Teoría de Brans-Dicke

Teoría propuesta de la gravitación.

En física, la teoría de la gravitación de Brans-Dicke (a veces llamada teoría de Jordan-Brans-Dicke ) es competidora de la teoría general de la relatividad de Einstein . Es un ejemplo de teoría escalar-tensor , una teoría gravitacional en la que la interacción gravitacional está mediada por un campo escalar así como por el campo tensorial de la relatividad general. La constante gravitacional no se supone que sea constante, sino que se reemplaza por un campo escalar que puede variar de un lugar a otro y con el tiempo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1/G}$ ${\displaystyle \phi }$

La teoría fue desarrollada en 1961 por Robert H. Dicke y Carl H. Brans ^[1] basándose, entre otros, en el trabajo anterior de 1959 de Pascual Jordan . En la actualidad, se considera que tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general están de acuerdo con la observación. La teoría de Brans-Dicke representa un punto de vista minoritario en física.

Comparación con la relatividad general

Tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general son ejemplos de una clase de teorías de campo clásicas relativistas de la gravitación , llamadas teorías métricas . En estas teorías, el espacio-tiempo está equipado con un tensor métrico , y el campo gravitacional está representado (total o parcialmente) por el tensor de curvatura de Riemann , que está determinado por el tensor métrico. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R_{abcd}}$

Todas las teorías métricas satisfacen el principio de equivalencia de Einstein , que en el lenguaje geométrico moderno establece que en una región muy pequeña (demasiado pequeña para exhibir efectos de curvatura mensurables ), todas las leyes de la física conocidas en la relatividad especial son válidas en marcos de Lorentz locales . Esto implica, a su vez, que todas las teorías métricas exhiben el efecto de corrimiento al rojo gravitacional .

Como en la relatividad general, se considera que la fuente del campo gravitacional es el tensor tensión-energía o tensor de materia . Sin embargo, la forma en que la presencia inmediata de masa-energía en alguna región afecta el campo gravitacional en esa región difiere de la relatividad general. Lo mismo ocurre con la forma en que la curvatura del espacio-tiempo afecta el movimiento de la materia. En la teoría de Brans-Dicke, además de la métrica, que es un campo tensor de rango dos , existe un campo escalar , que tiene el efecto físico de cambiar la constante gravitacional efectiva de un lugar a otro. (Esta característica era en realidad un desiderátum clave de Dicke y Brans; véase el artículo de Brans citado a continuación, que esboza los orígenes de la teoría). ${\displaystyle \phi }$

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke contienen un parámetro , llamado constante de acoplamiento de Brans-Dicke . Esta es una verdadera constante adimensional que debe elegirse de una vez por todas. Sin embargo, se puede elegir para que se ajuste a las observaciones. Estos parámetros suelen denominarse parámetros ajustables . Además, como condición límite se debe elegir el valor ambiental actual de la constante gravitacional efectiva . La relatividad general no contiene ningún parámetro adimensional y, por lo tanto, es más fácil de falsificar (mostrar si es falsa) que la teoría de Brans-Dicke. Las teorías con parámetros ajustables a veces son desaprobadas por el principio de que, de dos teorías que concuerdan con la observación, la más parsimoniosa es preferible. Por otro lado, parece que son una característica necesaria de algunas teorías, como el ángulo de mezcla débil del modelo estándar . ${\displaystyle \omega }$

La teoría de Brans-Dicke es "menos estricta" que la relatividad general en otro sentido: admite más soluciones. En particular, las soluciones exactas de vacío de la ecuación de campo de la relatividad general de Einstein, aumentadas por el campo escalar trivial , se convierten en soluciones exactas de vacío en la teoría de Brans-Dicke, pero algunos espaciotiempos que no son soluciones de vacío de la ecuación de campo de Einstein se convierten, con las medidas apropiadas. elección del campo escalar, soluciones de vacío de la teoría de Brans-Dicke. De manera similar, una clase importante de espaciotiempos, las métricas de ondas pp , también son soluciones exactas de polvo nulo tanto de la relatividad general como de la teoría de Brans-Dicke, pero aquí también, la teoría de Brans-Dicke permite soluciones de ondas adicionales que tienen geometrías que son incompatibles con la relatividad general. . ${\displaystyle \phi =1}$

