espacio-tiempo de ondas pp

En la relatividad general , los espaciotiempos de ondas pp , u ondas pp para abreviar, son una familia importante de soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein . El término pp significa ondas de frente plano con propagación paralela y fue introducido en 1962 por Jürgen Ehlers y Wolfgang Kundt .

Descripción general

Las soluciones de ondas pp modelan la radiación que se mueve a la velocidad de la luz . Esta radiación puede consistir en:

• radiación electromagnética ,
• radiación gravitacional ,
• radiación sin masa asociada con los fermiones de Weyl ,
• radiación sin masa asociada con algún tipo hipotético de campo relativista clásico distinto,

o cualquier combinación de estos, siempre que la radiación se mueva en la misma dirección.

Un tipo especial de espacio-tiempo de ondas pp, los espacio-tiempos de ondas planas, proporcionan el análogo más general en la relatividad general de las ondas planas familiares para los estudiantes de electromagnetismo . En particular, en la relatividad general, debemos tener en cuenta los efectos gravitacionales de la densidad de energía del propio campo electromagnético . Cuando hacemos esto, las ondas planas puramente electromagnéticas proporcionan la generalización directa de las soluciones de ondas planas ordinarias en la teoría de Maxwell .

Además, en la relatividad general, las perturbaciones en el propio campo gravitatorio pueden propagarse, a la velocidad de la luz, como "arrugas" en la curvatura del espacio-tiempo. Esta radiación gravitatoria es el análogo gravitatorio de la radiación electromagnética. En la relatividad general, el análogo gravitatorio de las ondas planas electromagnéticas son precisamente las soluciones de vacío entre los espacio-tiempos de ondas planas. Se denominan ondas planas gravitatorias .

Existen ejemplos físicamente importantes de espaciotiempos de ondas pp que no son espacios-tiempos de ondas planas. En particular, la experiencia física de un observador que pasa rápidamente junto a un objeto gravitatorio (como una estrella o un agujero negro) a una velocidad cercana a la de la luz puede ser modelada por un espacio-tiempo de ondas pp impulsivas llamado ultraboost de Aichelburg-Sexl . El campo gravitacional de un haz de luz se modela, en relatividad general, por una determinada onda pp axisimétrica .

Un ejemplo de onda pp que se da cuando la gravedad está en presencia de materia es el campo gravitatorio que rodea a un fermión de Weyl neutro: el sistema consiste en un campo gravitatorio que es una onda pp, sin radiación electrodinámica y un espinor sin masa que exhibe simetría axial. En el espacio-tiempo de Weyl-Lewis-Papapetrou , existe un conjunto completo de soluciones exactas tanto para la gravedad como para la materia. ^[1]

Las ondas Pp fueron introducidas por Hans Brinkmann en 1925 y han sido redescubiertas muchas veces desde entonces, más notablemente por Albert Einstein y Nathan Rosen en 1937.

Definición matemática

Un espaciotiempo de ondas pp es cualquier variedad lorentziana cuyo tensor métrico puede describirse, con respecto a las coordenadas de Brinkmann , en la forma

${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$

donde es cualquier función suave . Esta fue la definición original de Brinkmann, y tiene la virtud de ser fácil de entender. ${\displaystyle H}$

La definición que ahora es estándar en la literatura es más sofisticada. No hace referencia a ningún diagrama de coordenadas, por lo que es una definición libre de coordenadas . Establece que cualquier variedad lorentziana que admita un campo vectorial nulo covariantemente constante se denomina espacio-tiempo de ondas pp. Es decir, la derivada covariante de debe anularse de manera idéntica: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla k=0.}$

Esta definición fue introducida por Ehlers y Kundt en 1962. Para relacionar la definición de Brinkmann con ésta, tomemos , el vector de coordenadas ortogonal a las hipersuperficies . En la notación de gimnasia de índices para ecuaciones tensoriales, la condición en puede escribirse . ${\displaystyle k=\partial _{v}}$ ${\displaystyle v=v_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{a;b}=0}$

Ninguna de estas definiciones hace mención de ninguna ecuación de campo; de hecho, son completamente independientes de la física . Las ecuaciones de Einstein del vacío son muy simples para las ondas pp y, de hecho, lineales: la métrica obedece a estas ecuaciones si y solo si . Pero la definición de un espacio-tiempo de ondas pp no ​​impone esta ecuación, por lo que es completamente matemática y pertenece al estudio de la geometría pseudo-riemanniana . En la siguiente sección nos centraremos en las interpretaciones físicas de los espacio-tiempos de ondas pp. ${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$ ${\displaystyle H_{xx}+H_{yy}=0}$

Ehlers y Kundt dieron varias caracterizaciones más libres de coordenadas, entre ellas:

• Una variedad lorentziana es una onda pp si y sólo si admite un subgrupo de isometrías de un parámetro que tienen órbitas nulas y cuyo tensor de curvatura tiene valores propios que se desvanecen.
• Una variedad lorentziana con curvatura no nula es una onda pp (no trivial) si y solo si admite un bivector covariantemente constante . (Si es así, este bivector es un bivector nulo).

