Ola de Stokes

Onda superficial no lineal y periódica sobre una capa de fluido no viscoso de profundidad media constante

Elevación de la superficie de una ola de aguas profundas según la teoría de tercer orden de Stokes . La pendiente de la onda es: ka  = 0,3, siendo k el número de onda y a la amplitud de la onda . Típico de estas ondas de gravedad superficiales son las crestas afiladas y los valles planos .

Prueba de modelo con olas periódicas en el tanque de remolque de olas del Laboratorio de Ingeniería Oceánica Jere A. Chase, Universidad de New Hampshire .

Perforación ondular y crías cerca de la desembocadura del río Araguari en el noreste de Brasil. La vista es oblicua hacia la boca desde un avión a aproximadamente 100 pies (30 m) de altitud. ^[1] Las ondulaciones que siguen detrás del frente del orificio aparecen como ondas de Stokes lentamente moduladas .

En dinámica de fluidos , una onda de Stokes es una onda superficial no lineal y periódica sobre una capa de fluido no viscoso de profundidad media constante. Este tipo de modelado tiene sus orígenes a mediados del siglo XIX, cuando Sir George Stokes , utilizando un enfoque de series de perturbaciones , ahora conocido como expansión de Stokes , obtuvo soluciones aproximadas para el movimiento ondulatorio no lineal.

La teoría ondulatoria de Stokes es de uso práctico directo para ondas en aguas intermedias y profundas. Se utiliza en el diseño de estructuras costeras y marinas , con el fin de determinar la cinemática del oleaje ( elevación de la superficie libre y velocidades de flujo ). La cinemática de las olas se necesita posteriormente en el proceso de diseño para determinar las cargas de las olas en una estructura. ^[2] Para ondas largas (en comparación con las profundas), y utilizando solo unos pocos términos en la expansión de Stokes, su aplicabilidad se limita a ondas de pequeña amplitud . En aguas tan poco profundas, la teoría de ondas cnoidales a menudo proporciona mejores aproximaciones de ondas periódicas.

Si bien, en sentido estricto, la onda de Stokes se refiere a una onda periódica progresiva de forma permanente, el término también se utiliza en relación con las ondas estacionarias ^[3] e incluso con las ondas aleatorias. ^{[4] [5]}

Ejemplos

Los siguientes ejemplos describen las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad (sin efectos de tensión superficial ) en el caso de movimiento ondulatorio puro, es decir, sin corriente media ambiental.

Ola de Stokes de tercer orden en aguas profundas

Onda de Stokes de tercer orden en aguas profundas bajo la acción de la gravedad. La pendiente de la onda es: ka  = 0,3.

Los tres armónicos que contribuyen a la elevación de la superficie de una ola en aguas profundas, según la teoría de tercer orden de Stokes. La pendiente de la onda es: ka  = 0,3. Para la visibilidad, la escala vertical está distorsionada en un factor de cuatro, en comparación con la escala horizontal.
Descripción: * la línea azul oscuro es la elevación de la superficie de la onda de Stokes de tercer orden, * la línea negra es el componente fundamental de la onda, con número de onda k ( longitud de onda λ, k = 2 π / λ ), * la línea azul claro es el armónico a 2  k (longitud de onda 1 ⁄ 2  λ), y * la línea roja es el armónico a 3  k (longitud de onda 1 ⁄ 3  λ).

Según la teoría de tercer orden de Stokes, la elevación de la superficie libre η , el potencial de velocidad Φ, la velocidad de fase (o celeridad) c y la fase de la onda θ son, para una onda de gravedad superficial progresiva en aguas profundas, es decir, la capa de fluido tiene infinitas profundidad: ^[6] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$

• x es la coordenada horizontal;
• z es la coordenada vertical, con la dirección z positiva hacia arriba – opuesta a la dirección de la gravedad de la Tierra – y z  = 0 correspondiente a la elevación media de la superficie;
• Ya es hora;
• a es la amplitud de onda de primer orden ;
• k es el número de onda angular , k = 2 π / λ siendo λ la longitud de onda ;
• ω es la frecuencia angular , ω = 2 π / τ donde τ es el período , y
• g es la fuerza de la gravedad de la Tierra, una constante en esta aproximación.

