Alternativas a la relatividad general

Teorías propuestas de la gravedad.

Las alternativas a la relatividad general son las teorías físicas que intentan describir el fenómeno de la gravitación en competencia con la teoría de la relatividad general de Einstein . Ha habido muchos intentos diferentes de construir una teoría ideal de la gravedad . ^[1]

Estos intentos se pueden dividir en cuatro categorías amplias según su alcance. En este artículo se analizan alternativas sencillas a la relatividad general, que no implican la mecánica cuántica ni la unificación de fuerzas. Otras teorías que intentan construir una teoría utilizando los principios de la mecánica cuántica se conocen como teorías de la gravedad cuantificada . En tercer lugar, existen teorías que intentan explicar la gravedad y otras fuerzas al mismo tiempo; éstas se conocen como teorías clásicas del campo unificado . Finalmente, las teorías más ambiciosas intentan poner la gravedad en términos de mecánica cuántica y unificar fuerzas; éstas se llaman teorías del todo .

Ninguna de estas alternativas a la relatividad general ha logrado una amplia aceptación. La relatividad general ha resistido muchas pruebas , ^{[2] [3]} manteniéndose consistente con todas las observaciones hasta ahora. Por el contrario, muchas de las primeras alternativas han sido definitivamente refutadas. Sin embargo, algunas de las teorías alternativas de la gravedad cuentan con el apoyo de una minoría de físicos y el tema sigue siendo objeto de intenso estudio en física teórica .

Historia de la teoría gravitacional a través de la relatividad general.

En el momento de su publicación en el siglo XVII, la teoría de la gravedad de Isaac Newton era la teoría de la gravedad más precisa. Desde entonces, se propusieron una serie de alternativas. Las teorías anteriores a la formulación de la relatividad general en 1915 se analizan en Historia de la teoría gravitacional .

Relatividad general

Esta teoría ^{[4] [5]} es lo que ahora llamamos "relatividad general" (incluida aquí para comparación). Descartando por completo la métrica de Minkowski, Einstein obtiene:

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

que también se puede escribir

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

Cinco días antes de que Einstein presentara la última ecuación anterior, Hilbert había presentado un artículo que contenía una ecuación casi idéntica. Véase Disputa de prioridad de la relatividad general . Hilbert fue el primero en enunciar correctamente la acción de Einstein-Hilbert para la relatividad general, que es:

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

donde es la constante gravitacional de Newton, es la curvatura de Ricci del espacio y es la acción debida a la masa. ${\displaystyle G\,}$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$ ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$ ${\displaystyle S_{m}\,}$

La relatividad general es una teoría tensorial, todas las ecuaciones contienen tensores. Las teorías de Nordström, por otro lado, son teorías escalares porque el campo gravitacional es escalar. Otras alternativas propuestas incluyen teorías escalares-tensoriales que contienen un campo escalar además de los tensores de la relatividad general, y recientemente se han desarrollado otras variantes que también contienen campos vectoriales.

Motivaciones

Después de la relatividad general, se intentó mejorar las teorías desarrolladas antes de la relatividad general o mejorar la relatividad general misma. Se intentaron muchas estrategias diferentes, por ejemplo, añadir el espín a la relatividad general, combinando una métrica similar a la relatividad general con un espacio-tiempo estático con respecto a la expansión del universo, obteniendo más libertad añadiendo otro parámetro. Al menos una teoría fue motivada por el deseo de desarrollar una alternativa a la relatividad general que esté libre de singularidades.

Las pruebas experimentales mejoraron junto con las teorías. Se abandonaron muchas de las diferentes estrategias que se desarrollaron poco después de la relatividad general, y hubo un impulso para desarrollar formas más generales de las teorías que sobrevivieron, de modo que una teoría estuviera lista cuando cualquier prueba mostrara un desacuerdo con la relatividad general.

En la década de 1980, la creciente precisión de las pruebas experimentales había confirmado la relatividad general; no quedaron competidores excepto aquellos que incluían la relatividad general como caso especial. Además, poco después, los teóricos pasaron a la teoría de cuerdas, que empezaba a parecer prometedora, pero que desde entonces ha perdido popularidad. A mediados de la década de 1980, algunos experimentos sugerían que la gravedad se estaba modificando mediante la adición de una quinta fuerza (o, en un caso, de una quinta, sexta y séptima fuerza) que actuaba en el rango de unos pocos metros. Los experimentos posteriores los eliminaron.

Las motivaciones para las teorías alternativas más recientes son casi todas cosmológicas y están asociadas con conceptos como la " inflación ", la " materia oscura " y la " energía oscura " o los reemplazan. La investigación de la anomalía de Pioneer ha provocado un renovado interés público en las alternativas a la relatividad general.

Notación en este artículo

${\displaystyle c\;}$es la velocidad de la luz , es la constante gravitacional . No se utilizan " variables geométricas ". ${\displaystyle G\;}$

Los índices latinos van de 1 a 3, los índices griegos van de 0 a 3. Se utiliza la convención de suma de Einstein .

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$es la métrica de Minkowski . es un tensor, normalmente el tensor métrico . Estos tienen firma (−,+,+,+). ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

La diferenciación parcial se escribe o . La diferenciación covariante se escribe o . ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Clasificación de teorías.

Las teorías de la gravedad se pueden clasificar, en términos generales, en varias categorías. La mayoría de las teorías descritas aquí tienen:

• una ' acción ' (ver el principio de acción mínima , un principio variacional basado en el concepto de acción)
• una densidad lagrangiana
• una métrica

Si una teoría tiene una densidad lagrangiana para la gravedad, digamos , entonces la parte gravitacional de la acción es la integral de eso: ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

En esta ecuación es habitual, aunque no esencial, tener el infinito espacial cuando se utilizan coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la acción de Einstein-Hilbert utiliza ${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

donde R es la curvatura escalar , una medida de la curvatura del espacio.

Casi todas las teorías descritas en este artículo tienen una acción. Es la forma más eficiente que se conoce para garantizar que las necesarias leyes de conservación de la energía, el momento y el momento angular se incorporen automáticamente; aunque es fácil construir una acción donde se violen esas leyes de conservación. Los métodos canónicos proporcionan otra forma de construir sistemas que tengan las leyes de conservación requeridas, pero este enfoque es más complicado de implementar. ^[6] La versión original de 1983 de MOND no tenía acción.

Algunas teorías tienen acción pero no densidad lagrangiana. Un buen ejemplo es Whitehead, ^[7] la acción allí se denomina no local.

Una teoría de la gravedad es una "teoría métrica" ​​si y sólo si se le puede dar una representación matemática en la que se cumplan dos condiciones:
Condición 1 : Existe un tensor métrico simétrico de firma (−, +, +, +), que gobierna mediciones de longitud y tiempo adecuados en la forma habitual de la relatividad especial y general: ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

donde hay una suma sobre índices y . Condición 2 : La materia estresada y los campos sobre los que actúa la gravedad responden de acuerdo con la ecuación: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

donde está el tensor de tensión-energía para toda la materia y los campos no gravitacionales, y donde está la derivada covariante con respecto a la métrica y es el símbolo de Christoffel . El tensor tensión-energía también debe satisfacer una condición de energía . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Las teorías métricas incluyen (de la más simple a la más compleja):

• Teorías de campos escalares (incluye teorías conformemente planas y teorías estratificadas con porciones de espacio conformemente planas)
  • Bergman
  • Coleman
  • Einstein (1912)
  • Teoría de Einstein-Fokker
  • Lee – Lightman – Ni
  • Poca madera
  • Ni
  • Teoría de la gravitación de Nordström (primera teoría métrica de la gravedad desarrollada)
  • Página–Tupper
  • Papapetrou
  • Rosen (1971)
  • Whitrow – Morduch
  • Teoría de la gravitación de Yilmaz (intentó eliminar los horizontes de eventos de la teoría).
• Teorías cuasilineales (incluye calibre fijo lineal)
  • Bollini–Giambiagi–Tiomno
  • Deser-Laurent
  • Teoría de la gravedad de Whitehead (destinada a utilizar únicamente potenciales retardados )
• Teorías tensoriales
  • La relatividad general de Einstein
  • Gravedad de cuarto orden (permite que el lagrangiano dependa de contracciones de segundo orden del tensor de curvatura de Riemann)
  • gravedad f(R) (permite que el lagrangiano dependa de potencias superiores del escalar de Ricci)
  • Gravedad de Gauss-Bonnet
  • Teoría de la gravedad de Lovelock (permite que el lagrangiano dependa de contracciones de orden superior del tensor de curvatura de Riemann)
  • Gravedad derivada infinita
• Teorías escalares-tensoriales
  • Bekenstein
  • Bergmann-Waggoner
  • Teoría de Brans-Dicke (la alternativa más conocida a la relatividad general, destinada a aplicar mejor el principio de Mach)
  • Jordán
  • Nordtvedt
  • Thirty
  • Camaleón
  • presión
• Teorías de tensores vectoriales
  • Hellings – Nordtvedt
  • Voluntad – Nordtvedt
• Teorías bimétricas
  • Hombre ligero - Lee
  • rastall
  • Rosen (1975)
• Otras teorías métricas

(ver la sección Teorías modernas a continuación)

Las teorías no métricas incluyen

• Belinfante-Swihart
• Teoría de Einstein-Cartan (destinada a manejar el intercambio de momento angular orbital-espín)
• Kustaanheimo (1967)
• Teleparalelismo
• Gravedad de la teoría del calibre

Unas palabras aquí sobre el principio de Mach son apropiadas porque algunas de estas teorías se basan en el principio de Mach (por ejemplo, Whitehead ^[7] ), y muchas lo mencionan de pasada (por ejemplo, Einstein-Grossmann, ^[8] Brans-Dicke ^[9] ). El principio de Mach puede considerarse un punto intermedio entre Newton y Einstein. Va así: ^[10]

• Newton: Espacio y tiempo absolutos .
• Mach: El marco de referencia proviene de la distribución de la materia en el universo.
• Einstein: No existe un marco de referencia.

Teorías desde 1917 hasta la década de 1980

Esta sección incluye alternativas a la relatividad general publicadas después de la relatividad general pero antes de las observaciones de la rotación de galaxias que llevaron a la hipótesis de la " materia oscura ". Los considerados aquí incluyen (ver Will ^{[11] [12]} Lang ^{[13] [14]} ):

Estas teorías se presentan aquí sin una constante cosmológica ni potencial escalar o vectorial añadido a menos que se indique específicamente, por la sencilla razón de que la necesidad de una o ambas no se reconocía antes de las observaciones de supernovas realizadas por el Supernova Cosmology Project y la High-Z Supernova Search. Equipo . En Teorías modernas se analiza cómo agregar una constante cosmológica o quintaesencia a una teoría (ver también Acción de Einstein-Hilbert).

Teorías de campos escalares

Las teorías de campos escalares de Nordström ^{[50] [51]} ya han sido discutidas. Los de Littlewood, ^[23] Bergman, ^[25] Yilmaz, ^[28] Whitrow y Morduch ^{[30] [31]} y Page y Tupper ^[35] siguen la fórmula general dada por Page y Tupper.

Según Page y Tupper, ^[35] quienes discuten todos estos excepto Nordström, ^[51] la teoría general de campos escalares proviene del principio de mínima acción:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

donde está el campo escalar,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

yc puede depender o no de . ${\displaystyle \varphi }$

En Nordström, ^[50]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

En Littlewood ^[23] y Bergmann, ^[25]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

En Whitrow y Morduch, ^[30]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

En Whitrow y Morduch, ^[31]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

En Page y Tupper, ^[35]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

Page y Tupper ^[35] coinciden con la teoría de Yilmaz ^[28] en segundo orden cuando . ${\displaystyle \alpha =-7/2}$

La desviación gravitacional de la luz tiene que ser cero cuando c es constante. Dado que la variable c y la desviación cero de la luz están en conflicto con el experimento, la perspectiva de una teoría escalar de la gravedad exitosa parece muy improbable. Además, si los parámetros de una teoría escalar se ajustan de modo que la desviación de la luz sea correcta, entonces es probable que el corrimiento al rojo gravitacional sea incorrecto.

Ni ^[12] resumió algunas teorías y también creó dos más. En el primero, una relatividad especial preexistente, espacio-tiempo y tiempo universal, actúa con la materia y los campos no gravitacionales para generar un campo escalar. Este campo escalar actúa junto con todo el resto para generar la métrica.

La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Misner et al. ^[52] da esto sin el término. es la materia acción. ${\displaystyle \varphi R}$ ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t es la coordenada del tiempo universal. Esta teoría es autoconsistente y completa. Pero el movimiento del sistema solar a través del universo genera serios desacuerdos con los experimentos.

