Teoría de las ondas de Airy

En dinámica de fluidos , la teoría de ondas de Airy (a menudo denominada teoría de ondas lineales ) proporciona una descripción linealizada de la propagación de las ondas de gravedad en la superficie de una capa de fluido homogénea . La teoría supone que la capa de fluido tiene una profundidad media uniforme y que el flujo de fluido es no viscoso , incompresible e irrotacional . Esta teoría fue publicada por primera vez, en forma correcta, por George Biddell Airy en el siglo XIX. ^[1]

La teoría de las ondas de Airy se aplica a menudo en la ingeniería oceánica y costera para modelar estados aleatorios del mar , dando una descripción de la cinemática y la dinámica de las olas con suficiente precisión para muchos propósitos. ^[2]^[3] Además, varias propiedades no lineales de segundo orden de las ondas de gravedad superficial y su propagación se pueden estimar a partir de sus resultados. ^[4] La teoría de las ondas de Airy también es una buena aproximación para las olas de tsunami en el océano, antes de que se empinen cerca de la costa.

Esta teoría lineal se utiliza a menudo para obtener una estimación rápida y aproximada de las características de las olas y sus efectos. Esta aproximación es precisa para proporciones pequeñas de la altura de la ola respecto de la profundidad del agua (para olas en aguas poco profundas ) y de la altura de la ola respecto de la longitud de onda (para olas en aguas profundas).

Descripción

La teoría de ondas de Airy utiliza un enfoque de flujo potencial (o potencial de velocidad ) para describir el movimiento de las ondas de gravedad en una superficie de fluido. El uso del flujo potencial (no viscoso e irrotacional) en ondas de agua es notablemente exitoso, dado su fracaso para describir muchos otros flujos de fluidos donde a menudo es esencial tener en cuenta la viscosidad , la vorticidad , la turbulencia o la separación del flujo . Esto se debe al hecho de que para la parte oscilatoria del movimiento del fluido, la vorticidad inducida por las ondas está restringida a algunas capas límite de Stokes oscilatorias delgadas en los límites del dominio del fluido. ^[5]

La teoría de las ondas de Airy se utiliza a menudo en ingeniería oceánica y costera . Especialmente en el caso de las ondas aleatorias , a veces denominadas turbulencia de las olas , la evolución de las estadísticas de las olas (incluido el espectro de las olas ) se predice bien en distancias no demasiado largas (en términos de longitudes de onda) y en aguas no demasiado poco profundas. La difracción es uno de los efectos de las olas que se pueden describir con la teoría de las ondas de Airy. Además, utilizando la aproximación WKBJ , se puede predecir la refracción y el achique de las olas . ^[2]

Los primeros intentos de describir las ondas gravitacionales superficiales mediante flujo potencial fueron realizados, entre otros, por Laplace , Poisson , Cauchy y Kelland . Pero Airy fue el primero en publicar la derivación y formulación correctas en 1841. ^{[1] Poco después, en 1847,}Stokes amplió la teoría lineal de Airy para el movimiento ondulatorio no lineal (conocido como teoría ondulatoria de Stokes ) hasta el tercer orden en la inclinación de la onda. ^[6] Incluso antes de la teoría lineal de Airy, Gerstner derivó una teoría ondulatoria trocoidal no lineal en 1802, que sin embargo no es irrotacional . ^[1]

La teoría de ondas de Airy es una teoría lineal para la propagación de ondas en la superficie de un flujo potencial y por encima de un fondo horizontal. La elevación de la superficie libre $η (x, t)$ de un componente de onda es sinusoidal , en función de la posición horizontal $x$ y el tiempo $t$ :

\eta(x,t)=a\cos \left(kx-\omega t\right)

dónde

$a$ es la amplitud de la onda en metros,
$cos$ es la función coseno ,
$k$ es el número de onda angular en radianes por metro, relacionado con la longitud de onda $λ$ por $k = ⁠ 2π / la ⁠$ ,
$ω$ es la frecuencia angular en radianes por segundo, relacionada con el período $T$ y la frecuencia $f$ por $ω = ⁠ 2π / yo ⁠ = 2πf$ .