El parámetro de expansión ka se conoce como pendiente de la onda. La velocidad de fase aumenta al aumentar la no linealidad ka de las ondas. La altura de ola H , siendo la diferencia entre la elevación de la superficie η en una cresta y un valle , es: ^[7] $${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

Tenga en cuenta que los términos de segundo y tercer orden en el potencial de velocidad Φ son cero. Sólo en el cuarto orden aparecen contribuciones que se desvían de la teoría de primer orden, es decir, la teoría de las ondas de Airy . ^[6] Hasta tercer orden el campo de velocidad orbital u  =  ∇ Φ consiste en un movimiento circular del vector velocidad en cada posición ( x , z ). Como resultado, la elevación de la superficie de las olas de aguas profundas es, en gran medida, trocoidal , como ya señaló Stokes (1847). ^[8]

Stokes observó además que, aunque (en esta descripción euleriana ) el campo de velocidad orbital de tercer orden consiste en un movimiento circular en cada punto, las trayectorias lagrangianas de las parcelas de fluido no son círculos cerrados. Esto se debe a la reducción de la amplitud de la velocidad al aumentar la profundidad debajo de la superficie. Esta deriva lagrangiana de las parcelas de fluido se conoce como deriva de Stokes . ^[8]

Ola de Stokes de segundo orden en profundidad arbitraria

La relación S = a ₂ / a de la amplitud a ₂ del armónico con el doble del número de onda (2  k ), a la amplitud a del fundamental , según la teoría de segundo orden de Stokes para ondas de gravedad superficiales. En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es el parámetro de Stokes S dividido por la pendiente de la ola ka (con k = 2 π / λ ).
Descripción: * la línea azul es válida para una profundidad de agua arbitraria, mientras que * la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (la profundidad del agua es pequeña en comparación con la longitud de onda) y * la línea verde de puntos y guiones es el límite asintótico para aguas profundas ondas.

La elevación de la superficie η y el potencial de velocidad Φ son, según la teoría de segundo orden de Stokes sobre ondas de gravedad superficiales en una capa de fluido de profundidad media h : ^{[6] [9]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

Observe que para una profundidad finita, el potencial de velocidad Φ contiene una deriva lineal en el tiempo, independiente de la posición ( x y z ). Tanto esta deriva temporal como el término de doble frecuencia (que contiene el pecado 2θ) en Φ desaparecen para las ondas de aguas profundas.

Parámetros de Stokes y Ursell

La relación S de las amplitudes de la superficie libre de segundo y primer orden, según la teoría de segundo orden de Stokes, es: ^[6] $${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$$

En aguas profundas, para kh grande la relación S tiene la asíntota $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$$

Para ondas largas, es decir, pequeñas kh , la relación S se comporta como o, en términos de la altura de onda H = 2 a y la longitud de onda λ = 2 π / k : con $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$$

Aquí U es el parámetro Ursell (o parámetro Stokes). Para ondas largas ( λ ≫ h ) de pequeña altura H , es decir, U ≪ 32π ^2/3 ≈ 100 , es aplicable la teoría de Stokes de segundo orden. De lo contrario, para ondas bastante largas ( λ > 7 h ) de altura apreciable H es más apropiada una descripción de onda cnoidal . ^[6] Según Hedges, la teoría de Stokes de quinto orden es aplicable para U < 40 y, en caso contrario, es preferible la teoría de ondas cnoidales de quinto orden . ^{[10] [11]}

Relación de dispersión de tercer orden

Mejora no lineal de la velocidad de fase c = ω / k , según la teoría de tercer orden de Stokes para ondas de gravedad superficial , y utilizando la primera definición de celeridad de Stokes, en comparación con la velocidad de fase de la teoría lineal c ₀ . En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es la mejora no lineal de la velocidad de fase ( c − c ₀ ) / c ₀ dividida por la inclinación de la ola ka al cuadrado .
Descripción: * la línea azul sólida es válida para una profundidad de agua arbitraria, * la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (la profundidad del agua es pequeña en comparación con la longitud de onda) y * la línea verde de puntos y guiones es el límite asintótico para aguas profundas ondas.

Para las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad, la relación de dispersión de tercer orden es, según la primera definición de celeridad de Stokes: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

Esta relación de dispersión de tercer orden es una consecuencia directa de evitar términos seculares al insertar la solución de Stokes de segundo orden en las ecuaciones de tercer orden (de la serie de perturbaciones para el problema de ondas periódicas).

En aguas profundas (longitud de onda corta respecto a la profundidad): y en aguas poco profundas (longitudes de onda largas respecto a la profundidad): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

Como se muestra arriba, la expansión de Stokes de onda larga para la relación de dispersión solo será válida para valores suficientemente pequeños del parámetro Ursell: U ≪ 100 .

Descripción general

El enfoque de Stokes al problema de las ondas no lineales.

Ondas en el patrón de estela Kelvin generadas por un barco en Maas-Waalkanaal en los Países Bajos. Las ondas transversales en este patrón de estela Kelvin son ondas de Stokes casi planas.

" El barco de la NOAA Delaware II tiene mal tiempo en Georges Bank " . Si bien estas olas oceánicas son aleatorias , y no ondas de Stokes (en sentido estricto), indican las típicas crestas afiladas y valles planos que se encuentran en las ondas de gravedad superficiales no lineales.