Interpretación física

Es un hecho puramente matemático que el polinomio característico del tensor de Einstein de cualquier espacio-tiempo de ondas pp se anula de manera idéntica. De manera equivalente, podemos encontrar una tétrada nula compleja de Newman-Penrose tal que los escalares NP de Ricci (que describen cualquier materia o campos no gravitacionales que puedan estar presentes en un espacio-tiempo) y los escalares NP de Weyl (que describen cualquier campo gravitacional que pueda estar presente) tengan cada uno solo un componente que no se anule. Específicamente, con respecto a la tétrada NP ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$

${\displaystyle {\vec {\ell }}=\partial _{u}-H/2\,\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{x}+i\,\partial _{y}\right)}$

El único componente no nulo del espinor de Ricci es

${\displaystyle \Phi _{00}={\frac {1}{4}}\,\left(H_{xx}+H_{yy}\right)}$

y el único componente no nulo del espinor de Weyl es

${\displaystyle \Psi _{0}={\frac {1}{4}}\,\left(\left(H_{xx}-H_{yy}\right)+2i\,H_{xy}\right).}$

Esto significa que cualquier espacio-tiempo de ondas pp puede interpretarse, en el contexto de la relatividad general, como una solución de polvo nula . Además, el tensor de Weyl siempre tiene tipo Petrov N , como puede verificarse utilizando los criterios de Bel .

En otras palabras, las ondas pp modelan varios tipos de radiación clásica y sin masa que viajan a la velocidad local de la luz . Esta radiación puede ser gravitacional, electromagnética, fermiones de Weyl o algún tipo hipotético de radiación sin masa diferente de estas tres, o cualquier combinación de ellas. Toda esta radiación viaja en la misma dirección y el vector nulo desempeña el papel de un vector de onda . ${\displaystyle k=\partial _{v}}$

Relación con otras clases de soluciones exactas

Lamentablemente, la terminología relativa a las ondas pp, aunque bastante estándar, es muy confusa y tiende a promover malentendidos.

En cualquier espacio-tiempo de ondas pp, el campo vectorial covariantemente constante siempre tiene escalares ópticos que se desvanecen de manera idéntica . Por lo tanto, las ondas pp pertenecen a la clase Kundt (la clase de variedades lorentzianas que admiten una congruencia nula con escalares ópticos que se desvanecen). ${\displaystyle k}$

Yendo en la otra dirección, las ondas pp incluyen varios casos especiales importantes.

A partir de la forma del espinor de Ricci dada en la sección anterior, resulta evidente de inmediato que un espacio-tiempo de ondas pp (escrito en el diagrama de Brinkmann) es una solución de vacío si y solo si es una función armónica (con respecto a las coordenadas espaciales ). Físicamente, estas representan radiación puramente gravitacional que se propaga a lo largo de los rayos nulos . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \partial _{v}}$

Ehlers y Kundt y Sippel y Gönner han clasificado los espaciotiempos de ondas pp del vacío por su grupo de autometría, o grupo de autoisometrías . Este es siempre un grupo de Lie y, como es habitual, es más fácil clasificar las álgebras de Lie subyacentes de los campos vectoriales de Killing . Resulta que el espaciotiempo de ondas pp más general tiene solo un campo vectorial de Killing, la congruencia geodésica nula . Sin embargo, para varias formas especiales de , hay campos vectoriales de Killing adicionales. ${\displaystyle k=\partial _{v}}$ ${\displaystyle H}$

La clase más importante de ondas pp particularmente simétricas son los espaciotiempos de ondas planas, que fueron estudiados por primera vez por Baldwin y Jeffery. Una onda plana es una onda pp en la que es cuadrática y, por lo tanto, puede transformarse a la forma simple ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(u,x,y)=a(u)\,(x^{2}-y^{2})+2\,b(u)\,xy+c(u)\,(x^{2}+y^{2})}$