Las ondas se propagan a lo largo de la superficie del agua con la velocidad de fase $c p$ :

c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\lambda }{T}}.

El número de onda angular $k$ y la frecuencia $ω$ no son parámetros independientes (y, por lo tanto, tampoco lo son la longitud de onda $λ$ y el período $T$ ), sino que están acoplados. Las ondas de gravedad superficiales en un fluido son ondas dispersivas (que presentan dispersión de frecuencia), lo que significa que cada número de onda tiene su propia frecuencia y velocidad de fase.

Tenga en cuenta que en ingeniería la altura de ola $H$ (la diferencia de elevación entre la cresta y el valle ) se utiliza a menudo:

H=2a\quad {\text{y}}\quad a={\tfrac {1}{2}}H,

válido en el presente caso de ondas periódicas lineales.

Debajo de la superficie, hay un movimiento de fluido asociado con el movimiento de superficie libre. Mientras que la elevación de la superficie muestra una onda que se propaga, las partículas de fluido están en un movimiento orbital. Dentro del marco de la teoría de ondas de Airy, las órbitas son curvas cerradas: círculos en aguas profundas y elipses en profundidad finita, con los círculos desapareciendo antes de alcanzar el fondo de la capa de fluido, y las elipses volviéndose más planas cerca del fondo de la capa de fluido. Entonces, mientras la onda se propaga, las partículas de fluido simplemente orbitan (oscilan) alrededor de su posición promedio . Con el movimiento de propagación de la onda, las partículas de fluido transfieren energía en la dirección de propagación de la onda, sin tener una velocidad media. El diámetro de las órbitas se reduce con la profundidad debajo de la superficie libre. En aguas profundas, el diámetro de la órbita se reduce al 4% de su valor de superficie libre a una profundidad de media longitud de onda.

De manera similar, también hay una oscilación de presión debajo de la superficie libre, y las oscilaciones de presión inducidas por ondas se reducen con la profundidad debajo de la superficie libre, de la misma manera que ocurre con el movimiento orbital de las parcelas de fluido.

Formulación matemática del movimiento ondulatorio

Formulación del problema de flujo

Las ondas se propagan en dirección horizontal, con coordenadas $x$ , y un dominio de fluido limitado por encima por una superficie libre en $z = η (x, t)$ , con $z$ la coordenada vertical (positiva en la dirección ascendente) y $t$ siendo el tiempo. ^[7] El nivel $z = 0$ corresponde con la elevación media de la superficie. El lecho impermeable debajo de la capa de fluido está en $z = - h$ . Además, se supone que el flujo es incompresible e irrotacional (una buena aproximación del flujo en el interior del fluido para ondas en una superficie líquida) y la teoría del potencial se puede utilizar para describir el flujo. El potencial de velocidad $Φ(x, z, t)$ está relacionado con los componentes de velocidad de flujo $u x$ y $u z$ en las direcciones horizontal ( $x$ ) y vertical ( $z$ ) por:

u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{y}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.

Entonces, debido a la ecuación de continuidad para un flujo incompresible, el potencial $Φ$ debe satisfacer la ecuación de Laplace :

Para cerrar el sistema de ecuaciones se necesitan condiciones de contorno en el lecho y en la superficie libre. Para formularlas en el marco de la teoría lineal, es necesario especificar cuál es el estado base (o solución de orden cero ) del flujo. Aquí, suponemos que el estado base es el reposo, lo que implica que las velocidades medias del flujo son cero.

Al ser el lecho impermeable, se llega a la condición de contorno del lecho cinemático :

En el caso de aguas profundas – lo que significa , desde un punto de vista matemático, una profundidad de agua infinita – las velocidades de flujo tienen que tender a cero en el límite a medida que la coordenada vertical tiende a menos infinito: $z \to -\infty$ .