Al igual que la relatividad general, la teoría de Brans-Dicke predice la desviación de la luz y la precesión del perihelio de los planetas que orbitan alrededor del Sol. Sin embargo, las fórmulas precisas que gobiernan estos efectos, según la teoría de Brans-Dicke, dependen del valor de la constante de acoplamiento . Esto significa que es posible establecer un límite inferior observacional para el valor posible de las observaciones del sistema solar y otros sistemas gravitacionales. El valor de ser coherente con el experimento ha aumentado con el tiempo. En 1973 coincidía con los datos conocidos. En 1981 era consistente con los datos conocidos. En 2003, la evidencia –derivada del experimento Cassini-Huygens– muestra que el valor de debe exceder los 40.000. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega >5}$ ${\displaystyle \omega >30}$ ${\displaystyle \omega }$

También se suele enseñar ^[2] que la relatividad general se obtiene de la teoría de Brans-Dicke en el límite . Pero Faraoni ^[3] afirma que esto se rompe cuando desaparece la huella del impulso de energía de tensión, es decir , un ejemplo de ello es la solución del agujero de gusano de Campanelli - Lousto . ^[4] Algunos han argumentado ^{[ ¿quién? ]} que sólo la relatividad general satisface el principio de equivalencia fuerte . ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$

Las ecuaciones de campo.

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke son

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),}$

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T,}$

dónde

${\displaystyle \omega }$es la constante de acoplamiento de Dicke adimensional;

${\displaystyle g_{ab}}$es el tensor métrico ;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}}$es el tensor de Einstein , una especie de curvatura media;

${\displaystyle R_{ab}=R^{m}{}_{amb}}$es el tensor de Ricci , una especie de traza del tensor de curvatura;

${\displaystyle R=R^{m}{}_{m}}$es el escalar de Ricci , la traza del tensor de Ricci;

${\displaystyle T_{ab}}$es el tensor tensión-energía ;

${\displaystyle T=T_{a}^{a}}$es la traza del tensor tensión-energía;

${\displaystyle \phi }$es el campo escalar;

${\displaystyle \Box }$es el operador de Laplace-Beltrami u operador de onda covariante, . ${\displaystyle \Box \phi =\phi ^{;a}{}_{;a}}$

La primera ecuación describe cómo el tensor tensión-energía y el campo escalar juntos afectan la curvatura del espacio-tiempo. El lado izquierdo, el tensor de Einstein , puede considerarse como una especie de curvatura promedio. Es una cuestión de matemática pura que, en cualquier teoría métrica, el tensor de Riemann siempre pueda escribirse como la suma de la curvatura de Weyl (o tensor de curvatura conforme ) y una pieza construida a partir del tensor de Einstein. ${\displaystyle \phi }$

La segunda ecuación dice que la traza del tensor tensión-energía actúa como fuente del campo escalar . Dado que los campos electromagnéticos contribuyen sólo con un término sin rastro al tensor tensión-energía, esto implica que en una región del espacio-tiempo que contiene sólo un campo electromagnético (más el campo gravitacional), el lado derecho desaparece y obedece a la onda (espacio-tiempo curvada). ecuación . Por lo tanto, los cambios se propagan a través de las regiones de electrovacío ; en este sentido decimos que es un campo de largo alcance . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

A modo de comparación, la ecuación de campo de la relatividad general es simplemente

${\displaystyle G_{ab}=8\pi GT_{ab}.}$

Esto significa que, en la relatividad general, la curvatura de Einstein en algún evento está completamente determinada por el tensor tensión-energía en ese evento; la otra parte, la curvatura de Weyl, es la parte del campo gravitacional que puede propagarse como una onda gravitacional a través de una región del vacío. Pero en la teoría de Brans-Dicke, el tensor de Einstein está determinado en parte por la presencia inmediata de masa-energía y momento, y en parte por el campo escalar de largo alcance . ${\displaystyle \phi }$

Las ecuaciones de campo de vacío de ambas teorías se obtienen cuando el tensor tensión-energía desaparece. Esto modela situaciones en las que no hay campos no gravitacionales presentes.