Aquí, son funciones suaves arbitrarias de . Físicamente hablando, describe los perfiles de onda de los dos modos de polarización linealmente independientes de la radiación gravitacional que pueden estar presentes, mientras que describe el perfil de onda de cualquier radiación no gravitacional. Si , tenemos las ondas planas del vacío, que a menudo se denominan ondas gravitacionales planas . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=0}$

De manera equivalente, una onda plana es una onda pp con al menos un álgebra de Lie de cinco dimensiones de campos vectoriales de Killing , que incluye y cuatro más que tienen la forma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\partial _{v}}$

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial u}}(px+qy)\,\partial _{v}+p\,\partial _{x}+q\,\partial _{y}}$

dónde

${\displaystyle {\ddot {p}}=-ap+bq-cp}$

${\displaystyle {\ddot {q}}=aq-bp-cq.}$

Intuitivamente, la distinción es que los frentes de onda de las ondas planas son verdaderamente planos ; todos los puntos en un frente de onda bidimensional dado son equivalentes. Esto no es del todo cierto para las ondas pp más generales. Las ondas planas son importantes por muchas razones; por mencionar solo una, son esenciales para el hermoso tema de las ondas planas en colisión.

Una subclase más general consiste en las ondas pp axisimétricas , que en general tienen un álgebra de Lie abeliana bidimensional de campos vectoriales de Killing. También se denominan ondas planas SG2 , porque son el segundo tipo en la clasificación de simetría de Sippel y Gönner. Un caso límite de ciertas ondas pp axisimétricas produce el modelo ultraboost de Aichelburg/Sexl que modela un encuentro ultrarrelativista con un objeto aislado de simetría esférica.

(Véase también el artículo sobre espaciotiempos de ondas planas para un análisis de casos especiales físicamente importantes de ondas planas).

JD Steele ha introducido la noción de espaciotiempos de ondas pp generalizados . Se trata de espaciostiempos lorentzianos no planos que admiten un campo bivectorial nulo autodual covariantemente constante. El nombre puede ser engañoso, ya que, como señala Steele, se trata nominalmente de un caso especial de ondas pp no ​​planas en el sentido definido anteriormente. Son sólo una generalización en el sentido de que, aunque se conserva la forma métrica de Brinkmann, no son necesariamente las soluciones de vacío estudiadas por Ehlers y Kundt, Sippel y Gönner, etc.

Otra clase especial importante de ondas pp son las ondas sándwich. Estas tienen una curvatura que desaparece excepto en un cierto rango y representan una onda gravitacional que se mueve a través de un fondo de espacio-tiempo de Minkowski . ${\displaystyle u_{1}<u<u_{2}}$

Relación con otras teorías

Dado que constituyen una clase muy simple y natural de variedades lorentzianas, definidas en términos de una congruencia nula, no es muy sorprendente que también sean importantes en otras teorías clásicas relativistas de la gravitación . En particular, las ondas pp son soluciones exactas en la teoría de Brans-Dicke , varias teorías de curvatura superior y teorías de Kaluza-Klein , y ciertas teorías de gravitación de JW Moffat . De hecho, BOJ Tupper ha demostrado que las soluciones de vacío comunes en la relatividad general y en la teoría de Brans/Dicke son precisamente las ondas pp de vacío (pero la teoría de Brans/Dicke admite más soluciones ondulatorias). Hans-Jürgen Schmidt ha reformulado la teoría de las ondas pp (cuatridimensionales) en términos de una teoría de la gravedad métrica-dilatón bidimensional .

Las ondas pp también desempeñan un papel importante en la búsqueda de la gravedad cuántica , porque, como ha señalado Gary Gibbons , todas las correcciones cuánticas de los términos de bucle se desvanecen de forma idéntica para cualquier espacio-tiempo de ondas pp. Esto significa que el estudio de las cuantificaciones a nivel de árbol de los espacio-tiempos de ondas pp ofrece una visión del mundo aún desconocido de la gravedad cuántica.

Es natural generalizar las ondas pp a dimensiones superiores, donde disfrutan de propiedades similares a las que hemos analizado. CM Hull ha demostrado que dichas ondas pp de dimensiones superiores son componentes básicos esenciales para la supergravedad de once dimensiones .

Propiedades geométricas y físicas

Las ondas PP poseen numerosas propiedades sorprendentes. Algunas de sus propiedades matemáticas más abstractas ya se han mencionado. En esta sección se presentan algunas propiedades adicionales.

Consideremos un observador inercial en el espacio-tiempo de Minkowski que se encuentra con una onda plana sándwich. Tal observador experimentará algunos efectos ópticos interesantes. Si mira hacia los frentes de onda que se aproximan en galaxias distantes que ya han encontrado la onda, verá sus imágenes sin distorsión. Este debe ser el caso, ya que no puede saber que la onda se acerca hasta que llega a su ubicación, ya que viaja a la velocidad de la luz. Sin embargo, esto se puede confirmar mediante el cálculo directo de los escalares ópticos de la congruencia nula . Ahora supongamos que después de que la onda pasa, nuestro observador se da vuelta y mira a través de los frentes de onda que se alejan hacia galaxias distantes a las que la onda aún no ha llegado. Ahora ve sus imágenes ópticas cortadas y magnificadas (o demagnificadas) de una manera dependiente del tiempo. Si la onda resulta ser una onda plana gravitacional polarizada , verá imágenes circulares alternativamente comprimidas horizontalmente mientras se expanden verticalmente, y comprimidas verticalmente mientras se expanden horizontalmente. Esto muestra directamente el efecto característico de una onda gravitacional en la relatividad general sobre la luz. ${\displaystyle \partial _{v}}$

El efecto de una onda gravitacional plana polarizada que pasa sobre las posiciones relativas de una nube de partículas de prueba (inicialmente estáticas) será cualitativamente muy similar. Podríamos mencionar aquí que, en general, el movimiento de partículas de prueba en espacios-tiempos de ondas pp puede exhibir caos .

Es bien sabido que la ecuación de campo de Einstein no es lineal. Esto implica que si se tienen dos soluciones exactas, casi nunca hay forma de superponerlas linealmente . Las ondas PP proporcionan una rara excepción a esta regla: si se tienen dos ondas PP que comparten el mismo vector nulo constante covariante (la misma congruencia nula geodésica, es decir, el mismo campo de vector de onda), con funciones métricas respectivamente, entonces se obtiene una tercera solución exacta. ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}+H_{2}}$

Roger Penrose ha observado que cerca de una geodésica nula, todo espacio-tiempo lorentziano parece una onda plana . Para demostrarlo, utilizó técnicas importadas de la geometría algebraica para "hacer estallar" el espacio-tiempo de modo que la geodésica nula dada se convierta en la congruencia geodésica nula covariantemente constante de una onda plana. Esta construcción se denomina límite de Penrose.

Penrose también señaló que en un espacio-tiempo de ondas pp, todos los invariantes escalares polinómicos del tensor de Riemann se desvanecen de manera idéntica , pero la curvatura casi nunca es cero. Esto se debe a que en cuatro dimensiones todas las ondas pp pertenecen a la clase de espacio-tiempos VSI . Tal afirmación no se cumple en dimensiones superiores, ya que existen ondas pp de dimensiones superiores de tipo algebraico II con invariantes escalares polinómicos no desvanecedores. Si consideramos el tensor de Riemann como un tensor de segundo rango que actúa sobre bivectores, la desaparición de los invariantes es análoga al hecho de que un vector nulo distinto de cero tiene una longitud al cuadrado que se desvanece.

Penrose también fue el primero en comprender la extraña naturaleza de la causalidad en los espaciotiempos de ondas sándwich pp. Demostró que algunas o todas las geodésicas nulas emitidas en un evento determinado se reenfocarán en un evento posterior (o cadena de eventos). Los detalles dependen de si la onda es puramente gravitacional, puramente electromagnética o ninguna de las dos.

Cada onda pp admite muchos diagramas de Brinkmann diferentes. Estos están relacionados por transformaciones de coordenadas , que en este contexto pueden considerarse transformaciones de calibre . En el caso de las ondas planas, estas transformaciones de calibre nos permiten considerar siempre que dos ondas planas en colisión tienen frentes de onda paralelos , y por lo tanto se puede decir que las ondas chocan de frente . Este es un resultado exacto en la relatividad general completamente no lineal que es análogo a un resultado similar relativo a las ondas planas electromagnéticas tal como se trata en la relatividad especial .

Ejemplos

Hay muchos ejemplos explícitos dignos de mención de ondas pp. ("Explícito" significa que las funciones métricas pueden escribirse en términos de funciones elementales o quizás funciones especiales bien conocidas como las funciones de Mathieu ).

Ejemplos explícitos de ondas pp axisimétricas incluyen

• El ultraboost de Aichelburg-Sexl es una onda plana impulsiva que modela la experiencia física de un observador que pasa rápidamente junto a un objeto gravitatorio esféricamente simétrico a casi la velocidad de la luz.
• El haz de Bonnor es una onda plana axisimétrica que modela el campo gravitacional de un haz infinitamente largo de radiación electromagnética incoherente.