En la segunda teoría de Ni ^[12] existen dos funciones arbitrarias y que están relacionadas con la métrica por: ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ni ^[12] cita a Rosen ^[40] por tener dos campos escalares y que están relacionados con la métrica por: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

En Papapetrou ^[21] la parte gravitacional del lagrangiano es:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

En Papapetrou ^[22] hay un segundo campo escalar . La parte gravitacional del lagrangiano ahora es: ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Teorías bimétricas

Las teorías bimétricas contienen tanto la métrica tensorial normal como la métrica de Minkowski (o una métrica de curvatura constante) y pueden contener otros campos escalares o vectoriales.

Rosen ^[53] (1975) teoría bimétrica La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

Lightman-Lee ^[45] desarrolló una teoría métrica basada en la teoría no métrica de Belinfante y Swihart. ^{[26] [27]} El resultado se conoce como teoría BSLL. Dado un campo tensor , y dos constantes , la acción es: ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

y el tensor estrés-energía proviene de:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

En Rastall, ^[49] la métrica es una función algebraica de la métrica de Minkowski y un campo vectorial. ^[54] La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

dónde

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ y ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

(ver Will ^[11] para la ecuación de campo para y ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Teorías cuasilineales

En Whitehead , ^[7] la métrica física se construye (por Synge ) algebraicamente a partir de la métrica de Minkowski y las variables de materia, por lo que ni siquiera tiene un campo escalar. La construcción es: ${\displaystyle g\;}$ ${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

donde el superíndice (-) indica cantidades evaluadas a lo largo del cono de luz pasado del punto de campo y ${\displaystyle \eta \;}$ ${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Sin embargo, se critica la construcción métrica (a partir de una teoría no métrica) utilizando la "contracción de longitud" ansatz. ^[55]

Deser y Laurent ^[34] y Bollini-Giambiagi-Tiomno ^[37] son ​​teorías de ancho lineal fijo. Tomando un enfoque de la teoría cuántica de campos, combine un espacio-tiempo de Minkowski con la acción invariante de calibre de un campo tensor de espín dos (es decir, gravitón) para definir ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

La identidad de Bianchi asociada con esta invariancia de calibre parcial es errónea. Las teorías de calibre fijo lineal buscan remediar esto rompiendo la invariancia de calibre de la acción gravitacional mediante la introducción de campos gravitacionales auxiliares que se acoplan . ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Se puede introducir una constante cosmológica en una teoría cuasilineal mediante el simple recurso de cambiar el trasfondo de Minkowski a un espacio-tiempo de De Sitter o anti-de Sitter , como sugirió G. Temple en 1923. CB criticó las sugerencias de Temple sobre cómo hacer esto. Rayner en 1955. ^[56]

Teorías tensoriales

La relatividad general de Einstein es la teoría de la gravedad más simple y plausible que puede basarse en un solo campo tensor simétrico (el tensor métrico ). Otros incluyen: gravedad Starobinsky (R+R^2), gravedad Gauss-Bonnet , gravedad f(R) y teoría de la gravedad de Lovelock .

Starobinsky

La gravedad de Starobinsky, propuesta por Alexei Starobinsky, tiene el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

y se ha utilizado para explicar la inflación, en la forma de inflación de Starobinsky . Aquí hay una constante. ${\displaystyle M}$

Gauss-Bonnet

La gravedad de Gauss-Bonnet tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

donde los coeficientes de los términos adicionales se eligen de modo que la acción se reduce a la relatividad general en 4 dimensiones del espacio-tiempo y los términos adicionales no son triviales cuando se introducen más dimensiones.

La cuarta derivada de la gravedad de Stelle

La cuarta derivada de la gravedad de Stelle, que es una generalización de la gravedad de Gauss-Bonnet, tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

f(R)

f(R) la gravedad tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

y es una familia de teorías, cada una definida por una función diferente del escalar de Ricci. La gravedad de Starobinsky es en realidad una teoría. ${\displaystyle f(R)}$

Gravedad derivada infinita

La gravedad derivada infinita es una teoría covariante de la gravedad, de curvatura cuadrática, libre de torsión e invariante de paridad, ^[57]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

y

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

para asegurarse de que solo los componentes sin masa de espín −2 y espín −0 se propaguen en el propagador de gravitones alrededor del fondo de Minkowski. La acción se vuelve no local más allá de la escala y se recupera a la relatividad general en el infrarrojo, para energías por debajo de la escala no local . En el régimen ultravioleta, a distancias y escalas de tiempo por debajo de la escala no local, la interacción gravitacional se debilita lo suficiente como para resolver la singularidad puntual, lo que significa que la singularidad de Schwarzschild puede resolverse potencialmente en infinitas teorías derivadas de la gravedad . ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

amorlock

La gravedad de Lovelock tiene la acción.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

y puede considerarse como una generalización de la relatividad general.

Teorías escalares-tensoriales

Todos ellos contienen al menos un parámetro libre, a diferencia de la relatividad general que no tiene parámetros libres.

Aunque normalmente no se considera una teoría de la gravedad escalar-tensorial, la métrica de 5 por 5 de Kaluza-Klein se reduce a una métrica de 4 por 4 y un solo escalar. Entonces, si el quinto elemento se trata como un campo gravitacional escalar en lugar de un campo electromagnético, entonces Kaluza-Klein puede considerarse el progenitor de las teorías de la gravedad escalar-tensorial. Así lo reconoció Thiry. ^[20]

Las teorías escalar-tensoriales incluyen a Thiry, ^[20] Jordan, ^[24] Brans y Dicke, ^[9] Bergman, ^[36] Nordtveldt (1970), Waggoner, ^[39] Bekenstein ^[47] y Barker. ^[48]

La acción se basa en la integral del Lagrangiano . ${\displaystyle S\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

donde hay una función adimensional diferente para cada teoría escalar-tensorial diferente. La función juega el mismo papel que la constante cosmológica en la relatividad general. es una constante de normalización adimensional que fija el valor actual de . Se puede agregar un potencial arbitrario para el escalar. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle G_{N}\;}$ ${\displaystyle G\;}$

La versión completa se conserva en Bergman ^[36] y Waggoner. ^[39] Los casos especiales son:

Nordtvedt, ^[38] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

Dado que de todos modos se pensaba que era cero en ese momento, esto no se habría considerado una diferencia significativa. El papel de la constante cosmológica en el trabajo más moderno se analiza en Constante cosmológica. ${\displaystyle \lambda }$

Brans-Dicke, ^[9] es constante ${\displaystyle \omega \;}$

Bekenstein ^[47] teoría de la masa variable Comenzando con parámetros y , encontrados a partir de una solución cosmológica, determina la función y luego ${\displaystyle r\;}$ ${\displaystyle q\;}$ ${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$ ${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Barker ^[48] teoría G constante

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

El ajuste de permite que las teorías de tensores escalares tiendan a la relatividad general en el límite de la época actual. Sin embargo, podría haber diferencias significativas con la relatividad general en el universo primitivo. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Mientras la relatividad general se confirme mediante experimentos, las teorías generales escalar-tensorial (incluida Brans-Dicke ^[9] ) nunca podrán descartarse por completo, pero a medida que los experimentos continúan confirmando la relatividad general con mayor precisión y los parámetros deben ajustarse para que las predicciones se ajusten más a las de la relatividad general.

