Escalares ópticos

En relatividad general , los escalares ópticos se refieren a un conjunto de tres funciones escalares (expansión), (cizallamiento) y (torsión/rotación/vorticidad) que describen la propagación de una congruencia nula geodésica . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ ${\displaystyle \}}$

De hecho, estos tres escalares pueden definirse tanto para congruencias geodésicas nulas como temporales con un espíritu idéntico, pero se los llama "escalares ópticos" solo para el caso nulo. Además, son sus predecesores tensoriales los que se adoptan en ecuaciones tensoriales, mientras que los escalares aparecen principalmente en ecuaciones escritas en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose . ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$

Definiciones: expansión, cizallamiento y torsión.

Para congruencias temporales geodésicas

Denotemos el campo vectorial tangente de la línea de mundo de un observador (en una congruencia temporal ) como , y luego se podrían construir "métricas espaciales" inducidas que ${\displaystyle Z^{a}}$

${\displaystyle (1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,}$

donde funciona como un operador de proyección espacial. Se utiliza para proyectar la derivada covariante de coordenadas y se obtiene el tensor auxiliar "espacial" . ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{b}Z_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$

${\displaystyle (2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^{c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\;,}$

donde representa la aceleración cuádruple y es puramente espacial en el sentido de que . Específicamente para un observador con una línea de tiempo geodésica, tenemos ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$

${\displaystyle (3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.}$

Ahora descompóngalo en sus partes simétricas y antisimétricas y , ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle \omega _{ab}}$

${\displaystyle (4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

${\displaystyle \omega _{ab}=B_{[ab]}}$es libre de trazas ( ) mientras que tiene trazas distintas de cero, . Por lo tanto, la parte simétrica se puede reescribir en su parte traza y libre de trazas, ${\displaystyle g^{ab}\omega _{ab}=0}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle g^{ab}\theta _{ab}=\theta }$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$

${\displaystyle (5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.}$

Por lo tanto, en conjunto tenemos

${\displaystyle (6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

Para congruencias nulas geodésicas

Ahora, consideremos una congruencia nula geodésica con un campo de vectores tangente . De manera similar a la situación temporal, también definimos ${\displaystyle k^{a}}$

${\displaystyle (7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,}$

que puede descomponerse en

${\displaystyle (8)\quad {\hat {B}}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,}$

dónde

${\displaystyle (9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={\hat {B}}_{[ab]}\;.}$

Aquí, se utilizan cantidades "con sombrero" para enfatizar que estas cantidades para congruencias nulas son bidimensionales, a diferencia del caso temporal tridimensional. Sin embargo, si solo analizamos congruencias nulas en un artículo, se pueden omitir los sombreros para simplificar.

Definiciones: escalares ópticos para congruencias nulas

Los escalares ópticos ^{[1] [2] [3] [4] [5]} provienen directamente de la "escalarización" de los tensores en la ecuación (9). ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$

La expansión de una congruencia nula geodésica se define por (donde para el espacio libre adoptaremos otro símbolo estándar " " para denotar la derivada covariante ) ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \nabla _{a}}$

${\displaystyle (10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.}$

Comparación con las "tasas de expansión de una congruencia nula": como se muestra en el artículo "Tasa de expansión de una congruencia nula", las tasas de expansión de salida y de entrada, denotadas por y respectivamente, se definen por ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a}n_{b}\;,}$

donde representa la métrica inducida. Además, y se puede calcular mediante ${\displaystyle h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,}$

${\displaystyle (A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,}$

donde y son respectivamente los coeficientes de no afinidad de salida y de entrada definidos por ${\displaystyle \kappa _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \kappa _{(n)}}$

${\displaystyle (A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{(\ell )}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.}$

Además, en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose con la convención , tenemos ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle (A.7)\quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

Como podemos ver, para una congruencia nula geodésica, el escalar óptico juega el mismo papel con las tasas de expansión y . Por lo tanto, para una congruencia nula geodésica, será igual a o . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

La cizalladura de una congruencia nula geodésica se define por

${\displaystyle (11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}={\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta }}^{2}\;.}$

El giro de una congruencia nula geodésica se define por

${\displaystyle (12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.}$

En la práctica, una congruencia nula geodésica suele definirse por su campo vectorial tangente saliente ( ) o entrante ( ) (que también son sus normales nulas). De este modo, obtenemos dos conjuntos de escalares ópticos y , que se definen con respecto a y , respectivamente. ${\displaystyle k^{a}=l^{a}}$ ${\displaystyle k^{a}=n^{a}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

Aplicaciones en la descomposición de las ecuaciones de propagación

Para una congruencia temporal geodésica

La propagación (o evolución) de una congruencia temporal geodésica a lo largo de la siguiente ecuación, ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle Z^{c}}$

${\displaystyle (13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d}\;.}$

Tome la traza de Eq(13) contrayéndola con , y Eq(13) se convierte en ${\displaystyle g^{ab}}$

${\displaystyle (14)\quad Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}}$

en términos de las cantidades de la ecuación (6). Además, la parte simétrica y sin trazas de la ecuación (13) es

${\displaystyle (15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\,(\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.}$

Finalmente, el componente antisimétrico de la ecuación (13) produce

${\displaystyle (16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _{\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.}$

Para una congruencia nula geodésica

Una congruencia nula geodésica (genérica) obedece a la siguiente ecuación de propagación,

${\displaystyle (16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c}{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.}$

Con las definiciones resumidas en la ecuación (9), la ecuación (14) podría reescribirse en las siguientes ecuaciones componenciales,

${\displaystyle (17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (18)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega }}_{ab}\;.}$

Para una congruencia nula geodésica restringida

Para una congruencia nula geodésica restringida en una hipersuperficie nula, tenemos

${\displaystyle (20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,}$

${\displaystyle (21)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,}$

${\displaystyle (22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.}$

Coeficientes de espín, ecuación de Raychaudhuri y escalares ópticos

Para una mejor comprensión de la sección anterior, revisaremos brevemente los significados de los coeficientes de espín NP relevantes para representar congruencias nulas . ^[1] La forma tensorial de la ecuación de Raychaudhuri ^[6] que rige los flujos nulos se lee

${\displaystyle (23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

donde se define de manera que . Las cantidades en la ecuación de Raychaudhuri están relacionadas con los coeficientes de espín mediante ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (24)\quad \theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

donde la ecuación (24) se sigue directamente de y ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

Véase también

• Ecuación de Raychaudhari
• Congruencia (relatividad general)

Referencias

1. Eric Poisson. Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Capítulo 2.
2. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Capítulo 6.
3. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Oxford University Press, 1998. Sección 9.(a).
4. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempos exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Sección 2.1.3.
5. P Schneider, J Ehlers, EE Falco. Lentes gravitacionales . Berlín: Springer, 1999. Sección 3.4.2.
6. Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve revisión . Pramana, 2007, 69 (1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc/0611123]