Un problema fundamental a la hora de encontrar soluciones para las ondas de gravedad superficiales es que se deben aplicar condiciones de contorno en la posición de la superficie libre , que no se conoce de antemano y, por tanto, forma parte de la solución a encontrar. Sir George Stokes resolvió este problema de ondas no lineales en 1847 expandiendo las cantidades de flujo potencial relevantes en una serie de Taylor alrededor de la elevación media (o fija) de la superficie. ^[12] Como resultado, las condiciones de contorno se pueden expresar en términos de cantidades en la elevación media (o fija) de la superficie (que es fija y conocida).

A continuación, se busca una solución para el problema de las ondas no lineales (incluida la expansión de la serie de Taylor alrededor de la elevación media o de la superficie estática) mediante una serie de perturbaciones (conocida como expansión de Stokes ) en términos de un pequeño parámetro, normalmente la pendiente de la onda. . Los términos desconocidos en la expansión se pueden resolver secuencialmente. ^{[6] [8]} A menudo, sólo se necesita una pequeña cantidad de términos para proporcionar una solución con suficiente precisión para fines de ingeniería. ^[11] Las aplicaciones típicas son el diseño de estructuras costeras y marinas , y de barcos .

Otra propiedad de las ondas no lineales es que la velocidad de fase de las ondas no lineales depende de la altura de la ola . En un enfoque de series de perturbaciones, esto fácilmente da lugar a una variación secular espuria de la solución, en contradicción con el comportamiento periódico de las ondas. Stokes resolvió este problema expandiendo también la relación de dispersión a una serie de perturbaciones, mediante un método ahora conocido como método de Lindstedt-Poincaré . ^[6]

Aplicabilidad

Validez de varias teorías para las ondas periódicas del agua, según Le Méhauté (1976). ^[13] El área azul claro indica el rango de validez de la teoría de ondas cnoidales ; amarillo claro para la teoría de ondas de Airy ; y las líneas azules discontinuas delimitan el orden requerido en la teoría ondulatoria de Stokes. El sombreado gris claro proporciona la extensión del rango mediante aproximaciones numéricas utilizando la teoría de la función de corriente de quinto orden , para olas altas ( H  >  1 ⁄ 4  H _rompiendo ).

La teoría ondulatoria de Stokes , cuando se utiliza un orden bajo de expansión de perturbaciones (por ejemplo, hasta segundo, tercer o quinto orden), es válida para ondas no lineales en aguas intermedias y profundas, es decir, para longitudes de onda ( λ ) no grandes en comparación con la media. profundidad ( h ). En aguas poco profundas , la expansión de Stokes de bajo orden se rompe (da resultados poco realistas) para una amplitud de onda apreciable (en comparación con la profundidad). Entonces, las aproximaciones de Boussinesq son más apropiadas. Otras aproximaciones a las ecuaciones de ondas de tipo Boussinesq (multidireccionales) conducen, para la propagación de ondas unidireccionales, a la ecuación de Korteweg-de Vries o la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony . Al igual que las soluciones (casi) exactas de ondas de Stokes, ^[14] estas dos ecuaciones tienen soluciones de ondas solitarias ( solitón ), además de soluciones de ondas periódicas conocidas como ondas cnoidales . ^[11]

Extensiones modernas

Ya en 1914, Wilton amplió la expansión de Stokes para ondas de gravedad superficiales en aguas profundas al décimo orden, aunque introdujo errores de octavo orden. ^[15] De derivó una teoría de quinto orden para la profundidad finita en 1955. ^[16] Para uso en ingeniería, las formulaciones de quinto orden de Fenton son convenientes y aplicables tanto a la primera como a la segunda definición de velocidad de fase (celeridad) de Stokes. ^{[17] La ​​demarcación entre cuándo es preferible la teoría de Stokes de quinto orden a la teoría} de ondas cnoidales de quinto orden es para parámetros de Ursell por debajo de aproximadamente 40. ^{[10] [11]}

Son posibles diferentes opciones para el marco de referencia y los parámetros de expansión en los enfoques tipo Stokes del problema de las ondas no lineales. En 1880, el propio Stokes invirtió las variables dependientes e independientes, tomando el potencial de velocidad y la función de corriente como variables independientes, y las coordenadas ( x , z ) como variables dependientes, siendo x y z las coordenadas horizontales y verticales respectivamente. ^[18] Esto tiene la ventaja de que la superficie libre, en un marco de referencia en el que la onda es estable (es decir, se mueve con la velocidad de fase), se corresponde con una línea en la que la función de la corriente es constante. Entonces se conoce de antemano la ubicación de la superficie libre y no una parte desconocida de la solución. La desventaja es que se reduce el radio de convergencia de la expansión de la serie reformulada. ^[19]

Otro enfoque es utilizar el marco de referencia lagrangiano , siguiendo las parcelas fluidas . Las formulaciones lagrangianas muestran una convergencia mejorada, en comparación con las formulaciones tanto en el marco euleriano como en el marco con el potencial y la función de flujo como variables independientes. ^{[20] [21]}