Los ejemplos anteriores son casos particulares de la teoría de Horndeski , ^{[58] [59]} la lagrangiana más general construida a partir del tensor métrico y un campo escalar que conduce a ecuaciones de movimiento de segundo orden en un espacio de 4 dimensiones. Se ha demostrado que existen teorías viables más allá de Horndeski (con ecuaciones de movimiento de orden superior). ^{[60] [61] [62]}

Teorías de tensores vectoriales

Antes de comenzar, Will (2001) ha dicho: "Muchas teorías métricas alternativas desarrolladas durante los años 1970 y 1980 podrían verse como teorías del "hombre de paja", inventadas para demostrar que tales teorías existen o para ilustrar propiedades particulares. Pocas de ellas podrían considerarse teorías bien motivadas desde el punto de vista, digamos, de la teoría de campos o de la física de partículas. Ejemplos de ello son las teorías de vectores-tensores estudiadas por Will, Nordtvedt y Hellings.

Hellings y Nordtvedt ^[44] y Will y Nordtvedt ^[43] son ​​teorías vectoriales-tensoriales. Además del tensor métrico, existe un campo vectorial temporal. La acción gravitacional es: ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

donde estan las constantes y ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(Ver Will ^[11] para las ecuaciones de campo para y ) ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }.}$

Will y Nordtvedt ^[43] es un caso especial en el que

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Hellings y Nordtvedt ^[44] es un caso especial en el que

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Estas teorías de vectores-tensores son semiconservadoras, lo que significa que satisfacen las leyes de conservación del momento y del momento angular, pero pueden tener efectos de marco preferidos. Cuando se reducen a la relatividad general, siempre que la relatividad general se confirme mediante experimentos, las teorías generales de vectores-tensores nunca pueden descartarse. ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Otras teorías métricas

Se han propuesto otras teorías métricas; el de Bekenstein ^[63] se analiza en Teorías modernas.

Teorías no métricas

La teoría de Cartan es particularmente interesante porque es una teoría no métrica y porque es muy antigua. El estatus de la teoría de Cartan es incierto. Will ^[11] afirma que todas las teorías no métricas son eliminadas por el Principio de Equivalencia de Einstein. Will (2001) atenúa esto explicando los criterios experimentales para probar teorías no métricas contra el Principio de Equivalencia de Einstein. Misner et al. ^[52] afirma que la teoría de Cartan es la única teoría no métrica que ha sobrevivido a todas las pruebas experimentales hasta esa fecha y Turyshev ^[64] enumera la teoría de Cartan entre las pocas que han sobrevivido a todas las pruebas experimentales hasta esa fecha. Lo que sigue es un breve esbozo de la teoría de Cartan reformulada por Trautman. ^{[sesenta y cinco]}

Cartan ^{[15] [16]} sugirió una generalización simple de la teoría de la gravitación de Einstein. Propuso un modelo de espacio-tiempo con un tensor métrico y una "conexión" lineal compatible con la métrica pero no necesariamente simétrica. El tensor de torsión de la conexión está relacionado con la densidad del momento angular intrínseco. Independientemente de Cartan, Sciama y Kibble propusieron ideas similares en los años 1958 a 1966, que culminaron en una revisión de 1976 de Hehl et al.

La descripción original es en términos de formas diferenciales, pero en el presente artículo se reemplaza por el lenguaje más familiar de tensores (con riesgo de pérdida de precisión). Como en la relatividad general, el lagrangiano se compone de una parte sin masa y otra con masa. El lagrangiano para la parte sin masa es:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

La es la conexión lineal. es el pseudotensor completamente antisimétrico ( símbolo de Levi-Civita ) con , y es el tensor métrico como de costumbre. Al suponer que la conexión lineal es métrica, es posible eliminar la libertad no deseada inherente a la teoría no métrica. El tensor tensión-energía se calcula a partir de: ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$ ${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

La curvatura del espacio no es riemanniana, pero en un espacio-tiempo riemanniano el lagrangiano se reduciría al lagrangiano de la relatividad general.

Algunas ecuaciones de la teoría no métrica de Belinfante y Swihart ^{[26] [27]} ya han sido comentadas en el apartado de teorías bimétricas.

Una teoría distintivamente no métrica la proporciona la teoría de la gravedad calibre , que reemplaza la métrica en sus ecuaciones de campo con un par de campos calibre en el espacio-tiempo plano. Por un lado, la teoría es bastante conservadora porque es sustancialmente equivalente a la teoría de Einstein-Cartan (o la relatividad general en el límite del espín evanescente), y difiere principalmente en la naturaleza de sus soluciones globales. Por otro lado, es radical porque sustituye la geometría diferencial por el álgebra geométrica .

Teorías modernas desde la década de 1980 hasta la actualidad.

Esta sección incluye alternativas a la relatividad general publicadas tras las observaciones de la rotación de galaxias que llevaron a la hipótesis de la "materia oscura". No se conoce una lista confiable de comparación de estas teorías. Los considerados aquí incluyen: Bekenstein, ^[63] Moffat, ^[66] Moffat, ^[67] Moffat. ^{[68] [69]} Estas teorías se presentan con una constante cosmológica o un potencial escalar o vectorial agregado.

Motivaciones

Las motivaciones para las alternativas más recientes a la relatividad general son casi todas cosmológicas y están asociadas o reemplazadas con conceptos como "inflación", "materia oscura" y "energía oscura". La idea básica es que la gravedad concuerda con la relatividad general en la época actual, pero puede haber sido bastante diferente en el universo primitivo.

