Ecuación de Weyl

Ecuación de onda relativista que describe fermiones sin masa

En física , particularmente en la teoría cuántica de campos , la ecuación de Weyl es una ecuación de onda relativista para describir partículas sin masa con espín 1/2 llamadas fermiones de Weyl . La ecuación recibe su nombre de Hermann Weyl . Los fermiones de Weyl son uno de los tres tipos posibles de fermiones elementales; los otros dos son los fermiones de Dirac y de Majorana .

Ninguna de las partículas elementales del Modelo Estándar son fermiones de Weyl. Antes de la confirmación de las oscilaciones de los neutrinos , se consideraba posible que el neutrino pudiera ser un fermión de Weyl (ahora se espera que sea un fermión de Dirac o de Majorana). En la física de la materia condensada , algunos materiales pueden presentar cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl, lo que da lugar al concepto de semimetales de Weyl .

Matemáticamente, cualquier fermión de Dirac puede descomponerse en dos fermiones de Weyl de quiralidad opuesta acoplados por el término de masa. ^[1]

Historia

La ecuación de Dirac fue publicada en 1928 por Paul Dirac , y se utilizó por primera vez para modelar partículas de espín 1/2 en el marco de la mecánica cuántica relativista . ^[2] Hermann Weyl publicó su ecuación en 1929 como una versión simplificada de la ecuación de Dirac. ^{[2] [3]} Wolfgang Pauli escribió en 1933 en contra de la ecuación de Weyl porque violaba la paridad . ^[4] Sin embargo, tres años antes, Pauli había predicho la existencia de un nuevo fermión elemental , el neutrino , para explicar la desintegración beta , que finalmente se describió utilizando la ecuación de Weyl.

En 1937, Conyers Herring propuso que los fermiones de Weyl podrían existir como cuasipartículas en la materia condensada. ^[5]

Los neutrinos fueron observados experimentalmente en 1956 como partículas con masas extremadamente pequeñas (e históricamente incluso se pensó que no tenían masa). ^[4] El mismo año, el experimento de Wu demostró que la paridad podía ser violada por la interacción débil , respondiendo a las críticas de Pauli. ^[6] Esto fue seguido por la medición de la helicidad del neutrino en 1958. ^[4] Como los experimentos no mostraron signos de una masa de neutrino, resurgió el interés en la ecuación de Weyl. Por lo tanto, el Modelo Estándar se construyó bajo el supuesto de que los neutrinos eran fermiones de Weyl. ^[4]

Aunque el físico italiano Bruno Pontecorvo había propuesto en 1957 la posibilidad de masas de neutrinos y oscilaciones de neutrinos , ^[4] no fue hasta 1998 que Super-Kamiokande finalmente confirmó la existencia de oscilaciones de neutrinos y su masa distinta de cero. ^[4] Este descubrimiento confirmó que la ecuación de Weyl no puede describir completamente la propagación de neutrinos, ya que las ecuaciones solo pueden describir partículas sin masa. ^[2]

En 2015, el primer semimetal de Weyl se demostró experimentalmente en arseniuro de tantalio cristalino (TaAs) por la colaboración de los equipos de MZ Hasan ( Universidad de Princeton ) y H. Ding ( Academia de Ciencias de China ). ^[5] Independientemente, el mismo año, el equipo de M. Soljačić ( Instituto Tecnológico de Massachusetts ) también observó excitaciones similares a las de Weyl en cristales fotónicos . ^[5]

Ecuación

La ecuación de Weyl se presenta en dos formas. La forma diestra se puede escribir de la siguiente manera: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Desarrollando esta ecuación e insertando para la velocidad de la luz , se obtiene ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

es un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2×2 para y las matrices de Pauli para y es la función de onda , uno de los espinores de Weyl . La forma zurda de la ecuación de Weyl suele escribirse como: ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1,2,3,}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

Las soluciones de las ecuaciones de Weyl dextrógiras e levógiras son diferentes: tienen helicidad dextrógira e levógira y, por lo tanto, quiralidad , respectivamente. Es conveniente indicar esto explícitamente, de la siguiente manera: y ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Soluciones de ondas planas

Las soluciones de onda plana de la ecuación de Weyl se denominan espinores de Weyl zurdos y diestros, cada uno de ellos con dos componentes. Ambos tienen la forma

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

dónde

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

es un espinor de dos componentes dependiente del momento que satisface

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

o

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

Mediante manipulación directa se obtiene que

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

y concluye que las ecuaciones corresponden a una partícula sin masa . Como resultado, la magnitud del momento se relaciona directamente con el vector de onda mediante las relaciones de De Broglie como: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

La ecuación se puede escribir en términos de espinores zurdos y diestros como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

Helicidad

Los componentes izquierdo y derecho corresponden a la helicidad de las partículas, la proyección del operador de momento angular sobre el momento lineal : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Aquí ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Invariancia de Lorentz

Ambas ecuaciones son invariantes de Lorentz bajo la transformación de Lorentz donde Más precisamente, las ecuaciones se transforman como ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

donde es la transpuesta hermítica , siempre que el campo diestro se transforme como ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

La matriz está relacionada con la transformada de Lorentz mediante el doble recubrimiento del grupo de Lorentz por el grupo lineal especial dado por ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Por lo tanto, si la diferencial no transformada se anula en un sistema de Lorentz, también se anula en otro.

