el campo magnético aplicado es demasiado grande. Los superconductores se pueden dividir en dos clases según cómo se produce esta ruptura. En los superconductores de Tipo I , la superconductividad se destruye abruptamente cuando la fuerza del campo aplicado aumenta por encima de un valor crítico H _c . Dependiendo de la geometría de la muestra, se puede obtener un estado intermedio ^[5] que consiste en un patrón barroco ^[6] de regiones de material normal que llevan un campo magnético mezclado con regiones de material superconductor que no contienen campo. En los superconductores de Tipo II , elevar el campo aplicado más allá de un valor crítico H _{c 1} conduce a un estado mixto (también conocido como estado de vórtice) en el que una cantidad creciente de flujo magnético penetra en el material, pero no queda resistencia al flujo de corriente eléctrica siempre que la corriente no sea demasiado grande. En una segunda fuerza de campo crítica H _{c 2} , se destruye la superconductividad. El estado mixto es causado en realidad por vórtices en el superfluido electrónico, a veces llamados fluxones porque el flujo transportado por estos vórtices está cuantizado . La mayoría de los superconductores elementales puros , excepto el niobio y los nanotubos de carbono , son de tipo I, mientras que casi todos los superconductores compuestos e impuros son de tipo II.

El hallazgo más importante de la teoría de Ginzburg-Landau lo realizó Alexei Abrikosov en 1957. Utilizó la teoría de Ginzburg-Landau para explicar experimentos sobre aleaciones superconductoras y películas delgadas. Descubrió que en un superconductor de tipo II en un campo magnético alto, el campo penetra en una red triangular de tubos cuantizados de vórtices de flujo . ^[7]

Formulación geométrica

El funcional de Ginzburg–Landau se puede formular en el contexto general de un fibrado vectorial complejo sobre una variedad riemanniana compacta . ^[8] Este es el mismo funcional que se dio anteriormente, transpuesto a la notación que se usa comúnmente en la geometría riemanniana. En múltiples casos interesantes, se puede demostrar que exhibe los mismos fenómenos que el anterior, incluidos los vórtices de Abrikosov (ver discusión a continuación).

Para un fibrado vectorial complejo sobre una variedad riemanniana con fibra , el parámetro de orden se entiende como una sección del fibrado vectorial . El funcional de Ginzburg–Landau es entonces un lagrangiano para esa sección: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

La notación utilizada aquí es la siguiente. Se supone que las fibras están equipadas con un producto interno hermítico , de modo que el cuadrado de la norma se escribe como . Los parámetros fenomenológicos y se han absorbido de modo que el término de energía potencial es un potencial de sombrero mexicano cuártico ; es decir, que exhibe una ruptura espontánea de la simetría , con un mínimo en algún valor real . La integral está explícitamente sobre la forma de volumen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}}$

para una variedad -dimensional con determinante del tensor métrico . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$

La es la forma unidimensional de la conexión y es la forma bidimensional de la curvatura correspondiente (no es lo mismo que la energía libre dada arriba; aquí, corresponde al tensor de intensidad del campo electromagnético ). La corresponde al potencial vectorial , pero en general no es abeliana cuando , y se normaliza de manera diferente. En física, convencionalmente se escribe la conexión como para la carga eléctrica y el potencial vectorial ; en geometría riemanniana, es más conveniente descartar el (y todas las demás unidades físicas) y tomar como una forma unidimensional que toma valores en el álgebra de Lie correspondientes al grupo de simetría de la fibra. Aquí, el grupo de simetría es SU(n) , ya que eso deja invariante el producto interno ; entonces aquí, es una forma que toma valores en el álgebra . ${\displaystyle D=d+A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle d-ieA}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

La curvatura generaliza la intensidad del campo electromagnético al entorno no abeliano, como la forma de curvatura de una conexión afín en un fibrado vectorial . Se escribe convencionalmente como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=D\circ D=dA+A\wedge A=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}$

Es decir, cada una es una matriz antisimétrica. (Véase el artículo sobre la conexión métrica para una articulación adicional de esta notación específica). Para enfatizar esto, observe que el primer término de la función de Ginzburg-Landau, que involucra solo la intensidad del campo, es ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}$

que es simplemente la acción de Yang-Mills en una variedad riemanniana compacta.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para la función de Ginzburg-Landau son las ecuaciones de Yang-Mills ^[9]

${\displaystyle D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

y

${\displaystyle D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

donde es el adjunto de , análogo al codiferencial . Nótese que estos están estrechamente relacionados con las ecuaciones de Yang–Mills–Higgs . ${\displaystyle D^{*}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta =d^{*}}$

Resultados específicos

En teoría de cuerdas , es convencional estudiar la funcional de Ginzburg-Landau para la variedad que es una superficie de Riemann y tomando ; es decir, un fibrado de líneas . ^[10] El fenómeno de los vórtices de Abrikosov persiste en estos casos generales, incluyendo , donde uno puede especificar cualquier conjunto finito de puntos donde se desvanece, incluyendo multiplicidad. ^[11] La prueba se generaliza a superficies de Riemann arbitrarias y a variedades de Kähler . ^{[12] [13] [14] [15]} En el límite de acoplamiento débil, se puede demostrar que converge uniformemente a 1, mientras que y convergen uniformemente a cero, y la curvatura se convierte en una suma sobre distribuciones de funciones delta en los vórtices. ^[16] La suma sobre vórtices, con multiplicidad, es igual al grado del fibrado de líneas; Como resultado, se puede escribir un fibrado lineal en una superficie de Riemann como un fibrado plano, con N puntos singulares y una sección covariantemente constante. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert }$ ${\displaystyle D\psi }$ ${\displaystyle dA}$

Cuando la variedad es cuatridimensional y posee una estructura de espín ^c , entonces se puede escribir un funcional muy similar, el funcional de Seiberg-Witten , que puede analizarse de manera similar y que posee muchas propiedades similares, incluida la autodualidad. Cuando tales sistemas son integrables , se estudian como sistemas de Hitchin .