En la década de 1980, el mundo de la física empezó lentamente a darse cuenta de que había varios problemas inherentes al entonces actual escenario del Big Bang, incluido el problema del horizonte y la observación de que en los primeros momentos en que se formaban los quarks por primera vez no había suficiente espacio del universo para contener siquiera un quark. La teoría de la inflación se desarrolló para superar estas dificultades. Otra alternativa fue construir una alternativa a la relatividad general en la que la velocidad de la luz era mayor en el universo primitivo. El descubrimiento de curvas de rotación inesperadas para las galaxias tomó a todos por sorpresa. ¿Podría haber más masa en el universo de la que creemos, o la propia teoría de la gravedad está equivocada? El consenso actual es que la masa que falta es "materia oscura fría", pero ese consenso sólo se alcanzó después de probar alternativas a la relatividad general, y algunos físicos todavía creen que modelos alternativos de gravedad pueden contener la respuesta.

En la década de 1990, los estudios de supernovas descubrieron la expansión acelerada del universo, ahora habitualmente atribuida a la energía oscura . Esto condujo al rápido restablecimiento de la constante cosmológica de Einstein, y la quintaesencia llegó como alternativa a la constante cosmológica. Al menos una nueva alternativa a la relatividad general intentó explicar los resultados de los estudios de supernovas de una manera completamente diferente. La medición de la velocidad de la gravedad con el evento de onda gravitacional GW170817 descartó muchas teorías alternativas de la gravedad como explicaciones para la expansión acelerada. ^{[70] [71] [72]} Otra observación que despertó el interés reciente en alternativas a la Relatividad General es la anomalía de Pioneer . Rápidamente se descubrió que alternativas a la relatividad general podrían explicar esta anomalía. Ahora se cree que esto se debe a una radiación térmica no uniforme.

Constante cosmológica y quintaesencia.

La constante cosmológica es una idea muy antigua, que se remonta a Einstein en 1917. ^[5] El éxito del modelo de Friedmann del universo llevó a la aceptación general de que es cero, pero el uso de un valor distinto de cero llegó Regresó con venganza cuando los datos de las supernovas indicaron que la expansión del universo se está acelerando. ${\displaystyle \Lambda \;}$ ${\displaystyle \Lambda =0\;}$

Primero, veamos cómo influye en las ecuaciones de gravedad newtoniana y de la relatividad general. En la gravedad newtoniana, la suma de la constante cosmológica cambia la ecuación de Newton-Poisson de:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

a

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

En la relatividad general, cambia la acción de Einstein-Hilbert de

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

a

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

que cambia la ecuación de campo

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

a

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

En teorías alternativas de la gravedad, se puede añadir una constante cosmológica a la acción exactamente de la misma manera.

La constante cosmológica no es la única manera de conseguir una expansión acelerada del universo en alternativas a la relatividad general. Ya hemos visto cómo se puede añadir el potencial escalar a las teorías tensoriales escalares. Esto también se puede hacer en cada alternativa a la relatividad general que contiene un campo escalar agregando el término dentro del lagrangiano para la parte gravitacional de la acción, la parte de ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \varphi \;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Como es una función arbitraria del campo escalar, se puede configurar para que dé una aceleración grande en el universo temprano y pequeña en la época actual. Esto se conoce como quintaesencia. ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Se puede utilizar un método similar en alternativas a la relatividad general que utilizan campos vectoriales, incluidas Rastall ^[49] y las teorías de tensor vectorial. Un término proporcional a

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

se agrega al Lagrangiano para la parte gravitacional de la acción.

Las teorías de Farnes

En diciembre de 2018, el astrofísico Jamie Farnes de la Universidad de Oxford propuso una teoría de fluidos oscuros , relacionada con las nociones de masas negativas gravitacionalmente repulsivas presentadas anteriormente por Albert Einstein . La teoría puede ayudar a comprender mejor las considerables cantidades de materia oscura y energía oscura desconocidas en el universo . ^[73]

La teoría se basa en el concepto de masa negativa y reintroduce el tensor de creación de Fred Hoyle para permitir la creación de materia únicamente para partículas de masa negativa. De esta manera, las partículas de masa negativa rodean las galaxias y ejercen presión sobre ellas, asemejándose así a la materia oscura. A medida que estas partículas hipotéticas se repelen mutuamente, separan el Universo, asemejándose así a la energía oscura. La creación de materia permite que la densidad de las exóticas partículas de masa negativa permanezca constante en función del tiempo, por lo que aparece como una constante cosmológica . Las ecuaciones de campo de Einstein se modifican para:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Según la navaja de Occam, la teoría de Farnes es una alternativa más sencilla al modelo LambdaCDM convencional, ya que tanto la energía oscura como la materia oscura (dos hipótesis) se resuelven utilizando un único fluido de masa negativa (una hipótesis). La teoría se podrá comprobar directamente utilizando el radiotelescopio más grande del mundo, el Square Kilometer Array , que debería entrar en funcionamiento en 2022. ^[74]

MOND relativista

La teoría original de MOND de Milgrom fue desarrollada en 1983 como una alternativa a la "materia oscura". Las desviaciones de la ley de gravitación de Newton se rigen por una escala de aceleración, no por una escala de distancia. MOND explica con éxito la observación de Tully-Fisher de que la luminosidad de una galaxia debería escalar como la cuarta potencia de la velocidad de rotación. También explica por qué la discrepancia de rotación en las galaxias enanas es particularmente grande.

Al principio hubo varios problemas con MOND.

1. No incluyó efectos relativistas.
2. Violó la conservación de la energía, el momento y el momento angular.
3. Era inconsistente en el sentido de que da diferentes órbitas galácticas para el gas y las estrellas.
4. No indicó cómo calcular las lentes gravitacionales de los cúmulos de galaxias.

En 1984, los problemas 2 y 3 se habían resuelto introduciendo un lagrangiano ( AQUAL ). Se rechazó una versión relativista de esto basada en la teoría del tensor escalar porque permitía que las ondas en el campo escalar se propagaran más rápido que la luz. El lagrangiano de la forma no relativista es:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

La versión relativista de esto tiene:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

con una acción de masas atípica. Aquí y se seleccionan funciones arbitrarias para dar comportamiento newtoniano y MOND en los límites correctos, y es la escala de longitud MOND. En 1988, un segundo campo escalar (PCC) solucionó problemas con la versión anterior escalar-tensor, pero está en conflicto con la precesión del perihelio de Mercurio y las lentes gravitacionales de galaxias y cúmulos. En 1997, MOND se había incorporado con éxito a una teoría relativista estratificada [Sanders], pero como se trata de una teoría marco preferida, tiene sus propios problemas. Bekenstein ^[63] introdujo un modelo tensorial-vectorial-escalar (TeVeS). Tiene dos campos escalares y un campo vectorial . La acción se divide en partes para gravedad, escalares, vectores y masa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma \;}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

La parte de la gravedad es la misma que en la relatividad general.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$son constantes, los corchetes en los índices representan antisimetrización, es un multiplicador de Lagrange (calculado en otro lugar) y L es un lagrangiano traducido del espaciotiempo plano a la métrica . Tenga en cuenta que G no tiene por qué ser igual a la constante gravitacional observada . F es una función arbitraria y ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

se da como ejemplo con el comportamiento asintótico correcto; observe cómo se vuelve indefinido cuando ${\displaystyle \mu =1}$

Los parámetros paramétricos post-newtonianos de esta teoría se calculan en ^[75] , lo que muestra que todos sus parámetros son iguales a los de la relatividad general, excepto

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

ambos expresados ​​en unidades geométricas donde ; entonces ${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Las teorías de Moffat

JW Moffat ^[66] desarrolló una teoría de la gravitación no simétrica . Esta no es una teoría métrica. Inicialmente se afirmó que no contiene un horizonte de agujeros negros, pero Burko y Ori ^[76] han descubierto que la teoría gravitacional asimétrica puede contener agujeros negros. Más tarde, Moffat afirmó que también se había aplicado para explicar las curvas de rotación de las galaxias sin invocar la "materia oscura". Damour, Deser y MaCarthy ^[77] han criticado la teoría gravitacional no simétrica, diciendo que tiene un comportamiento asintótico inaceptable.

Las matemáticas no son difíciles pero están entrelazadas, por lo que lo siguiente es sólo un breve esbozo. Comenzando con un tensor no simétrico , la densidad lagrangiana se divide en ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

donde es lo mismo que para la materia en la relatividad general. ${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

donde es un término de curvatura análogo pero no igual a la curvatura de Ricci en la relatividad general, y son constantes cosmológicas, es la parte antisimétrica de . es una conexión y es un poco difícil de explicar porque se define de forma recursiva. Sin embargo, ${\displaystyle R(W)\;}$ ${\displaystyle \lambda \;}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\;}$ ${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$ ${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Haugan y Kauffmann ^[78] utilizaron mediciones de polarización de la luz emitida por las galaxias para imponer fuertes restricciones a la magnitud de algunos de los parámetros de la teoría gravitacional asimétrica. También utilizaron experimentos de Hughes-Drever para limitar los grados de libertad restantes. Su limitación es ocho órdenes de magnitud mayor que las estimaciones anteriores.

La teoría de la gravedad tensorial sesgada métrica (MSTG) de Moffat ^[68] es capaz de predecir curvas de rotación para galaxias sin materia oscura ni MOND, y afirma que también puede explicar la formación de lentes gravitacionales de cúmulos de galaxias sin materia oscura. Tiene un valor variable y aumenta hasta un valor final constante aproximadamente un millón de años después del Big Bang. ${\displaystyle G\;}$

La teoría parece contener un campo tensorial asimétrico y un vector de corriente fuente. La acción se divide en: ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

Tanto el término de gravedad como el de masa coinciden con los de la relatividad general con la constante cosmológica. La acción del campo sesgado y el acoplamiento de materia del campo sesgado son:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

dónde

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

y es el símbolo de Levi-Civita . El acoplamiento de campo sesgado es un acoplamiento de Pauli y es invariante de calibre para cualquier fuente de corriente. La fuente de corriente parece un campo de materia y fermiones asociado con el número bariónico y leptónico. ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Gravedad escalar-tensor-vectorial

La gravedad escalar-tensorial-vectorial de Moffat ^[69] contiene un tensor, un vector y tres campos escalares. Pero las ecuaciones son bastante sencillas. La acción se divide en: con términos para gravedad, campo vectorial, campos escalares y masa. es el término de gravedad estándar con la excepción de que se mueve dentro de la integral. ${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$ ${\displaystyle K_{\mu },}$ ${\displaystyle G,\omega ,\mu }$ ${\displaystyle S_{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

La función potencial para el campo vectorial se elige como:

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

donde es una constante de acoplamiento. No se indican las funciones asumidas para los potenciales escalares. ${\displaystyle g}$

Gravedad derivada infinita

Para eliminar fantasmas en el propagador modificado, así como para obtener libertad asintótica, Biswas, Mazumdar y Siegel (2005) consideraron un conjunto infinito de términos derivados superiores inspirados en cuerdas.

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

donde es el exponencial de una función completa del operador D'Alembertiano . ^{[79] [80]} Esto evita una singularidad de agujero negro cerca del origen, mientras se recupera la caída 1/r del potencial de la relatividad general a grandes distancias. ^[81] Lousto y Mazzitelli (1997) encontraron una solución exacta a esta teoría que representa una onda de choque gravitacional. ^[82] ${\displaystyle F(\Box )}$

Autointeracción de la relatividad general (GRSI)

El modelo de Autointeracción de la Relatividad General o modelo GRSI ^[83] es un intento de explicar las observaciones astrofísicas y cosmológicas sin materia oscura ni energía oscura añadiendo términos de autointeracción al calcular los efectos gravitacionales en la relatividad general , análogos a los términos de autointeracción en Cromodinámica cuántica . ^[84] Además, el modelo explica la relación Tully-Fisher , ^[85] la relación de aceleración radial , ^[86] observaciones que actualmente son difíciles de comprender dentro de Lambda-CDM .

Prueba de alternativas a la relatividad general.

Cualquier supuesta alternativa a la relatividad general tendría que pasar una variedad de pruebas para ser aceptada. Para una cobertura detallada de estas pruebas, consulte Misner et al. ^[52] Capítulo 39, Will ^[11] Tabla 2.1 y Ni. ^[12] La mayoría de estas pruebas se pueden clasificar como en las siguientes subsecciones.