Ejemplos explícitos de espaciotiempos de ondas planas incluyen

• Soluciones exactas de ondas gravitacionales monocromáticas planas y ondas electromagnéticas monocromáticas planas , que generalizan soluciones que son bien conocidas a partir de la aproximación de campo débil,
• Soluciones exactas del campo gravitacional de un fermión de Weyl .
• la onda plana generadora de Schwarzschild, una onda plana gravitacional que, si choca de frente con una gemela, producirá en la zona de interacción de la solución de onda plana colisionante resultante una región que es localmente isométrica a parte del interior de un agujero negro de Schwarzschild , lo que permite un vistazo clásico a la geometría local dentro del horizonte de eventos ,
• la onda plana electromagnética uniforme; este espacio-tiempo está foliado por hipercortes espaciales que son isométricos a , ${\displaystyle S^{3}}$
• La ola de la muerte es una onda plana gravitacional que exhibe una fuerte singularidad de curvatura nula no escalar , que se propaga a través de un espacio-tiempo inicialmente plano, destruyendo progresivamente el universo.
• ondas planas homogéneas, u ondas planas SG11 (tipo 11 en la clasificación de simetría de Sippel y Gönner), que exhiben una singularidad de curvatura nula no escalar débil y que surgen como los límites de Penrose de una geodésica nula apropiada que se aproxima a la singularidad de curvatura que está presente en muchas soluciones físicamente importantes, incluidos los agujeros negros de Schwarzschild y los modelos cosmológicos FRW .

Véase también

• Onda gravitacional
• Formalismo de Newman-Penrose

Notas

1. Cianci, R.; Fabbri, L.; Vignolo S., Soluciones exactas para fermiones de Weyl con gravedad

Referencias

• "On Generalised PP Waves" (PDF) . JD Steele . Consultado el 12 de junio de 2005 .
• Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius y Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7. Véase la Sección 24.5
• Sippel, R. y Gönner, H. (1986). "Clases de simetría de ondas pp". Gen. Rel. Grav . 12 : 1129–1243.
• Penrose, Roger (1976). "Todo espacio-tiempo tiene como límite una onda plana". Geometría diferencial y relatividad . pp. 271–275.
• Tupper, BOJ (1974). "Soluciones comunes de las teorías de Einstein y Brans-Dicke". Int. J. Theor. Phys . 11 (5): 353–356. Bibcode :1974IJTP...11..353T. doi :10.1007/BF01808090. S2CID  122456995.
• Penrose, Roger (1965). "Una propiedad notable de las ondas planas en la relatividad general". Rev. Mod. Phys . 37 (1): 215–220. Bibcode :1965RvMP...37..215P. doi :10.1103/RevModPhys.37.215.
• Ehlers, Jürgen y Kundt, Wolfgang (1962). "Soluciones exactas de las ecuaciones del campo gravitacional". Gravitación: una introducción a la investigación actual . págs. 49–101. Véase la Sección 2-5
• Baldwin, OR y Jeffery, GB (1926). "La teoría de la relatividad de las ondas planas". Proc. R. Soc. Lond. A . 111 (757): 95. Bibcode :1926RSPSA.111...95B. doi : 10.1098/rspa.1926.0051 .
• HW Brinkmann (1925). "Espacios de Einstein que se proyectan conformemente entre sí". Math. Ann . 18 : 119–145. doi :10.1007/BF01208647. S2CID  121619009.
• Yi-Fei Chen y JX Lu (2004), "Generación de una brana M2 dinámica a partir de supergravitones en un fondo de ondas pp"
• Bum-Hoon Lee (2005), "Branas D en el fondo de ondas pp"
• H.-J. Schmidt (1998). "Una representación bidimensional de ondas gravitacionales cuatridimensionales", Int. J. Mod. Phys. D7 (1998) 215–224 (arXiv:gr-qc/9712034).
• Albert Einstein , "Sobre las ondas gravitacionales", J. Franklin Inst. 223 (1937).

43–54.

• Nathan Rosen , "Ondas planas polarizadas en la teoría general de la relatividad", Phys. Z. Sowjetunion 12 (1937).
• Cianci, R.; Fabbri, L.; Vignolo S. (2015). "Soluciones exactas para fermiones de Weyl con gravedad". Eur. Phys. J. C. 75 ( 10): 478. arXiv : 1507.06439 . Bibcode :2015EPJC...75..478C. doi :10.1140/epjc/s10052-015-3698-9. S2CID  119618017.

Enlaces externos

• Pp-wave en arxiv.org