Teoría de la gravedad de Lovelock

En física teórica , la teoría de la gravedad de Lovelock (a menudo denominada gravedad de Lovelock ) es una generalización de la teoría de la relatividad general de Einstein introducida por David Lovelock en 1971. ^[1] Es la teoría métrica de la gravedad más general que produce ecuaciones conservadas de segundo orden de movimiento en un número arbitrario de dimensiones espacio-temporales D . En este sentido, la teoría de Lovelock es la generalización natural de la relatividad general de Einstein a dimensiones superiores. En tres y cuatro dimensiones ( D = 3, 4), la teoría de Lovelock coincide con la teoría de Einstein, pero en dimensiones superiores las teorías son diferentes. De hecho, para D > 4 se puede considerar la gravedad de Einstein como un caso particular de la gravedad de Lovelock, ya que la acción de Einstein-Hilbert es uno de varios términos que constituyen la acción de Lovelock.

densidad lagrangiana

El lagrangiano de la teoría está dado por una suma de densidades de Euler dimensionalmente extendidas y se puede escribir de la siguiente manera

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ \sum \limits _{n=0}^{t}\alpha _{n}\ {\mathcal {R}}^{n},\qquad {\mathcal {R}}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\delta _{\alpha _{1}\beta _{1}...\alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}\prod \limits _{r=1}^{n}R_{\quad \mu _{r}\nu _{r}}^{\alpha _{r}\beta _{r}}}$

donde R _μν ^αβ representa el tensor de Riemann , y donde el delta de Kronecker generalizado δ se define como el producto antisimétrico

${\displaystyle \delta _{\alpha _{1}\beta _{1}\cdots \alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}=(2n)!\delta _{\lbrack \alpha _{1}}^{\mu _{1}}\delta _{\beta _{1}}^{\nu _{1}}\cdots \delta _{\alpha _{n}}^{\mu _{n}}\delta _{\beta _{n}]}^{\nu _{n}}.}$

Cada término en corresponde a la extensión dimensional de la densidad de Euler en 2 n dimensiones, de modo que éstas sólo contribuyen a las ecuaciones de movimiento para n < D /2. En consecuencia, sin falta de generalidad, t en la ecuación anterior puede considerarse como D = 2 t + 2 para dimensiones pares y D = 2 t + 1 para dimensiones impares. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Constantes de acoplamiento

Las constantes de acoplamiento α _n en el lagrangiano tienen dimensiones de [longitud] ^{2 n − D} , aunque lo habitual es normalizar la densidad lagrangiana en unidades de la escala de Planck ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}=(16\pi G)^{-1}=l_{P}^{2-D}\,.}$

Ampliando el producto en , el Lovelock Lagrangiano toma la forma ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

donde se ve que el acoplamiento α ₀ corresponde a la constante cosmológica Λ, mientras que α _n con n ≥ 2 son constantes de acoplamiento de términos adicionales que representan correcciones ultravioleta a la teoría de Einstein, involucrando contracciones de orden superior del tensor de Riemann R _μν ^αβ . En particular, el término de segundo orden

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{2}=R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }}$

es precisamente el término cuadrático de Gauss-Bonnet , que es la versión dimensionalmente extendida de la densidad de Euler de cuatro dimensiones.

Ecuaciones de movimiento

Al notar que

${\displaystyle T={\sqrt {-g}}{\mathcal {R}}^{2}={\sqrt {-g}}\left(R^{2}+R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)}$

es una constante topológica, podemos eliminar el término del tensor de Riemann y así podemos poner el lagrangiano de Lovelock en la forma

${\displaystyle S=-\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left(\alpha R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-\beta R^{2}+\gamma \kappa ^{-2}R\right)}$

que tiene las ecuaciones de movimiento

${\displaystyle \alpha \left(-{\frac {1}{2}}R_{\rho \sigma }R^{\rho \sigma }g_{\mu \nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2R_{\rho \nu \mu \sigma }R^{\sigma \rho }+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\Box R+\Box R_{\mu \nu }\right)+}$ ${\displaystyle \beta \left({\frac {1}{2}}R^{2}g_{\mu \nu }-2RR_{\mu \nu }-2\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R+2g_{\mu \nu }\Box R\right)+}$ ${\displaystyle \gamma \left(-{\frac {1}{2}}\kappa ^{-2}Rg_{\mu \nu }+\kappa ^{-2}R_{\mu \nu }\right)=0.}$^[2]

Otros contextos

Debido a que la acción de Lovelock contiene, entre otros, el término cuadrático de Gauss-Bonnet (es decir, la característica de Euler de cuatro dimensiones extendida a dimensiones D ), generalmente se dice que la teoría de Lovelock se parece a los modelos de gravedad inspirados en la teoría de cuerdas . Esto se debe a que un término cuadrático está presente en la acción efectiva de baja energía de la teoría de cuerdas heteróticas , y también aparece en las compactaciones hexadimensionales de Calabi -Yau de la teoría M. A mediados de la década de 1980, una década después de que Lovelock propusiera su generalización del tensor de Einstein, los físicos comenzaron a discutir el término cuadrático de Gauss-Bonnet dentro del contexto de la teoría de cuerdas, con especial atención a su propiedad de estar libre de fantasmas en el espacio de Minkowski . Se sabe que la teoría también está libre de fantasmas sobre otros antecedentes exactos, por ejemplo, sobre una de las ramas de la solución esféricamente simétrica encontrada por Boulware y Deser en 1985. En general, la teoría de Lovelock representa un escenario muy interesante para estudiar cómo funciona la física. La gravedad se corrige a corta distancia debido a la presencia de términos de curvatura de orden superior en la acción, y a mediados de la década de 2000, la teoría se consideró como un campo de pruebas para investigar los efectos de la introducción de términos de curvatura superior en el contexto de AdS/ Correspondencia CFT .

Ver también

• teorema de lovelock
• f(R) gravedad
• Gravedad de Gauss-Bonnet
• campo curtright
• La teoría de Horndeski

Notas

1. Lovelock, David (1971). "El tensor de Einstein y sus generalizaciones". Revista de Física Matemática . 12 (3). Publicación AIP: 498–501. Código bibliográfico : 1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 . ISSN  0022-2488.
2. "Teorías de la gravedad de las derivadas superiores" (PDF) . págs.10, 15.

Referencias

• Lovelock, D. (1971). "El tensor de Einstein y sus generalizaciones". Revista de Física Matemática . 12 (3): 498–502. Código bibliográfico : 1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
• Lovelock, D. (1969). "La unicidad de las ecuaciones de campo de Einstein en un espacio de cuatro dimensiones". Archivo de Análisis y Mecánica Racional . 33 (1): 54–70. Código Bib : 1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
• Lovelock, D. (1972). "La tetradimensionalidad del espacio y el tensor de Einstein". Revista de Física Matemática . 13 (6): 874–876. Código bibliográfico : 1972JMP....13..874L. doi :10.1063/1.1666069.
• Lovelock, David; Rund, Hanno (1989), Tensores, formas diferenciales y principios variacionales, Dover , ISBN 978-0-486-65840-7
• Navarro, A.; Navarro, J. (2011). "Revisión del teorema de Lovelock". Revista de Física Matemática . 61 (10): 1950-1956. arXiv : 1005.2386 . Código Bib : 2011JGP....61.1950N. doi : 10.1016/j.geomphys.2011.05.004. S2CID  119314288.
• Zwiebach, B. (1985). "Términos de curvatura al cuadrado y teorías de cuerdas". Física. Letón. B . 156 (5–6): 315. doi :10.1016/0370-2693(85)91616-8..
• Boulware, D.; Deser, S. (1985). "Modelos de gravedad generados por cadenas". Física. Rev. Lett . 55 (24): 2656–2660. doi : 10.1103/PhysRevLett.55.2656. PMID  10032204. S2CID  43449319.