En la superficie libre, para ondas infinitesimales , el movimiento vertical del flujo debe ser igual a la velocidad vertical de la superficie libre. Esto conduce a la condición de contorno cinemática de superficie libre:

Si la elevación de la superficie libre $η (x, t)$ fuera una función conocida, esto sería suficiente para resolver el problema del flujo. Sin embargo, la elevación de la superficie es una incógnita adicional, para la cual se necesita una condición de contorno adicional. Esta es proporcionada por la ecuación de Bernoulli para un flujo potencial inestable. Se supone que la presión sobre la superficie libre es constante. Esta presión constante se toma igual a cero, sin pérdida de generalidad, ya que el nivel de dicha presión constante no altera el flujo. Después de la linealización, esto da la condición de contorno de superficie libre dinámica :

Como se trata de una teoría lineal, en ambas condiciones de contorno de superficie libre (la cinemática y la dinámica), las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) – el valor de $Φ$ y $⁠$ $\partialΦ / \partialz ⁠$ en el nivel medio fijose utiliza $z = 0 .$

Solución para una onda monocromática progresiva

Para una onda que se propaga con una sola frecuencia (una onda monocromática ), la elevación de la superficie tiene la forma: ^[7]

\eta =a\cos(kx-\omega t).

El potencial de velocidad asociado, que satisface la ecuación de Laplace (1) en el interior del fluido, así como las condiciones cinemáticas de contorno en la superficie libre (2) y el lecho (3), es:

\Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),

donde $sinh$ y $cosh$ son las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico , respectivamente. Pero $η$ y $Φ$ también deben satisfacer la condición de contorno dinámica, lo que da como resultado valores no triviales (distintos de cero) para la amplitud de onda $a$ solo si se satisface la relación de dispersión lineal :

\omega ^{2}=gk\tanh kh,

donde $tanh$ es la tangente hiperbólica . Por lo tanto, la frecuencia angular $ω$ y el número de onda $k$ (o, equivalentemente, el período $T$ y la longitud de onda $λ$ ) no se pueden elegir de forma independiente, sino que están relacionados. Esto significa que la propagación de ondas en la superficie de un fluido es un problema propio . Cuando $ω$ y $k$ satisfacen la relación de dispersión, la amplitud de onda $a$ se puede elegir libremente (pero lo suficientemente pequeña para que la teoría de ondas de Airy sea una aproximación válida).

Tabla de magnitudes de onda

En la tabla siguiente se dan varias magnitudes y parámetros de flujo según la teoría de ondas de Airy. ^[7] Las magnitudes dadas son para una situación un poco más general que para la solución dada anteriormente. En primer lugar, las ondas pueden propagarse en una dirección horizontal arbitraria en el plano $x = (x, y) . El vector$ de número de onda es $k$ , y es perpendicular a las levas de las crestas de onda . En segundo lugar, se tiene en cuenta una velocidad de flujo media $U$ , en la dirección horizontal y uniforme sobre (independiente de) la profundidad $z$ . Esto introduce un desplazamiento Doppler en las relaciones de dispersión. En una ubicación fija en la Tierra, la frecuencia angular observada (o frecuencia angular absoluta ) es $ω$ . Por otro lado, en un marco de referencia que se mueve con la velocidad media $U$ (por lo que la velocidad media observada desde este marco de referencia es cero), la frecuencia angular es diferente. Se llama frecuencia angular intrínseca (o frecuencia angular relativa ), denotada $σ$ . Por lo tanto, en el movimiento ondulatorio puro, con $U = 0$ , ambas frecuencias $ω$ y $σ$ son iguales. El número de onda $k$ (y la longitud de onda $λ$ ) son independientes del marco de referencia y no tienen desplazamiento Doppler (para ondas monocromáticas).

La tabla solo muestra las partes oscilatorias de las magnitudes de flujo (velocidades, excursiones de partículas y presión), pero no su valor medio o deriva. Las excursiones de partículas oscilatorias $ξ x$ y $ξ z$ son las integrales temporales de las velocidades de flujo oscilatorias $u x$ y $u z$ respectivamente.

La profundidad del agua se clasifica en tres regímenes: ^[8]

aguas profundas – para una profundidad de agua mayor que la mitad de la longitud de onda , $h > ⁠ 1 / 2 ⁠ λ$ , la velocidad de fase de las olas apenas se ve influenciada por la profundidad (este es el caso de la mayoría de las olas de viento en la superficie del mar y del océano),^[9]
aguas poco profundas – para una profundidad de agua menor al 5% de la longitud de onda, $h < ⁠ 1 / 20 ⁠ λ$ , la velocidad de fase de las olas solo depende de la profundidad del agua, y ya no es una función del período o la longitud de onda;^[10] y
profundidad intermedia – todos los demás casos, $⁠$ $1 / 20 ⁠ λ < h < ⁠ 1 / 2 ⁠ λ$ , donde tanto la profundidad del agua como el período (o longitud de onda) tienen una influencia significativa en la solución de la teoría de ondas de Airy.

En los casos límite de aguas profundas y poco profundas, se pueden realizar aproximaciones simplificadas a la solución, mientras que para profundidades intermedias se deben utilizar las formulaciones completas.

Efectos de la tensión superficial

Debido a la tensión superficial , la relación de dispersión cambia a: ^[11]

\Omega ^{2}(k)=\left(g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}\right)k\,\tanh kh,

donde $γ$ es la tensión superficial en newtons por metro. Todas las ecuaciones anteriores para ondas lineales permanecen iguales, si la aceleración gravitacional $g$ se reemplaza por ^[12]

{\tilde {g}}=g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}.

Como resultado de la tensión superficial, las ondas se propagan más rápido. La tensión superficial solo tiene influencia en el caso de ondas cortas, con longitudes de onda inferiores a unos pocos decímetros en el caso de una interfaz agua-aire. Para longitudes de onda muy cortas (2 mm o menos, en el caso de la interfaz entre el aire y el agua), los efectos de la gravedad son insignificantes. Cabe señalar que la tensión superficial puede verse alterada por los surfactantes .

La velocidad del $grupo$ $\partialΩ / \partial k ⁠$ de ondas capilares, dominadas por efectos de tensión superficial, es mayor que la velocidad de fase $⁠$ $Ohmio / a ⁠$ . Esto es opuesto a la situación de las ondas de gravedad superficial (con tensión superficial despreciable en comparación con los efectos de la gravedad) donde la velocidad de fase excede la velocidad del grupo.^[13]

Ondas interfaciales

Las ondas superficiales son un caso especial de ondas interfaciales, en la interfaz entre dos fluidos de diferente densidad .

Dos capas de profundidad infinita

Consideremos dos fluidos separados por una interfase y sin otros límites. Entonces su relación de dispersión $ω 2 = Ω 2 (k)$ se da a través de ^[11]^[14]^[15]

\Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),

donde $ρ$ y $ρ'$ son las densidades de los dos fluidos, por debajo ( $ρ$ ) y por encima ( $ρ'$ ) de la interfaz, respectivamente. Además, γ es la tensión superficial en la interfaz.

Para que existan ondas interfaciales, la capa inferior debe ser más pesada que la superior, $ρ > ρ'$ . De lo contrario, la interfaz es inestable y se desarrolla una inestabilidad de Rayleigh-Taylor .

Dos capas entre planos rígidos horizontales

Para dos capas homogéneas de fluidos, de espesor medio $h$ por debajo de la interfaz y $h'$ por encima – bajo la acción de la gravedad y limitadas arriba y abajo por paredes rígidas horizontales – la relación de dispersión $ω 2 = Ω 2 (k)$ para las ondas de gravedad se proporciona por: ^[16]

\Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},

donde nuevamente $ρ$ y $ρ'$ son las densidades por debajo y por encima de la interfaz, mientras que $coth$ es la función cotangente hiperbólica . Para el caso en que $ρ'$ es cero, esto se reduce a la relación de dispersión de las ondas de gravedad superficiales en agua de profundidad finita $h$ .

Dos capas delimitadas en la parte superior por una superficie libre

En este caso, la relación de dispersión permite dos modos: un modo barotrópico , en el que la amplitud de la superficie libre es grande en comparación con la amplitud de la onda interfacial, y un modo baroclínico , en el que ocurre lo contrario: la onda interfacial es más alta y está en antifase con la onda de la superficie libre. La relación de dispersión para este caso es de una forma más complicada. ^[17]

Propiedades de las ondas de segundo orden

Varias propiedades de onda de segundo orden , aquellas que son cuadráticas en la amplitud de onda $a$ , se pueden derivar directamente de la teoría de ondas de Airy. Son de importancia en muchas aplicaciones prácticas, como pronósticos de condiciones de onda. ^[18] Usando una aproximación WKBJ , las propiedades de onda de segundo orden también encuentran sus aplicaciones en la descripción de ondas en caso de batimetría de variación lenta y variaciones de flujo medio de corrientes y elevación de la superficie. Así como en la descripción de las interacciones de onda y flujo medio debido a variaciones de tiempo y espacio en amplitud, frecuencia, longitud de onda y dirección del campo de onda en sí.

Tabla de propiedades de ondas de segundo orden

En la siguiente tabla se muestran varias propiedades de las ondas de segundo orden, así como las ecuaciones dinámicas que satisfacen en caso de condiciones de variación lenta en el espacio y el tiempo. A continuación se ofrecen más detalles sobre ellas. La tabla muestra los resultados para la propagación de las ondas en una dimensión espacial horizontal. Más adelante en esta sección se ofrecen descripciones y resultados más detallados para el caso general de propagación en un espacio horizontal bidimensional.

Las últimas cuatro ecuaciones describen la evolución de trenes de olas que varían lentamente a lo largo de la batimetría en interacción con el flujo medio , y pueden derivarse de un principio variacional: el método lagrangiano promedio de Whitham . ^[19] En la ecuación del momento horizontal medio, $d$ $($ $x$ $)$ es la profundidad del agua quieta, es decir, el lecho debajo de la capa de fluido se encuentra en $z$ $= -$ $d$ . Nótese que la velocidad media del flujo en las ecuaciones de masa y momento es la velocidad de transporte de masa $Ũ , incluyendo los efectos de la zona de salpicadura de las olas en el transporte de masa horizontal, y no la velocidad$ euleriana media (por ejemplo, medida con un medidor de flujo fijo).

Densidad de energía de las olas

La energía de las olas es una cantidad de interés primario, ya que es una cantidad primaria que se transporta con los trenes de olas. ^[20] Como se puede ver arriba, muchas cantidades de olas como la elevación de la superficie y la velocidad orbital son de naturaleza oscilatoria con media cero (dentro del marco de la teoría lineal). En las olas de agua, la medida de energía más utilizada es la densidad de energía de ola media por unidad de área horizontal. Es la suma de la densidad de energía cinética y potencial , integrada sobre la profundidad de la capa de fluido y promediada sobre la fase de la ola. La más simple de derivar es la densidad de energía potencial media por unidad de área horizontal $Epot de las ondas de gravedad superficial, que es la desviación de la energía potencial debido a la presencia$ de las olas: ^[21]

{\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}

La barra superior indica el valor medio (que en el presente caso de ondas periódicas puede tomarse como un promedio en el tiempo o como un promedio en una longitud de onda en el espacio).

$De manera similar, se encuentra que$ la densidad de energía cinética media por unidad de área horizontal $Ekin$ del movimiento ondulatorio es: ^[21]

{\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}

donde $σ$ es la frecuencia intrínseca, véase la tabla de magnitudes de onda. Utilizando la relación de dispersión, el resultado para las ondas gravitacionales superficiales es:

E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.

Como se puede observar, las densidades de energía cinética y potencial medias son iguales. Esta es una propiedad general de las densidades de energía de las ondas lineales progresivas en un sistema conservativo . ^[22]^[23] Sumando las contribuciones cinéticas y potenciales, $E pot$ y $E kin$ , la densidad de energía media por unidad de área horizontal $E$ del movimiento ondulatorio es:

E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.

En caso de que los efectos de la tensión superficial no sean despreciables, su contribución también se suma a las densidades de energía potencial y cinética, dando ^[22]

E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},

entonces

E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},

siendo $γ$ la tensión superficial .

Acción de las olas, flujo de energía de las olas y estrés por radiación

En general, puede haber una transferencia de energía entre el movimiento de las olas y el movimiento medio del fluido. Esto significa que la densidad de energía de las olas no es en todos los casos una cantidad conservada (despreciando los efectos disipativos ), pero la densidad de energía total, la suma de la densidad de energía por unidad de área del movimiento de las olas y el movimiento medio del flujo, sí lo es. Sin embargo, para trenes de olas que varían lentamente, que se propagan en batimetrías y campos de flujo medio que varían lentamente, existe una cantidad de ola similar y conservada, la acción de las olas $A = ⁠ mi / σ ⁠$ :^[19]^[24]^[25]

{\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,

con $(U + c g) A$ el flujo de acción y $c g = c g e k$ el vector de velocidad de grupo . La conservación de la acción constituye la base de muchos modelos de olas de viento y modelos de turbulencia de olas . ^[26] También es la base de los modelos de ingeniería costera para el cálculo de la reducción de olas . ^[27] La expansión de la ecuación de conservación de la acción de las olas anterior conduce a la siguiente ecuación de evolución para la densidad de energía de las olas: ^[28]

{\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,

con:

$(U + c g) E$ es el flujo de densidad de energía de onda media,
$S$ es el tensor de tensión de radiación y
$\nabla U$ es el tensor de velocidad media de corte .

En esta ecuación en forma no conservativa, el producto interno de Frobenius $S : (\nabla U)$ es el término fuente que describe el intercambio de energía del movimiento ondulatorio con el flujo medio. Solo en el caso de que la velocidad de corte media sea cero, $\nabla U = 0$ , se conserva la densidad de energía ondulatoria media $E. Los dos tensores$ $S$ y $\nabla U$ están en un sistema de coordenadas cartesianas de la forma: ^[29]

{\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}

siendo $k x$ y $k y$ los componentes del vector de número de onda $k$ y, de manera similar, $U x$ y $U y$ los componentes del vector de velocidad media $U$ .

Flujo de masa de las olas y momento de las olas

El momento horizontal medio por unidad de área $M$ inducido por el movimiento ondulatorio –y también el flujo de masa inducido por la onda o el transporte de masa– es: ^[30]

{\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}

que es un resultado exacto para ondas de agua progresivas periódicas, también válido para ondas no lineales. ^[31] Sin embargo, su validez depende en gran medida de la forma en que se definen el momento de la onda y el flujo de masa. Stokes ya identificó dos posibles definiciones de velocidad de fase para ondas periódicas no lineales: ^[6]

Primera definición de Stokes de la celeridad de las olas (S1): con la velocidad media del flujo euleriano igual a cero para todas las elevaciones $z$ ' por debajo de los valles de las olas , y
Segunda definición de Stokes de celeridad de onda (S2): con un transporte de masa medio igual a cero.

La relación anterior entre el momento de la onda $M$ y la densidad de energía de la onda $E$ es válida dentro del marco de la primera definición de Stokes.

Sin embargo, para las olas perpendiculares a una línea de costa o en un canal de olas de laboratorio cerrado , la segunda definición (S2) es más apropiada. Estos sistemas de olas tienen flujo de masa y momento cero cuando se utiliza la segunda definición. ^[32] Por el contrario, según la primera definición de Stokes (S1), hay un flujo de masa inducido por las olas en la dirección de propagación de las olas, que tiene que ser equilibrado por un flujo medio $U$ en la dirección opuesta, llamado resaca .

En general, existen algunas sutilezas. Por ello, también se utiliza el término pseudomomento de las ondas en lugar de momento de las ondas. ^[33]

Ecuaciones de evolución de masa y momento

Para campos de batimetría , olas y caudal medio que varían lentamente , la evolución del caudal medio se puede describir en términos de la velocidad media de transporte de masa $,$ definida como: ^[34]

{\tilde {\mathbf {U} }}=\mathbf {U} +{\frac {\mathbf {M} }{\rho h}}.

Téngase en cuenta que, en aguas profundas, cuando la profundidad media $h$ tiende al infinito, la velocidad euleriana media $U$ y la velocidad de transporte media $Ũ$ se vuelven iguales.

La ecuación para la conservación de la masa es: ^[19]^[34]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)=0,

donde $h (x, t)$ es la profundidad media del agua, que varía lentamente en el espacio y el tiempo.

De manera similar, el momento horizontal medio evoluciona como: ^[19]^[34]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {S}}\right)=\rho gh\nabla d,

donde $d$ es la profundidad del agua quieta (el fondo marino está en $z = - d$ ), $S$ es el tensor de tensión de radiación de las olas , $I$ es la matriz identidad y $\otimes$ es el producto diádico :

{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}={\begin{pmatrix}{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{y}\\{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{y}\end{pmatrix}}.

Obsérvese que el momento horizontal medio sólo se conserva si el lecho marino es horizontal (la profundidad de aguas tranquilas $d$ es una constante), de acuerdo con el teorema de Noether .

El sistema de ecuaciones se cierra mediante la descripción de las ondas. La propagación de la energía de las olas se describe mediante la ecuación de conservación de la acción de las olas (sin disipación ni interacciones no lineales de las olas): ^[19]^[24]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\sigma }}\right)+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\frac {E}{\sigma }}\right]=0.

La cinemática de las olas se describe a través de la ecuación de conservación de la cresta de la ola: ^[35]

{\frac {\partial \mathbf {k} }{\partial t}}+\nabla \omega =\mathbf {0} ,

con la frecuencia angular $ω$ una función del número de onda (angular) $k$ , relacionada a través de la relación de dispersión . Para que esto sea posible, el campo de onda debe ser coherente . Al tomar el rizo de la conservación de la cresta de onda, se puede ver que un campo de número de onda inicialmente irrotacional sigue siendo irrotacional.

Deriva de Stokes

Al seguir una partícula individual en movimiento ondulatorio puro ( $U = 0$ ), según la teoría de ondas de Airy lineal, una primera aproximación da órbitas elípticas cerradas para las partículas de agua. ^[36] Sin embargo, para ondas no lineales, las partículas exhiben una deriva de Stokes para la cual se puede derivar una expresión de segundo orden a partir de los resultados de la teoría de ondas de Airy (ver la tabla anterior sobre las propiedades de las ondas de segundo orden). ^[37] La velocidad de deriva de Stokes $ū S$ , que es la deriva de la partícula después de un ciclo de onda dividida por el período , se puede estimar utilizando los resultados de la teoría lineal: ^[38]

{\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},

Por lo tanto, varía en función de la elevación. La fórmula dada corresponde a la primera definición de Stokes de celeridad de onda. Cuando $ρ ū S$ se integra sobre la profundidad, se recupera la expresión para el momento medio de onda $M.$ ^[38]

Véase también

Aproximación de Boussinesq (ondas en el agua) : teoría no lineal para ondas en aguas poco profundas .
Onda capilar : ondas superficiales bajo la acción de la tensión superficial.
Onda cnoidal : ondas periódicas no lineales en aguas poco profundas, soluciones de la ecuación de Korteweg-de Vries
Ecuación de pendiente suave : refracción y difracción de ondas superficiales a distintas profundidades
Ondas superficiales del océano : ondas de agua reales como las que se ven en el océano y el mar
Onda de Stokes : ondas periódicas no lineales en aguas no someras
Energía undimotriz : uso de las olas del océano y del mar para generar energía.

Notas

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^ ab Goda, Y. (2000). Mares aleatorios y diseño de estructuras marítimas . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. Vol. 15. Singapur: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3256-6.OCLC 45200228 .
^ Dean y Dalrymple (1991).
^ Phillips (1977), §3.2, págs. 37–43 y §3.6, págs. 60–69.
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^ El error en la velocidad de fase es menor al 2% si se descuidan los efectos de la longitud de onda para $h < ⁠ 1 / 20 ⁠ λ$ .
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Referencias

Histórico

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Lectura adicional

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Landau, LD ; Lifschitz, EM (1986). Mecánica de fluidos . Curso de Física Teórica. Vol. 6 (2.ª edición revisada). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-033932-0.OCLC 15017127 .
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Enlaces externos

Teoría lineal de las olas superficiales del océano en WikiWaves.
Ondas de agua en el MIT .