Crapper obtuvo en 1957 una solución exacta para ondas capilares puras no lineales de forma permanente y para profundidades de fluido infinitas. Tenga en cuenta que estas ondas capilares, al ser ondas cortas forzadas por la tensión superficial , si los efectos de la gravedad son insignificantes, tienen valles agudos y planos. crestas. Esto contrasta con las ondas de gravedad superficiales no lineales, que tienen crestas pronunciadas y valles planos. ^[22]

Varias propiedades integrales de las ondas de Stokes en aguas profundas en función de la pendiente de las olas. ^[23] La pendiente de la ola se define como la relación entre la altura de la ola H y la longitud de onda λ. Las propiedades de las ondas se hacen adimensionales utilizando el número de onda k = 2π / λ , la aceleración gravitacional g y la densidad del fluido ρ .
Se muestran la densidad de energía cinética T , la densidad de energía potencial V , la densidad de energía total E = T + V , la densidad de momento de onda horizontal I y la mejora relativa de la velocidad de fase c . Las densidades de energía de las olas T , V y E se integran en profundidad y se promedian en una longitud de onda, por lo que son energías por unidad de área horizontal; la densidad de momento de onda I es similar. Las líneas discontinuas negras muestran 1/16 ( kH ) ² y 1/8 ( kH ) ² , siendo los valores de las propiedades integrales derivados de la teoría (lineal) de ondas de Airy . La altura máxima de ola se produce para una pendiente de ola H / λ ≈ 0,1412 , por encima de la cual no existen ondas de gravedad superficiales periódicas. ^[24]
Tenga en cuenta que las propiedades de las olas mostradas tienen un máximo para una altura de ola menor que la altura máxima de la ola (ver, por ejemplo, Longuet-Higgins 1975; Cokelet 1977).

Mediante el uso de modelos informáticos, Schwartz (1974) continuó la expansión de Stokes para ondas de gravedad superficiales hasta el orden alto (117). Schwartz ha descubierto que la amplitud a (o a _{1 ) de la} fundamental de primer orden alcanza un máximo antes de alcanzar la altura máxima de onda H. Por lo tanto, la pendiente de la onda ka en términos de amplitud de onda no es una función monótona hasta la onda más alta, y Schwartz utiliza en su lugar kH como parámetro de expansión. Para estimar la ola más alta en aguas profundas, Schwartz ha utilizado aproximantes de Padé y diagramas de Domb-Sykes para mejorar la convergencia de la expansión de Stokes. Williams (1981, 1985) proporciona tablas ampliadas de ondas de Stokes a varias profundidades, calculadas mediante un método diferente (pero de acuerdo con los resultados de otros).

Existen varias relaciones exactas entre propiedades integrales, como la energía cinética y potencial , el momento de onda horizontal y la tensión de radiación , como encontró Longuet-Higgins (1975). Muestra, para las olas de aguas profundas, que muchas de estas propiedades integrales tienen un máximo antes de que se alcance la altura máxima de la ola (en apoyo de los hallazgos de Schwartz). Cokelet (1978) , utilizando un método similar al de Schwartz, calculó y tabuló propiedades integrales para una amplia gama de profundidades de agua finitas (todas alcanzando máximos por debajo de la altura de ola más alta). Además, estas propiedades integrales juegan un papel importante en las leyes de conservación de las ondas del agua, según el teorema de Noether . ^[25] harvtxt error: no target: CITEREFCokelet1978 (help)

En 2005, Hammack, Henderson y Segur proporcionaron la primera evidencia experimental de la existencia de ondas progresivas tridimensionales de forma permanente en aguas profundas, es decir, patrones de ondas progresivas bidimensionales y bidimensionales de forma permanente. ^[26] La existencia de estas ondas tridimensionales constantes en aguas profundas se reveló en 2002, a partir de un estudio de bifurcación de ondas Stokes bidimensionales realizado por Craig y Nicholls, utilizando métodos numéricos. ^[27]

Convergencia e inestabilidad

Convergencia

La convergencia de la expansión de Stokes fue demostrada por primera vez por Levi-Civita (1925) para el caso de ondas de pequeña amplitud, en la superficie libre de un fluido de profundidad infinita. Esto fue ampliado poco después por Struik (1926) para el caso de ondas de profundidad finita y amplitud pequeña. ^[28]

Hacia finales del siglo XX, se demostró que para ondas de amplitud finita la convergencia de la expansión de Stokes depende en gran medida de la formulación del problema de las ondas periódicas. Por ejemplo, una formulación inversa del problema de las ondas periódicas tal como la utiliza Stokes (con las coordenadas espaciales en función del potencial de velocidad y la función de la corriente ) no converge para ondas de gran amplitud. Mientras que otras formulaciones convergen mucho más rápidamente, por ejemplo en el marco de referencia euleriano (con el potencial de velocidad o función de corriente en función de las coordenadas espaciales). ^[19]

Ola más alta

Aviva olas de máxima altura en aguas profundas, bajo la acción de la gravedad.