Autoconsistencia

La autoconsistencia entre las teorías no métricas incluye la eliminación de las teorías que permiten taquiones , polos fantasmas y polos de orden superior, y aquellas que tienen problemas de comportamiento en el infinito. Entre las teorías métricas, la autoconsistencia se ilustra mejor describiendo varias teorías que no superan esta prueba. El ejemplo clásico es la teoría de campos del espín dos de Fierz y Pauli; ^[17] las ecuaciones de campo implican que los cuerpos gravitantes se mueven en línea recta, mientras que las ecuaciones de movimiento insisten en que la gravedad desvía los cuerpos lejos del movimiento en línea recta. Yilmaz (1971) ^[29] contiene un campo gravitacional tensorial utilizado para construir una métrica; es matemáticamente inconsistente porque la dependencia funcional de la métrica del campo tensorial no está bien definida.

Lo completo

Para ser completa, una teoría de la gravedad debe ser capaz de analizar el resultado de cada experimento de interés. Por lo tanto, debe combinarse con el electromagnetismo y todas las demás físicas. Por ejemplo, cualquier teoría que no pueda predecir a partir de primeros principios el movimiento de los planetas o el comportamiento de los relojes atómicos está incompleta.

Muchas de las primeras teorías están incompletas porque no está claro si la densidad utilizada por la teoría debe calcularse a partir del tensor tensión-energía como o como , donde es la cuatro velocidades y es el delta de Kronecker . Las teorías de Thirry (1948) y Jordan ^[24] están incompletas a menos que el parámetro de Jordan se establezca en -1, en cuyo caso coinciden con la teoría de Brans-Dicke ^[9] y, por lo tanto, merecen una mayor consideración. Milne ^[19] está incompleto porque no hace ninguna predicción del corrimiento al rojo gravitacional. Las teorías de Whitrow y Morduch, ^{[30] [31]} Kustaanheimo ^[32] y Kustaanheimo y Nuotio ^[33] son ​​incompletas o inconsistentes. La incorporación de las ecuaciones de Maxwell es incompleta a menos que se suponga que se imponen sobre el espacio-tiempo de fondo plano, y cuando se hace eso, son inconsistentes, porque predicen un corrimiento al rojo gravitacional cero cuando se usa la versión ondulatoria de la luz (teoría de Maxwell). y desplazamiento al rojo distinto de cero cuando se utiliza la versión de partículas (fotón). Otro ejemplo más obvio es la gravedad newtoniana con las ecuaciones de Maxwell; la luz en forma de fotones es desviada por campos gravitacionales (la mitad que la relatividad general), pero la luz en forma de ondas no. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \eta \;}$

Pruebas clásicas

Hay tres pruebas "clásicas" (que datan de la década de 1910 o antes) de la capacidad de las teorías de la gravedad para manejar los efectos relativistas; son el corrimiento al rojo gravitacional , las lentes gravitacionales (generalmente probadas alrededor del Sol) y el avance anómalo del perihelio de los planetas. Cada teoría debería reproducir los resultados observados en estas áreas, que hasta la fecha siempre han estado alineados con las predicciones de la relatividad general. En 1964, Irwin I. Shapiro encontró una cuarta prueba, llamada retraso de Shapiro . Por lo general, también se considera una prueba "clásica".

Acuerdo con la mecánica newtoniana y la relatividad especial

Como ejemplo de desacuerdo con los experimentos newtonianos, la teoría de Birkhoff ^[18] predice efectos relativistas con bastante fiabilidad, pero exige que las ondas sonoras viajen a la velocidad de la luz. Esta fue la consecuencia de una suposición hecha para simplificar el manejo de la colisión de masas. ^{[ cita necesaria ]}

El principio de equivalencia de Einstein

El Principio de Equivalencia de Einstein tiene tres componentes. El primero es la singularidad de la caída libre, también conocida como Principio de Equivalencia Débil. Esto se cumple si la masa inercial es igual a la masa gravitacional. η es un parámetro utilizado para probar la violación máxima permitida del Principio de Equivalencia Débil. Las primeras pruebas del Principio de Equivalencia Débil fueron realizadas por Eötvös antes de 1900 y limitaron η a menos de 5 × 10⁻⁹ . Las pruebas modernas lo han reducido a menos de 5 × 10⁻¹³ . La segunda es la invariancia de Lorentz. En ausencia de efectos gravitacionales, la velocidad de la luz es constante. El parámetro de prueba para esto es δ . Las primeras pruebas de invariancia de Lorentz fueron realizadas por Michelson y Morley antes de 1890 y limitaron δ a menos de 5 × 10⁻³ . Las pruebas modernas han reducido esto a menos de 1 × 10⁻²¹ . El tercero es la invariancia de posición local, que incluye invariancia espacial y temporal. El resultado de cualquier experimento local no gravitacional es independiente de dónde y cuándo se realiza. La invariancia de la posición local espacial se prueba mediante mediciones de desplazamiento al rojo gravitacional. El parámetro de prueba para esto es α . Los límites superiores encontrados por Pound y Rebka en 1960 limitaron α a menos de 0,1. Las pruebas modernas han reducido esto a menos de 1 × 10⁻⁴ . ^[2]

La conjetura de Schiff establece que cualquier teoría de la gravedad completa y autoconsistente que incorpore el principio de equivalencia débil necesariamente incorpora el principio de equivalencia de Einstein. Es probable que esto sea cierto si la teoría tiene una conservación total de la energía. Las teorías métricas satisfacen el principio de equivalencia de Einstein. Muy pocas teorías no métricas satisfacen esto. Por ejemplo, la teoría no métrica de Belinfante y Swihart ^{[26] [27]} es eliminada por el formalismo THεμ para probar el Principio de Equivalencia de Einstein. La gravedad de la teoría de calibre es una excepción notable, donde el principio de equivalencia fuerte es esencialmente el acoplamiento mínimo de la derivada covariante de calibre .

Formalismo post-newtoniano paramétrico

Véase también Pruebas de relatividad general , Misner et al. ^[52] y Will ^[11] para obtener más información.

El trabajo para desarrollar un conjunto de pruebas estandarizadas en lugar de ad hoc para evaluar modelos de gravitación alternativos comenzó con Eddington en 1922 y dio como resultado un conjunto estándar de números post-newtonianos paramétricos en Nordtvedt y Will ^[87] y Will y Nordtvedt. ^[43] Cada parámetro mide un aspecto diferente de cuánto se aleja una teoría de la gravedad newtoniana. Debido a que aquí estamos hablando de una desviación de la teoría newtoniana, estos solo miden los efectos de campo débil. Los efectos de los fuertes campos gravitacionales se examinan más adelante.