Autodualidad

Cuando la variedad es una superficie de Riemann , el funcional puede reescribirse de modo que muestre explícitamente la autodualidad. Esto se logra escribiendo la derivada exterior como una suma de operadores de Dolbeault . Del mismo modo, el espacio de formas unitarias sobre una superficie de Riemann se descompone en un espacio que es holomorfo y uno que es antiholomorfo: , de modo que las formas en son holomorfas en y no tienen dependencia de ; y viceversa para . Esto permite escribir el potencial vectorial como y de la misma manera con y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=\Sigma }$ ${\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}}$ ${\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}$

Para el caso de , donde la fibra es tal que el haz es un haz de líneas , la intensidad de campo se puede escribir de manera similar como ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}$

Nótese que en la convención de signos que se utiliza aquí, tanto y son puramente imaginarios ( es decir, U(1) se genera por lo que las derivadas son puramente imaginarias). El funcional entonces se convierte en ${\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

La integral se entiende sobre la forma de volumen.

${\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}}$,

de modo que

${\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}$

es el área total de la superficie . La es la estrella de Hodge , como antes. El grado del haz de líneas sobre la superficie es ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}$

¿Dónde está la primera clase de Chern ? ${\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}$

El lagrangiano se minimiza (es estacionario) cuando se resuelven las ecuaciones de Ginzberg-Landau ${\displaystyle \psi ,A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

Nótese que ambas son ecuaciones diferenciales de primer orden, manifiestamente autoduales. Al integrar la segunda de ellas, uno descubre rápidamente que una solución no trivial debe obedecer

${\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma }$.

En términos generales, esto se puede interpretar como un límite superior para la densidad de los vórtices de Abrikosov. También se puede demostrar que las soluciones están acotadas; se debe tener . ${\displaystyle |\psi |\leq \sigma }$

En la teoría de cuerdas

En física de partículas , cualquier teoría cuántica de campos con un único estado de vacío clásico y una energía potencial con un punto crítico degenerado se denomina teoría de Landau-Ginzburg. La generalización a teorías supersimétricas N  = (2,2) en 2 dimensiones del espacio-tiempo fue propuesta por Cumrun Vafa y Nicholas Warner en noviembre de 1988; ^[17] en esta generalización se impone que el superpotencial posee un punto crítico degenerado. El mismo mes, junto con Brian Greene argumentaron que estas teorías están relacionadas por un flujo de grupo de renormalización con modelos sigma en variedades de Calabi-Yau . ^[18] En su artículo de 1993 "Fases de N  = 2 teorías en dos dimensiones", Edward Witten argumentó que las teorías de Landau-Ginzburg y los modelos sigma en variedades de Calabi-Yau son diferentes fases de la misma teoría. ^[19] Una construcción de dicha dualidad se dio relacionando la teoría de Gromov-Witten de los orbifolds de Calabi-Yau con la teoría FJRW, una teoría "FJRW" análoga de Landau-Ginzburg. ^[20] Los modelos sigma de Witten se utilizaron más tarde para describir la dinámica de baja energía de las teorías de calibración de 4 dimensiones con monopolos, así como construcciones de branas. ^[21]

Véase también

• Fijación de flujo
• Ecuación de Gross-Pitaevski
• Teoría de Landau
• Ecuación de Stuart-Landau
• Sistemas de reacción-difusión
• Vórtice cuántico
• haz de Higgs
• Con destino a Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield

Referencias

1. Wesche, Rainer (2017). "Superconductores de alta temperatura" (PDF) . Springer Handbook of Electronic and Photonic Materials . Springer Handbooks. pág. 1233. doi :10.1007/978-3-319-48933-9_50. ISBN 978-3-319-48931-5.
2. Tsuei, CC; Kirtley, JR Simetría de emparejamiento en superconductores de cuprato (PDF) . IBM Thomas J. Watson Research Center. pág. 970.
3. Ginzburg VL (julio de 2004). "Sobre la superconductividad y la superfluidez (lo que he logrado y lo que no), así como sobre el 'mínimo físico' a principios del siglo XXI". ChemPhysChem . 5 (7): 930–945. doi :10.1002/cphc.200400182. PMID  15298379.
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8. Jost, Jürgen (2002). "El funcional de Ginzburg-Landau". Geometría riemanniana y análisis geométrico (tercera edición). Springer-Verlag. págs. 373-381. ISBN 3-540-42627-2.
9. Jost, Jürgen (2008). "El funcional de Ginzburg-Landau". Geometría riemanniana y análisis geométrico (quinta edición). Springer-Verlag. págs. 521-522. ISBN 978-3-540-77340-5.
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Papeles

• VL Ginzburg y LD Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 , 1064 (1950). Traducción al inglés en: LD Landau, Collected papers (Oxford: Pergamon Press, 1965) p. 546
• AA Abrikosov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32 , 1442 (1957) (traducción al inglés: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)]. Artículo original de Abrikosov sobre la estructura de vórtice de los superconductores de tipo II derivada como una solución de ecuaciones G–L para κ > 1/√2
• LP Gorkov, Física soviética, JETP 36 , 1364 (1959)
• Conferencia Nobel de 2003 de A. A. Abrikosov: archivo pdf o vídeo
• Discurso Nobel de 2003 de V. L. Ginzburg: archivo pdf o vídeo