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

siempre que el campo zurdo se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Demostración: Ninguna de estas propiedades de transformación es "obvia" en modo alguno, por lo que merece una deducción cuidadosa. Empecemos con la forma

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

para determinar alguna incógnita . La transformada de Lorentz, en coordenadas, es ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Esto conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Para poder utilizar el mapa de Weyl

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Se deben aumentar y disminuir algunos índices. Esto es más fácil de decir que de hacer, ya que invoca la identidad

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

donde es la métrica de Minkowski del espacio plano . La identidad anterior se utiliza a menudo para definir los elementos. Se toma la transpuesta: ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

De esta manera se recupera la forma original, es decir, Realizando las mismas manipulaciones para la ecuación para zurdos, se concluye que ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

con ^[a] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Relación con Majorana

La ecuación de Weyl se interpreta convencionalmente como la descripción de una partícula sin masa. Sin embargo, con una ligera modificación, se puede obtener una versión de dos componentes de la ecuación de Majorana . ^[10] Esto surge porque el grupo lineal especial es isomorfo al grupo simpléctico. El grupo simpléctico se define como el conjunto de todas las matrices complejas 2×2 que satisfacen ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

La relación definitoria se puede reescribir como donde es el conjugado complejo . El campo de la mano derecha, como se señaló anteriormente, se transforma como ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$ ${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

y así el campo conjugado complejo se transforma como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Aplicando la relación definitoria, se concluye que

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

que es exactamente la misma propiedad de covarianza de Lorentz que se observó anteriormente. Por lo tanto, la combinación lineal, utilizando un factor de fase complejo arbitrario ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

se transforma de manera covariante; al establecer esto en cero se obtiene la ecuación compleja de Majorana de dos componentes . La ecuación de Majorana se escribe convencionalmente como una ecuación real de cuatro componentes, en lugar de una ecuación compleja de dos componentes; lo anterior se puede convertir en una ecuación de cuatro componentes (consulte ese artículo para obtener más detalles). De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (que incluye un factor de fase arbitrario ) es ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Como se señaló anteriormente, las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas por una transformación de paridad. El conjugado complejo oblicuo se puede reconocer como la forma conjugada de carga de Por lo tanto, la ecuación de Majorana se puede leer como una ecuación que conecta un espinor con su forma conjugada de carga. Las dos fases distintas en el término de masa están relacionadas con los dos valores propios distintos del operador de conjugación de carga; consulte la conjugación de carga y la ecuación de Majorana para obtener más detalles. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~.}$

Defina un par de operadores, los operadores de Majorana,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

donde es un recordatorio abreviado para tomar el conjugado complejo. Bajo las transformaciones de Lorentz, estas se transforman como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

mientras que los espinores de Weyl se transforman como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

Tal como se indicó anteriormente. Por lo tanto, las combinaciones coincidentes de estos son covariantes de Lorentz y se puede tomar

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

como un par de ecuaciones complejas de Majorana de 2 espinores.

Los productos y son ambos covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Para verificar esto es necesario tener en cuenta que y que El RHS se reduce al operador de Klein-Gordon siempre que , es decir Estos dos operadores de Majorana son, por tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Densidades lagrangianas

Las ecuaciones se obtienen a partir de las densidades lagrangianas.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

Al tratar el espinor y su conjugado (denotado por ) como variables independientes, se obtiene la ecuación de Weyl relevante. ${\displaystyle \dagger }$

Espinores de Weyl

El término espinor de Weyl también se utiliza con frecuencia en un contexto más general, como un elemento de un módulo de Clifford . Esto está estrechamente relacionado con las soluciones dadas anteriormente y da una interpretación geométrica natural a los espinores como objetos geométricos que viven en una variedad . Este contexto general tiene múltiples ventajas: aclara su interpretación como fermiones en física y muestra con precisión cómo definir el espín en la Relatividad General o, de hecho, para cualquier variedad de Riemann o pseudo-variedad de Riemann . Esto se esboza informalmente de la siguiente manera.