La pendiente máxima de la ola, para ondas periódicas y que se propagan en aguas profundas, es H / λ = 0,1410633 ± 4 · 10 ⁻⁷ , ^[29] por lo que la altura de la ola es aproximadamente un séptimo ( ⁠1/7⁠ ) ​​de la longitud de onda λ. ^[24] Y las ondas de gravedad superficiales de esta altura máxima tienen una cresta de onda afilada , con un ángulo de 120° (en el dominio del fluido), también para profundidades finitas, como lo demostró Stokes en 1880. ^[18]

John Henry Michell ya realizó en 1893 una estimación precisa de la mayor pendiente de las olas en aguas profundas ( H / λ ≈ 0,142 ) utilizando un método numérico. ^[30] Malcolm A. Grant publicó en 1973 un estudio más detallado del comportamiento de la ola más alta cerca de la cresta de esquinas afiladas. ^[31] La existencia de la ola más alta en aguas profundas con una cresta de ángulo agudo de 120° fue demostrado por John Toland en 1978. ^[32] La convexidad de η(x) entre los máximos sucesivos con una cresta en ángulo agudo de 120° fue probada de forma independiente por CJ Amick et al. y Pavel I. Plotnikov en 1982. ^{[33] [34]}

La onda de Stokes más alta – bajo la acción de la gravedad – se puede aproximar con la siguiente representación simple y precisa de la elevación de la superficie libre η ( x , t ): ^[35] con para $${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$$ $${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$$ $${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$$

y se desplazó horizontalmente sobre un número entero de longitudes de onda para representar las otras ondas en el tren de ondas regular. Esta aproximación tiene una precisión del 0,7% en todas partes, en comparación con la solución "exacta" para la ola más alta. ^[35]

Otra aproximación precisa, aunque menos exacta que la anterior, del movimiento del fluido en la superficie de la onda más pronunciada es por analogía con la oscilación de un péndulo en un reloj de pie . ^[36]

^{En StokesWave.org [37]} se puede encontrar una gran biblioteca de ondas de Stokes calculadas con alta precisión para el caso de profundidad infinita, representadas con alta precisión (al menos 27 dígitos después del punto decimal) como una aproximante de Padé.

Inestabilidad

En aguas más profundas, las ondas de Stokes son inestables. ^[38] Esto fue demostrado por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir en 1967. ^{[39] [40]} La inestabilidad de Benjamin-Feir es una inestabilidad de banda lateral o modulacional, con las modulaciones de banda lateral propagándose en la misma dirección. como onda portadora ; las olas se vuelven inestables en aguas más profundas para una profundidad relativa kh > 1,363 (siendo k el número de onda y h la profundidad media del agua). ^[41] La inestabilidad de Benjamin-Feir se puede describir con la ecuación de Schrödinger no lineal , insertando una onda de Stokes con bandas laterales. ^[38] Posteriormente, con un análisis más refinado, se ha demostrado – teórica y experimentalmente – que la onda de Stokes y sus bandas laterales exhiben recurrencia Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou : una alternancia cíclica entre modulación y demodulación. ^[42]

En 1978 Longuet-Higgins , mediante modelización numérica de ondas y modulaciones totalmente no lineales (que se propagan en la dirección de la onda portadora), presentó un análisis detallado de la región de inestabilidad en aguas profundas: tanto para superarmónicos (para perturbaciones en el plano espacial) escalas más pequeñas que la longitud de onda ) ^[43] y subarmónicos (para perturbaciones en escalas espaciales mayores que ). ^[44] Con el aumento de la amplitud de la onda de Stokes, aparecen nuevos modos de inestabilidad superarmónica. La aparición de una nueva rama de inestabilidad ocurre cuando la energía de la onda pasa al extremo. Un análisis detallado del mecanismo de aparición de las nuevas ramas de inestabilidad ha demostrado que su comportamiento sigue estrechamente una ley simple, que permite encontrar con buena precisión las tasas de crecimiento de la inestabilidad para todas las ramas conocidas y previstas. ^[45] En los estudios de Longuet-Higgins sobre el movimiento ondulatorio bidimensional, así como en los estudios posteriores de modulaciones tridimensionales realizados por McLean et al., se encontraron nuevos tipos de inestabilidades, asociadas con interacciones de ondas resonantes entre cinco (o más) componentes de onda. ^{[46] [47] [48]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Alimenta la expansión

Ecuaciones que rigen un flujo potencial

En muchos casos, el flujo oscilatorio en el interior fluido de las ondas superficiales se puede describir con precisión utilizando la teoría del flujo potencial , aparte de las capas límite cerca de la superficie libre y el fondo (donde la vorticidad es importante, debido a efectos viscosos , ver capa límite de Stokes ). ^[49] Entonces, la velocidad del flujo u puede describirse como el gradiente de un potencial de velocidad : ${\displaystyle \Phi }$

En consecuencia, suponiendo un flujo incompresible , el campo de velocidades u está libre de divergencia y el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace ^[49] ${\displaystyle \Phi }$

en el interior del fluido.

La región del fluido se describe utilizando coordenadas cartesianas tridimensionales ( x , y , z ), siendo x e y las coordenadas horizontales y z la coordenada vertical, con la dirección z positiva opuesta a la dirección de la aceleración gravitacional . El tiempo se denota con t . La superficie libre está ubicada en z = η ( x , y , t ) y el fondo de la región del fluido está en z = − h ( x , y ) .

Las condiciones de frontera de superficie libre para las ondas de gravedad superficiales (utilizando una descripción de flujo potencial ) consisten en una condición de frontera cinemática y una dinámica . ^[50] La condición de frontera cinemática asegura que el componente normal de la velocidad del flujo del fluido , en notación matricial, en la superficie libre es igual al componente de velocidad normal del movimiento de la superficie libre z = η ( x , y , t ) : ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

La condición de frontera dinámica establece que, sin efectos de tensión superficial , la presión atmosférica justo encima de la superficie libre es igual a la presión del fluido justo debajo de la superficie. Para un flujo potencial inestable, esto significa que se debe aplicar la ecuación de Bernoulli en la superficie libre. En caso de presión atmosférica constante, la condición de contorno dinámica se convierte en:

donde la presión atmosférica constante se ha tomado igual a cero, sin pérdida de generalidad .

Ambas condiciones de contorno contienen tanto el potencial como la elevación de la superficie η . Se puede construir una condición de frontera (dinámica) en términos únicamente del potencial tomando la derivada material de la condición de frontera dinámica y utilizando la condición de frontera cinemática: ^{[49] [50] [51]} ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$ $${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

En la parte inferior de la capa de fluido, la impermeabilidad requiere que el componente normal de la velocidad del flujo desaparezca: ^[49]

donde h ( x , y ) es la profundidad del lecho debajo del punto de referencia z = 0 y n es el componente de coordenadas en la dirección normal al lecho .

Para olas permanentes sobre un lecho horizontal, la profundidad media h es constante y la condición de contorno en el lecho se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

Serie de Taylor en las condiciones de contorno de superficie libre.

Las condiciones de contorno de superficie libre (D) y (E) se aplican en la elevación de superficie libre aún desconocida z = η ( x , y , t ) . Se pueden transformar en condiciones de contorno a una elevación fija z = constante mediante el uso de expansiones en serie de Taylor del campo de flujo alrededor de esa elevación. ^[49] Sin pérdida de generalidad, la elevación media de la superficie, alrededor de la cual se desarrollan las series de Taylor, puede tomarse en z = 0 . Esto asegura que la expansión se realice alrededor de una elevación cercana a la elevación real de la superficie libre. Levi-Civita (1925) demostró la convergencia de la serie de Taylor para el movimiento ondulatorio estacionario de pequeña amplitud.

Se utiliza la siguiente notación: la serie de Taylor de algún campo f ( x , y , z , t ) alrededor de z = 0 – y evaluada en z = η ( x , y , t ) – es: ^[52] con subíndice cero evaluación en z = 0 , por ejemplo: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) . $${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$

Aplicando la expansión de Taylor a la condición de frontera de superficie libre Ec. (E) en términos del potencial Φ da: ^{[49] [52]}

mostrando términos hasta productos triples de η , Φ y u , como se requiere para la construcción de la expansión de Stokes hasta O de tercer orden (( ka ) ³ ). Aquí, ka es la pendiente de la onda, siendo k un número de onda característico y una amplitud de onda característica para el problema en estudio. Se supone que los campos η , Φ y u son O ( ka ).

La condición de frontera dinámica de superficie libre Ec. (D) se puede evaluar en términos de cantidades en z = 0 como: ^{[49] [52]}

Las ventajas de estas expansiones en series de Taylor emergen plenamente en combinación con un enfoque en series de perturbaciones, para ondas débilmente no lineales ( ka ≪ 1) .

Enfoque de la serie de perturbaciones

Las series de perturbaciones están en términos de un pequeño parámetro de ordenamiento ε ≪ 1 , que posteriormente resulta ser proporcional (y del orden de) la pendiente de la onda ka ; consulte la solución en serie en esta sección. ^[53] Entonces, tome ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando se aplican en las ecuaciones de flujo, deberían ser válidas independientemente del valor particular de ε . Al igualar en potencias de ε , cada término proporcional a ε a una determinada potencia tiene que ser igual a cero. Como ejemplo de cómo funciona el enfoque de series de perturbaciones, considere la condición de frontera no lineal (G) ; se convierte en: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

Las condiciones de contorno resultantes en z = 0 para los primeros tres órdenes son:

Primer orden:

Segundo orden:

Tercer orden:

De manera similar, a partir de la condición de frontera dinámica (H) , las condiciones en z = 0 en los órdenes 1, 2 y 3 se convierten en:

Primer orden:

Segundo orden:

Tercer orden:

Para las ecuaciones lineales (A) , (B) y (F), la técnica de perturbación da como resultado una serie de ecuaciones independientes de las soluciones de perturbación en otros órdenes:

Las ecuaciones de perturbación anteriores se pueden resolver secuencialmente, es decir, comenzando con el primer orden, continuando luego con el segundo orden, el tercer orden, etc.

Aplicación a ondas periódicas progresivas de forma permanente.

Animación de ondas de Stokes empinadas en aguas profundas, con una longitud de onda de aproximadamente el doble de la profundidad del agua, durante tres períodos de onda sucesivos . La altura de las olas es aproximadamente el 9,2% de la longitud de onda .
Descripción de la animación : Los puntos blancos son partículas fluidas, seguidas en el tiempo. En el caso que se muestra aquí, la velocidad horizontal euleriana media debajo del valle de la onda es cero. ^[54]

Las ondas de forma permanente se propagan con una velocidad de fase constante (o celeridad), denotada como c . Si el movimiento ondulatorio constante tiene lugar en la dirección x horizontal , las cantidades de flujo η y u no dependen por separado de x y del tiempo t , sino que son funciones de x − ct : ^[55] $${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

Además, las ondas son periódicas (y porque también tienen forma permanente) tanto en el espacio horizontal x como en el tiempo t , con longitud de onda λ y período τ respectivamente. Tenga en cuenta que Φ ( x , z , t ) en sí no es necesariamente periódico debido a la posibilidad de una deriva constante (lineal) en x y/o t : ^[56] con φ ( x , z , t ) – así como el derivadas ∂ Φ /∂ t y ∂ Φ /∂ x – siendo periódicas. Aquí β es la velocidad media del flujo por debajo del nivel del valle , y γ está relacionado con la cabeza hidráulica como se observa en un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase c de la onda (por lo que el flujo se vuelve estable en este marco de referencia). $${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$

Para aplicar la expansión de Stokes a ondas periódicas progresivas, es ventajoso describirlas mediante series de Fourier en función de la fase de onda θ ( x , t ): ^{[48] [56]} $${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

suponiendo ondas que se propagan en la dirección x . Aquí k = 2 π / λ es el número de onda , ω = 2 π / τ es la frecuencia angular y c = ω / k (= λ / τ ) es la velocidad de fase .

Ahora bien, la elevación de la superficie libre η ( x , t ) de una onda periódica puede describirse como la serie de Fourier : ^{[11] [56]} $${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

De manera similar, la expresión correspondiente para el potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) es: ^[56] $${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

satisfaciendo tanto la ecuación de Laplace ∇ ² Φ = 0 en el interior del fluido, como la condición de frontera ∂ Φ /∂ z = 0 en el lecho z = − h .

Para un valor dado del número de onda k , los parámetros: An _, Bn ( con n = 1, 2, 3, ... ₎ , c , β y γ aún no se han determinado. Todos ellos pueden expandirse como series de perturbaciones en ε . Fenton (1990) proporciona estos valores para la teoría ondulatoria de Stokes de quinto orden.

Para ondas periódicas progresivas, las derivadas con respecto a x y t de las funciones f ( θ , z ) de θ ( x , t ) se pueden expresar como derivadas con respecto a θ : $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

El punto importante para las ondas no lineales, a diferencia de la teoría lineal de las ondas de Airy , es que la velocidad de fase c también depende de la amplitud de la onda a , además de su dependencia de la longitud de onda λ = 2π / k y la profundidad media h . La negligencia de la dependencia de c de la amplitud de la onda da como resultado la aparición de términos seculares , en las contribuciones de orden superior a la solución de la serie de perturbaciones. Stokes (1847) ya aplicó la corrección no lineal requerida a la velocidad de fase c para evitar el comportamiento secular. Un enfoque general para hacerlo se conoce ahora como método de Lindstedt-Poincaré . Dado que el número de onda k está dado y, por tanto, es fijo, el comportamiento no lineal de la velocidad de fase c = ω / k se tiene en cuenta expandiendo también la frecuencia angular ω en una serie de perturbaciones: ^[9] $${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

Aquí ω ₀ resultará estar relacionado con el número de onda k a través de la relación de dispersión lineal . Sin embargo, las derivadas del tiempo, a través de ∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θ , ahora también aportan contribuciones (que contienen ω ₁ , ω ₂ , etc.) a las ecuaciones gobernantes en órdenes superiores en la serie de perturbaciones. Ajustando ω ₁ , ω ₂ , etc., se puede prevenir el comportamiento secular. Para las ondas de gravedad superficiales, se encuentra que ω ₁ = 0 y la primera contribución distinta de cero a la relación de dispersión proviene de ω ₂ (ver, por ejemplo, la subsección "Relación de dispersión de tercer orden" más arriba). ^[9]

Las dos definiciones de Stokes sobre la celeridad de la onda

Para las ondas superficiales no lineales existe, en general, ambigüedad al dividir el movimiento total en una parte de onda y una parte media . Como consecuencia, existe cierta libertad a la hora de elegir la velocidad de fase (celeridad) de la onda. Stokes (1847) identificó dos definiciones lógicas de velocidad de fase, conocidas como primera y segunda definición de celeridad de onda de Stokes: ^{[6] [11] [57]}

1. La primera definición de Stokes de celeridad de onda tiene, para un movimiento ondulatorio puro, el valor medio de la velocidad de flujo euleriana horizontal Ū _E en cualquier lugar por debajo del nivel de la vaguada igual a cero. Debido a la irrotacionalidad del flujo potencial, junto con el fondo marino horizontal y la periodicidad de la velocidad horizontal media, la velocidad horizontal media es constante entre el nivel del fondo y la vaguada. Entonces, en la primera definición de Stokes , la onda se considera desde un marco de referencia que se mueve con la velocidad horizontal media Ū _E. Este es un enfoque ventajoso cuando se conoce la velocidad de flujo euleriana media Ū _{E , por ejemplo a partir de mediciones.}
2. La segunda definición de Stokes de celeridad de onda es para un marco de referencia donde el transporte de masa horizontal medio del movimiento ondulatorio es igual a cero. Esto difiere de la primera definición debido al transporte de masa en la zona de salpicadura , es decir, entre el valle y el nivel de cresta, en la dirección de propagación de la onda. Este transporte de masa inducido por las olas es causado por la correlación positiva entre la elevación de la superficie y la velocidad horizontal. En el marco de referencia para la segunda definición de Stokes, el transporte de masa inducido por las olas se compensa con una resaca opuesta (por lo que Ū _E  < 0 para ondas que se propagan en la dirección x positiva ). Ésta es la definición lógica de olas generadas en un canal de olas en el laboratorio, u olas que se mueven perpendicularmente hacia una playa.

Como señaló Michael E. McIntyre , el transporte de masa horizontal medio será (cerca de) cero para un grupo de olas que se acerca a aguas tranquilas, y también en aguas profundas el transporte de masa causado por las olas se equilibrará con un transporte de masa opuesto en un retorno. flujo (resaca). ^[58] Esto se debe al hecho de que, de lo contrario, se necesitará una fuerza media grande para acelerar la masa de agua en la que se propaga el grupo de olas.

Notas

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23. Esta figura es una nueva versión y adaptación de la Figura 1 en Schwartz & Fenton (1982)
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53. Al no dimensionar las ecuaciones de flujo y las condiciones de contorno, se pueden identificar diferentes regímenes, dependiendo de la escala de las coordenadas y las cantidades de flujo. En aguas (más) profundas, la longitud de onda característica es la única escala de longitud disponible. Entonces, las coordenadas horizontales y verticales no están dimensionadas con la longitud de onda. Esto lleva a la teoría de las ondas de Stokes. Sin embargo, en aguas poco profundas, la profundidad del agua es la escala característica adecuada para hacer que la coordenada vertical sea adimensional, mientras que las coordenadas horizontales se escalan con la longitud de onda, lo que da como resultado la aproximación de Boussinesq . Para una discusión, ver:
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    • Beji, S. (1998), "Cierre del autor de la discusión de JT Kirby 'Nota sobre un parámetro de no linealidad de las ondas superficiales'", Ingeniería costera , 34 (1–2): 169–171, doi :10.1016/S0378-3839(98)00018-0
54. La física de las ondas se calcula con la teoría de la función de corriente de Rienecker y Fenton (R&F) . Para obtener un código de computadora para calcularlos, consulte: Fenton, JD (1988), "La solución numérica de problemas de ondas de agua constantes", Computers & Geosciences , 14 (3): 357–368, Bibcode :1988CG.....14. .357F, doi :10.1016/0098-3004(88)90066-0.Las animaciones se realizan a partir de los resultados de R&F con una serie de scripts de Matlab y scripts de Shell .
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Referencias

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Otras referencias históricas

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enlaces externos

• Jun Zhang, subprograma Stokes Waves, Universidad Texas A&M , consultado el 9 de agosto de 2012