Estos diez son: ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$es una medida de la curvatura espacial, siendo cero para la gravedad newtoniana y uno para la relatividad general.
• ${\displaystyle \beta }$es una medida de no linealidad en la suma de campos gravitacionales, una para la relatividad general.
• ${\displaystyle \eta }$es una verificación de los efectos de ubicación preferidos.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$medir el alcance y la naturaleza de los "efectos del marco preferido". Cualquier teoría de la gravedad en la que al menos una de las tres sea distinta de cero se denomina teoría de marco preferido.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$medir el alcance y la naturaleza de las fallas en las leyes de conservación global. Una teoría de la gravedad posee cuatro leyes de conservación para la energía-momento y seis para el momento angular sólo si las cinco son cero.

Fuerte gravedad y ondas gravitacionales.

El posnewtoniano paramétrico es sólo una medida de efectos de campo débiles. Se pueden observar fuertes efectos de la gravedad en objetos compactos como enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros. Pruebas experimentales como la estabilidad de las enanas blancas, la velocidad de rotación de los púlsares, las órbitas de los púlsares binarios y la existencia de un horizonte de agujero negro pueden utilizarse como pruebas alternativas a la relatividad general. La relatividad general predice que las ondas gravitacionales viajan a la velocidad de la luz. Muchas alternativas a la relatividad general dicen que las ondas gravitacionales viajan más rápido que la luz, rompiendo posiblemente la causalidad. Después de la detección mediante mensajes múltiples de la coalescencia de estrellas de neutrones GW170817 , donde se midió que la luz y las ondas gravitacionales viajaban a la misma velocidad con un error de 1/10 ¹⁵ , muchas de esas teorías modificadas de la gravedad fueron excluidas.

Pruebas cosmológicas

Recién están comenzando a estar disponibles pruebas útiles a escala cosmológica. ^{[2] : 88} Dados los datos astronómicos limitados y la complejidad de las teorías, las comparaciones implican parámetros complejos. Por ejemplo, Reyes et al. ^[88] analizaron 70.205 galaxias rojas luminosas con una correlación cruzada que involucra estimaciones de la velocidad de las galaxias y potenciales gravitacionales estimados a partir de lentes y, sin embargo, los resultados aún son provisionales. ^{[1] : 164}

Para aquellas teorías que apuntan a reemplazar la materia oscura, observaciones como la curva de rotación de las galaxias , la relación Tully-Fisher , la velocidad de rotación más rápida de las galaxias enanas y las lentes gravitacionales debidas a los cúmulos galácticos actúan como limitaciones. Para aquellas teorías que apuntan a reemplazar la inflación , el tamaño de las ondas en el espectro de la radiación cósmica de fondo de microondas es la prueba más estricta. Para aquellas teorías que incorporan o pretenden reemplazar la energía oscura, se pueden utilizar como pruebas los resultados del brillo de las supernovas y la edad del universo. Otra prueba es la planitud del universo. Con la relatividad general, la combinación de materia bariónica, materia oscura y energía oscura se suman para hacer que el universo sea exactamente plano.

Resultados de probar teorías.

Parámetros paramétricos post-newtonianos para una variedad de teorías

(Ver Will ^[11] y Ni ^[12] para más detalles. Misner et al. ^[52] proporciona una tabla para traducir parámetros de la notación de Ni a la de Will)

La Relatividad General tiene ahora más de 100 años, durante los cuales una teoría alternativa de la gravedad tras otra no ha logrado coincidir con observaciones cada vez más precisas. Un ejemplo ilustrativo es el formalismo posnewtoniano parametrizado . La siguiente tabla enumera valores post-newtonianos paramétricos para una gran cantidad de teorías. Si el valor de una celda coincide con el del encabezado de la columna, entonces la fórmula completa es demasiado complicada para incluirla aquí.

† La teoría está incompleta y puede tomar uno de dos valores. Se enumera el valor más cercano a cero. ${\displaystyle \zeta _{4}}$

Todas las pruebas experimentales concuerdan con la relatividad general hasta el momento, por lo que el análisis paramétrico post-newtoniano elimina inmediatamente todas las teorías de campos escalares de la tabla. No está disponible una lista completa de parámetros post-newtonianos paramétricos para Whitehead, ^[7] Deser-Laurent, ^[34] Bollini – Giambiagi – Tiomino, ^[37] pero en estos tres casos , ^{[ cita necesaria ]} que está en fuerte conflicto con Relatividad general y resultados experimentales. En particular, estas teorías predicen amplitudes incorrectas para las mareas de la Tierra. (Una modificación menor de la teoría de Whitehead evita este problema. Sin embargo, la modificación predice el efecto Nordtvedt , que ha sido restringido experimentalmente). ${\displaystyle \beta =\xi }$

Teorías que no pasan otras pruebas

Las teorías estratificadas de Ni, ^[42] Lee Lightman y Ni ^[46] no son válidas porque ninguna de ellas logra explicar el avance del perihelio de Mercurio. Las teorías bimétricas de Lightman y Lee, ^[45] Rosen, ^[41] Rastall ^[49] fallan algunas de las pruebas asociadas con campos gravitacionales fuertes. Las teorías escalar-tensoriales incluyen la relatividad general como un caso especial, pero solo concuerdan con los valores paramétricos post-newtonianos de la relatividad general cuando son iguales a la relatividad general dentro del error experimental. A medida que las pruebas experimentales se vuelven más precisas, la desviación de las teorías escalares-tensorales de la relatividad general se reduce a cero. Lo mismo ocurre con las teorías de vectores-tensores: la desviación de las teorías de vectores-tensores de la relatividad general se está reduciendo a cero. Además, las teorías vectoriales-tensoriales son semiconservadoras; tienen un valor distinto de cero y pueden tener un efecto mensurable en las mareas de la Tierra. Las teorías no métricas, como las de Belinfante y Swihart, ^{[26] [27]} generalmente no concuerdan con las pruebas experimentales del principio de equivalencia de Einstein. Y eso deja, como posible alternativa válida a la relatividad general, nada excepto posiblemente Cartan. ^[15] Esa era la situación hasta que los descubrimientos cosmológicos impulsaron el desarrollo de alternativas modernas. ${\displaystyle \alpha _{2}}$

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enlaces externos

• Carroll, Sean . Discusión en videoconferencia sobre las posibilidades y limitaciones de la revisión de la Teoría General de la Relatividad. Energía oscura o algo peor: ¿Se equivocó Einstein? en Youtube