El principio de acción

El siguiente lagrangiano contiene la descripción completa de la teoría de Brans-Dicke: ^[5]

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} },}$

donde es el determinante de la métrica, es la forma del volumen de cuatro dimensiones y es el término de materia , o densidad lagrangiana de materia . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

El término materia incluye la contribución de materia ordinaria (por ejemplo, materia gaseosa) y también de campos electromagnéticos. En una región del vacío, el término materia desaparece de manera idéntica; el término restante es el término gravitacional . Para obtener las ecuaciones de campo del vacío, debemos variar el término gravitacional en el lagrangiano respecto de la métrica ; esto da la primera ecuación de campo anterior. Cuando variamos con respecto al campo escalar , obtenemos la segunda ecuación de campo. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \phi }$

Tenga en cuenta que, a diferencia de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, el término no desaparece, ya que el resultado no es una derivada total. Se puede demostrar que ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}.}$

Para probar este resultado, use

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

Al evaluar la s en las coordenadas normales de Riemann, desaparecen 6 términos individuales. Seis términos adicionales se combinan cuando se manipulan utilizando el teorema de Stokes para proporcionar lo deseado . ${\displaystyle \delta \Gamma }$ ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}}$

A modo de comparación, la definición lagrangiana de la relatividad general es

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right).}$

Variando el término gravitacional con respecto a se obtiene la ecuación de campo de Einstein del vacío. ${\displaystyle g_{ab}}$

En ambas teorías, las ecuaciones de campo completas se pueden obtener mediante variaciones del lagrangiano completo.

Ver también

• Portal de física

• Teorías clásicas de la gravitación.
• Dilatón
• Relatividad general
• principio de mach
• Importancia científica de GW170817

Notas

1. Salvados, CH; Dicke, RH (1 de noviembre de 1961). "El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Revisión física . 124 (3): 925–935. Código bibliográfico : 1961PhRv..124..925B. doi : 10.1103/PhysRev.124.925.
2. Weinberg, Steven (1971). Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . Wiley. pag. 160.ISBN​ 0471925675.
3. Faroni, Valerio (1999). "Ilusiones de la relatividad general en la gravedad de Brans-Dicke". Física. Rdo . D59 (8): 084021. arXiv : gr-qc/9902083 . Código bibliográfico : 1999PhRvD..59h4021F. doi : 10.1103/PhysRevD.59.084021. S2CID  7558104.
4. M. Campanelli, CO Lousto, Int. J.Mod. Física. D 02, 451 (1993) https://doi.org/10.1142/S0218271893000325
5. Georgios Kofinas, Minas Tsoukalas: Sobre la acción de las teorías completas de Brans-Dicke, en arXiv:1512.04786 [gr-qc], 28 de noviembre de 2016, DOI:10.1140/epjc/s10052-016-4505-y, ecuación ( 2.9) en la página 2. Algunos autores utilizan

   ${\displaystyle S_{M}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

   para conocer el término de la materia, consulte Brans-Dicke-Theorie: Definición (alemán).

Referencias

• Bergmann, Peter G. (mayo de 1968). "Comentarios sobre la teoría del tensor escalar". En t. J. Theor. Física. 1 (1): 25–36. Código bibliográfico : 1968IJTP....1...25B. doi :10.1007/BF00668828. ISSN  0020-7748. S2CID  119985328.
• Waggoner, Robert V. (junio de 1970). "Teoría del tensor escalar y ondas gravitacionales". Física. Rev. D. 1 (12). Sociedad Estadounidense de Física : 3209–3216. Código bibliográfico : 1970PhRvD...1.3209W. doi : 10.1103/PhysRevD.1.3209.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.Véase el Cuadro 39.1 .
• Voluntad, Clifford M. (1986). "Capítulo 8: El ascenso y la caída de la teoría de Brans-Dicke". ¿Tenía razón Einstein?: Poniendo a prueba la relatividad general . Nueva York: Libros básicos . ISBN 0-19-282203-9.
• Faraoni, Valerio (2004). Cosmología en gravedad escalar-tensorial . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer Academic . ISBN 1-4020-1988-2.

enlaces externos

• Artículo de Scholarpedia sobre el tema por Carl H. Brans
• Salvados, Carl H. (2005). "Las raíces de la teoría del tensor escalar: una historia aproximada". arXiv : gr-qc/0506063 .