La ecuación de Weyl es invariante bajo la acción del grupo de Lorentz. Esto significa que, a medida que se aplican impulsos y rotaciones , la forma de la ecuación en sí no cambia. Sin embargo, la forma del espinor sí cambia. Ignorando por completo el espacio-tiempo , el álgebra de los espinores se describe mediante un álgebra de Clifford (compleja) . Los espinores se transforman bajo la acción del grupo de espín . Esto es completamente análogo a cómo se podría hablar de un vector y cómo se transforma bajo el grupo de rotación , excepto que ahora se ha adaptado al caso de los espinores. ${\displaystyle \psi }$

Dada una variedad pseudo-riemanniana arbitraria de dimensión , se puede considerar su fibrado tangente . En cualquier punto dado , el espacio tangente es un espacio vectorial dimensional . Dado este espacio vectorial, se puede construir el álgebra de Clifford sobre él. Si somos un espacio vectorial basado en , se puede construir un par de espinores de Weyl como ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

y

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

Cuando se examinan adecuadamente a la luz del álgebra de Clifford, estos son naturalmente anticonmutativos , es decir, se tiene que Esto puede interpretarse felizmente como la realización matemática del principio de exclusión de Pauli , lo que permite interpretar estas estructuras formales definidas de manera abstracta como fermiones. Para el espacio-tiempo dimensional de Minkowski , solo hay dos espinores posibles, por convención etiquetados como "izquierdo" y "derecho", como se describió anteriormente. Se puede encontrar una presentación más formal y general de los espinores de Weyl en el artículo sobre el grupo de espín . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

La forma abstracta, relativista general de la ecuación de Weyl puede entenderse de la siguiente manera: dada una variedad pseudo-riemanniana, se construye un fibrado sobre ella, con el grupo de espín como fibra. El grupo de espín es una doble cobertura del grupo ortogonal especial , y por lo tanto se puede identificar el grupo de espín fibra por fibra con el fibrado de marco sobre Cuando se hace esto, la estructura resultante se llama estructura de espín . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle M~.}$

Seleccionar un único punto de la fibra corresponde a seleccionar un marco de coordenadas local para el espacio-tiempo; dos puntos diferentes de la fibra están relacionados por un impulso/rotación (de Lorentz), es decir, por un cambio local de coordenadas. Los habitantes naturales de la estructura de espín son los espinores de Weyl, en el sentido de que la estructura de espín describe completamente cómo se comportan los espinores bajo impulsos/rotaciones (de Lorentz).

Dada una variedad de espín , el análogo de la conexión métrica es la conexión de espín ; ésta es efectivamente "lo mismo" que la conexión normal, sólo que con índices de espín unidos a ella de manera consistente. La derivada covariante puede definirse en términos de la conexión de una manera completamente convencional. Actúa naturalmente sobre el fibrado de Clifford ; el fibrado de Clifford es el espacio en el que viven los espinores. La exploración general de tales estructuras y sus relaciones se denomina geometría de espín .

Definición matemática

Para , la subálgebra par del álgebra compleja de Clifford es isomorfa a , donde . Un espinor de Weyl complejo zurdo (respectivamente, diestro) en un espacio -dimensional es un elemento de (respectivamente, ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$ ${\displaystyle N=2^{n/2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

Casos especiales

Hay tres casos especiales importantes que pueden construirse a partir de espinores de Weyl. Uno es el espinor de Dirac , que puede tomarse como un par de espinores de Weyl, uno levógiro y otro dextrógiro. Estos están acoplados entre sí de tal manera que representan un campo de fermiones cargado eléctricamente. La carga eléctrica surge porque el campo de Dirac se transforma bajo la acción del grupo de espín complejizado. Este grupo tiene la estructura ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

donde es el círculo, y se puede identificar con el del electromagnetismo . El producto es simplemente una notación elegante que denota el producto con puntos opuestos identificados (una doble cobertura). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

El espinor de Majorana es de nuevo un par de espinores de Weyl, pero esta vez dispuestos de forma que el espinor levógiro es el conjugado de carga del espinor dextrógiro. El resultado es un campo con dos grados de libertad menos que el espinor de Dirac. Es incapaz de interactuar con el campo electromagnético, ya que se transforma como escalar bajo la acción del grupo. Es decir, se transforma como espinor, pero de forma transversal, de forma que es invariante bajo la acción del grupo de espín. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

El tercer caso especial es el espinor ELKO, construido de forma muy similar al espinor Majorana, excepto que tiene un signo menos adicional entre el par de carga conjugada. Esto lo vuelve eléctricamente neutro, pero introduce una serie de otras propiedades bastante sorprendentes.

Notas

1. Los resultados que se presentan aquí son idénticos a los de las ecuaciones 52 y 57 de Aste (2010) ^[10] , aunque la derivación realizada aquí es completamente diferente. El doble recubrimiento utilizado aquí también es idéntico a la ecuación 48 de Aste y a la versión actual (diciembre de 2020) del artículo de Wikipedia sobre el grupo de Lorentz .

Referencias

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Lectura adicional

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• Martin, BR; Shaw, G. (2008). Física de partículas . Manchester Physics (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Martin, Brian R.; Shaw, Graham (2013). Física de partículas (3.ª ed.). ISBN 9781118681664– a través de Google Books.
• LaBelle, P. (2010). Supersymmetry Demystified [La supersimetría desmitificada]. Estados Unidos: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4– a través de Google Books.
• Penrose, Roger (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
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Enlaces externos

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf