Onda cnoidal

Solución de onda periódica exacta y no lineal de la ecuación de Korteweg-de Vries

Bombarderos del ejército estadounidense sobrevolando un oleaje casi periódico en aguas poco profundas, cerca de la costa de Panamá (1933). Las crestas pronunciadas y los valles muy planos son característicos de las olas cnoidales.

En dinámica de fluidos , una onda cnoidal es una solución de onda periódica exacta y no lineal de la ecuación de Korteweg-de Vries . Estas soluciones se expresan en términos de la función elíptica de Jacobi cn , por lo que se las denomina ondas cnoidales . Se utilizan para describir ondas de gravedad superficiales de longitud de onda bastante larga , en comparación con la profundidad del agua.

Las soluciones de las ondas cnoidales fueron derivadas por Korteweg y de Vries en su artículo de 1895, en el que también propusieron su ecuación de onda larga dispersiva , ahora conocida como ecuación de Korteweg-de Vries. En el límite de longitud de onda infinita , la onda cnoidal se convierte en una onda solitaria .

La ecuación de Benjamin–Bona–Mahony ha mejorado el comportamiento de longitud de onda corta , en comparación con la ecuación de Korteweg–de Vries, y es otra ecuación de onda unidireccional con soluciones de ondas cnoidales. Además, dado que la ecuación de Korteweg–de Vries es una aproximación a las ecuaciones de Boussinesq para el caso de propagación de ondas unidireccional , las ondas cnoidales son soluciones aproximadas a las ecuaciones de Boussinesq.

Las soluciones de ondas cnoidales también pueden aparecer en otras aplicaciones además de las ondas de gravedad superficial, por ejemplo, para describir ondas acústicas de iones en la física del plasma . ^[1]

Onda cnoidal, caracterizada por crestas más pronunciadas y valles más planos que en una onda sinusoidal . Para el caso mostrado, el parámetro elíptico es m  = 0,9.

Olas cruzadas , formadas por trenes de olas casi cnoidales. Fotografía tomada desde el faro de las ballenas, en el extremo occidental de la isla de Ré (Isla de Rhé), Francia, en el océano Atlántico .

Fondo

Ecuaciones de Korteweg-de Vries y Benjamin-Bona-Mahony

Validez de varias teorías para ondas periódicas en el agua, según Le Méhauté (1976). ^[2] El área azul claro da el rango de validez de la teoría de ondas cnoidales; el amarillo claro para la teoría de ondas de Airy ; y las líneas discontinuas azules demarcan entre el orden requerido en la teoría de ondas de Stokes . El sombreado gris claro da la extensión del rango por aproximaciones numéricas usando la teoría de funciones de corriente de quinto orden , para olas altas ( H  >  ⁠1/4⁠  H _rompiendo ).

La ecuación de Korteweg–de Vries (ecuación KdV) se puede utilizar para describir la propagación unidireccional de ondas largas y débilmente no lineales (onda larga significa que tiene longitudes de onda largas en comparación con la profundidad media del agua) de ondas de gravedad superficiales sobre una capa de fluido. La ecuación KdV es una ecuación de onda dispersiva , que incluye efectos de dispersión de frecuencia y dispersión de amplitud . En su uso clásico, la ecuación KdV es aplicable para longitudes de onda λ superiores a aproximadamente cinco veces la profundidad media del agua h , por lo que para λ  > 5  h ; y para el período τ mayor que con g la fuerza de la aceleración gravitacional . ^[3] Para prever la posición de la ecuación KdV dentro del alcance de las aproximaciones clásicas de ondas, se distingue de las siguientes maneras: ${\displaystyle \scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}}$

• Ecuación de Korteweg-de Vries : describe la propagación hacia adelante de ondas débilmente no lineales y dispersivas, para ondas largas con λ  > 7  h .
• Ecuaciones de aguas poco profundas —también son no lineales y tienen dispersión de amplitud, pero no de frecuencia; son válidas para olas muy largas, λ  > 20  h .
• Ecuaciones de Boussinesq : tienen el mismo rango de validez que la ecuación KdV (en su forma clásica), pero permiten la propagación de ondas en direcciones arbitrarias, por lo que no solo ondas que se propagan hacia adelante. El inconveniente es que las ecuaciones de Boussinesq suelen ser más difíciles de resolver que la ecuación KdV y, en muchas aplicaciones, las reflexiones de las ondas son pequeñas y pueden ignorarse.
• Teoría de ondas de Airy : tiene dispersión de frecuencia completa, por lo que es válida para cualquier profundidad y longitud de onda, pero es una teoría lineal sin dispersión de amplitud, limitada a ondas de baja amplitud.
• Teoría de ondas de Stokes : un enfoque de series de perturbaciones para la descripción de ondas débilmente no lineales y dispersivas, especialmente exitosa en aguas más profundas para longitudes de onda relativamente cortas, en comparación con la profundidad del agua. Sin embargo, para ondas largas, a menudo se prefiere el enfoque de Boussinesq, que también se aplica en la ecuación KdV. Esto se debe a que en aguas poco profundas, la serie de perturbaciones de Stokes necesita muchos términos antes de converger hacia la solución, debido a las crestas puntiagudas y los valles planos largosde las ondas no lineales. Mientras que los modelos KdV o Boussinesq brindan buenas aproximaciones para estas ondas no lineales largas.

La ecuación KdV se puede derivar de las ecuaciones de Boussinesq, pero se necesitan suposiciones adicionales para poder separar la propagación de onda hacia adelante. Para aplicaciones prácticas, la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (ecuación BBM) es preferible a la ecuación KdV, un modelo de propagación hacia adelante similar a KdV pero con un comportamiento de dispersión de frecuencia mucho mejor en longitudes de onda más cortas. Se pueden obtener mejoras adicionales en el rendimiento de onda corta comenzando a derivar una ecuación de onda unidireccional a partir de un modelo moderno mejorado de Boussinesq, válido incluso para longitudes de onda más cortas. ^[4]

Ondas cnoidales

Perfiles de ondas cnoidales para tres valores del parámetro elíptico m .

Las soluciones de onda cnoidal de la ecuación KdV fueron presentadas por Korteweg y de Vries en su artículo de 1895, cuyo artículo se basa en la tesis doctoral de de Vries en 1894. ^[5] Las soluciones de onda solitaria para ondas largas no lineales y dispersivas habían sido encontradas anteriormente por Boussinesq en 1872 y Rayleigh en 1876. La búsqueda de estas soluciones fue desencadenada por las observaciones de esta onda solitaria (u "onda de traslación") por Russell , tanto en la naturaleza como en experimentos de laboratorio. ^[4] Las soluciones de onda cnoidal de la ecuación KdV son estables con respecto a pequeñas perturbaciones. ^[6]

La elevación de la superficie η ( x , t ), en función de la posición horizontal x y el tiempo t , para una onda cnoidal viene dada por: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),}$

donde H es la altura de la ola , λ es la longitud de onda , c es la velocidad de fase y η ₂ es la elevación del valle . Además, cn es una de las funciones elípticas de Jacobi y K ( m ) es la integral elíptica completa del primer tipo ; ambas dependen del parámetro elíptico m . Este último, m , determina la forma de la onda cnoidal. Para m igual a cero, la onda cnoidal se convierte en una función coseno , mientras que para valores cercanos a uno, la onda cnoidal obtiene crestas puntiagudas y valles (muy) planos. Para valores de m menores de 0,95, la función cnoidal se puede aproximar con funciones trigonométricas. ^[8]

Un parámetro adimensional importante para ondas largas no lineales ( λ  ≫  h ) es el parámetro de Ursell :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.}$

Para valores pequeños de U , digamos U  < 5, ^[9] se puede utilizar una teoría lineal, y para valores más altos se deben utilizar teorías no lineales, como la teoría de ondas cnoidales. La zona de demarcación entre las teorías de Stokes y de ondas cnoidales (de tercer o quinto orden) está en el rango de 10–25 del parámetro de Ursell. ^[10] Como se puede ver a partir de la fórmula para el parámetro de Ursell, para una altura de ola relativa dada H / h el parámetro de Ursell (y por lo tanto también la no linealidad) crece rápidamente con el aumento de la longitud de onda relativa λ / h .

Basándose en el análisis del problema no lineal completo de las ondas de gravedad superficial dentro de la teoría del flujo potencial , las ondas cnoidales anteriores pueden considerarse el término de orden más bajo en una serie de perturbaciones. Las teorías de ondas cnoidales de orden superior siguen siendo válidas para ondas más cortas y más no lineales. Fenton desarrolló una teoría de ondas cnoidales de quinto orden en 1979. ^[11] En el artículo de revisión de Fenton se ofrece una descripción detallada y una comparación de las teorías de ondas cnoidales de quinto orden y de Stokes. ^[12]

Las descripciones de las ondas cnoidales, a través de una renormalización, también son adecuadas para las ondas en aguas profundas, incluso en profundidades infinitas, como descubrió Clamond. ^{[13] [14]} Osborne proporcionó en 1994 una descripción de las interacciones de las ondas cnoidales en aguas poco profundas, como las que se encuentran en mares reales. ^[15]

Tensión superficial

En caso de que los efectos de tensión superficial sean (también) importantes, estos pueden incluirse en las soluciones de ondas cnoidales para ondas largas. ^[16]

Soluciones de ondas periódicas

Ecuación de Korteweg-de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV), tal como se utiliza para las ondas de agua y en forma dimensional, es: ^[17]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,}$

dónde

  Detalles de la derivación

No dimensionalización

Todas las cantidades pueden hacerse adimensionales utilizando la aceleración gravitacional g y la profundidad del agua h :

${\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}$   ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}$  y  ${\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}$

La forma adimensional resultante de la ecuación KdV es ^[17]

${\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}$

En el resto, se omitirán las tildes para facilitar la notación.

Relación con una forma estándar

La forma

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0}$

se obtiene mediante la transformación

${\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,}$  y  ${\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}$

pero esta forma no se utilizará más en esta derivación.

Ondas de propagación de forma fija

Se buscan soluciones de ondas periódicas que se propaguen con velocidad de fase c . Estas ondas permanentes deben ser de las siguientes formas:

${\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}$  con la fase de onda : ${\displaystyle \xi }$  ${\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}$

En consecuencia, las derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo se convierten en:

${\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,}$  y  ${\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,}$

donde η ′ denota la derivada ordinaria de η ( ξ ) con respecto al argumento ξ .

Utilizando estos en la ecuación KdV, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria de tercer orden : ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}$

Integración en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Esto se puede integrar una vez, para obtener: ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}$

con r como constante de integración . Después de multiplicar por 4  η ′ e integrar una vez más ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}$

Polinomio cúbico f(η) como se encuentra en las soluciones de ondas periódicas de la ecuación de Korteweg-de Vries y la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony .

con s otra constante de integración. Esto se escribe en la forma

El polinomio cúbico f ( η ) se vuelve negativo para valores positivos grandes de η , y positivo para valores negativos grandes de η . Dado que la elevación de la superficie η tiene un valor real , también lo son las constantes de integración r y s . El polinomio f se puede expresar en términos de sus raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ : ^[7]

Como f ( η ) tiene un valor real, las tres raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ son o bien las tres reales, o bien una es real y las dos restantes son un par de conjugados complejos . En el último caso, con una sola raíz de valor real, solo hay una elevación η en la que f ( η ) es cero. Y, en consecuencia, también solo una elevación en la que la pendiente de la superficie η ′ es cero. Sin embargo, estamos buscando soluciones tipo onda, con dos elevaciones (la cresta y el valle de la onda [física]) , donde la pendiente de la superficie es cero. La conclusión es que las tres raíces de f ( η ) tienen que tener un valor real.

Sin pérdida de generalidad, se supone que las tres raíces reales están ordenadas como:

${\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,}$

Solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Ahora bien, de la ecuación ( A ) se desprende que sólo existen valores reales para la pendiente si f ( η ) es positiva. Esto se corresponde con η ₂  ≤  η ≤  η ₁ , que por tanto es el rango entre el que oscila la elevación de la superficie, véase también el gráfico de f ( η ). Esta condición se satisface con la siguiente representación de la elevación η ( ξ ): ^[7]

De acuerdo con el carácter periódico de las soluciones de onda buscadas y con ψ ( ξ ) la fase de las funciones trigonométricas seno y coseno. De esta forma, se pueden obtener las siguientes descripciones de varios términos en las ecuaciones ( A ) y ( B ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}$

Utilizando estas en las ecuaciones ( A ) y ( B ), se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria que relaciona ψ y ξ , después de algunas manipulaciones: ^[7]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}$

con el lado derecho todavía positivo, ya que η ₁  −  η ₃  ≥  η ₁  −  η ₂ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ψ ( ξ ) es una función monótona, ya que f ( η ) no tiene ceros en el intervalo η ₂  <  η  <  η ₁ . Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria anterior también se puede resolver en términos de ξ ( ψ ) como función de ψ : ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}$

con:

${\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  y  ${\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},}$

donde m es el llamado parámetro elíptico, ^{[19] [20]} que satisface 0  ≤  m  ≤ 1 (porque η ₃  ≤  η ₂  ≤  η ₁ ). Si  se elige ξ = 0 en la cresta de la onda η (0) =  η ₁ la integración da ^[7]

con F ( ψ | m ) la integral elíptica incompleta de primera especie . Las funciones elípticas de Jacobi cn y sn son inversas de F ( ψ | m ) dadas por

${\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}$  y  ${\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Con el uso de la ecuación ( C ), se encuentra la solución de onda cnoidal resultante de la ecuación KdV ^[7]

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Lo que queda es determinar los parámetros: η ₁ , η ₂ , Δ y m .

Relaciones entre los parámetros de las ondas cnoidales

En primer lugar, dado que η ₁ es la elevación de la cresta y η ₂ es la elevación del valle, es conveniente introducir la altura de ola , definida como H  =  η ₁  −  η ₂ . En consecuencia, encontramos para m y para Δ :

${\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  y entonces  ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}$    ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}$

La solución de la onda cnoidal se puede escribir como:

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

En segundo lugar, el canal se encuentra en ψ  =  ⁠1/2⁠  π , entonces la distancia entre ξ  = 0 y ξ  =  ⁠1/2⁠  λ es, con λ la longitud de onda , de la ecuación ( D ):

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}$  donación  ${\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}$

donde K ( m ) es la integral elíptica completa de primera especie . En tercer lugar, dado que la ola oscila alrededor de la profundidad media del agua, el valor medio de η ( ξ ) tiene que ser cero. Por lo tanto ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}$

donde E ( m ) es la integral elíptica completa de segundo tipo . Se obtienen las siguientes expresiones para η ₁ , η ₂ y η ₃ en función del parámetro elíptico m y la altura de ola H : ^[7]

${\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}$   ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}$  y  ${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

En cuarto lugar, a partir de las ecuaciones ( A ) y ( B ) se puede establecer una relación entre la velocidad de fase c y las raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ : ^[7]

${\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Los cambios relativos de velocidad de fase se representan en la figura siguiente. Como se puede ver, para m  > 0,96 (por lo tanto, para 1 −  m  < 0,04), la velocidad de fase aumenta con el aumento de la altura de ola H . Esto se corresponde con las olas más largas y más no lineales. El cambio no lineal en la velocidad de fase, para m fijo , es proporcional a la altura de ola H . Nótese que la velocidad de fase c está relacionada con la longitud de onda λ y el período τ como:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}$

Resumen de la solución

Todas las cantidades aquí se darán en sus formas dimensionales, tal como eran válidas para las ondas de gravedad superficial antes de la no dimensionalización .

Aumento relativo de la velocidad de fase de las soluciones de ondas cnoidales para la ecuación de Korteweg–de Vries en función de 1− m , con m como parámetro elíptico.
El eje horizontal está en una escala logarítmica , de 10 ⁻⁶ a 10 ⁰ =1.
La figura es para cantidades adimensionales, es decir, la velocidad de fase c se hace adimensional con la velocidad de fase en aguas poco profundas , y la altura de ola H se hace adimensional con la profundidad media del agua h . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

La solución de onda cnoidal de la ecuación KdV es: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),}$

donde H es la altura de la ola (diferencia entre la elevación de la cresta y del valle ), η ₂ es la elevación del valle, m es el parámetro elíptico, c es la velocidad de fase y cn es una de las funciones elípticas de Jacobi . El nivel del valle η ₂ y el parámetro de ancho Δ se pueden expresar en términos de H , h y m : ^[7]

${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),}$  y  ${\displaystyle \Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},}$

donde K ( m ) es la integral elíptica completa de primera especie y E ( m ) es la integral elíptica completa de segunda especie . Nótese que K ( m ) y E ( m ) se denotan aquí como una función del parámetro elíptico m y no como una función del módulo elíptico k , con m  =  k ² .

La longitud de onda λ , la velocidad de fase c y el período de onda τ están relacionados con H , h y m por: ^[7]

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  y  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

con g la gravedad de la Tierra .

En la mayoría de los casos, los parámetros de las olas conocidos son la altura de la ola H , la profundidad media del agua h , la aceleración gravitacional g y la longitud de onda λ o el período τ . Luego, las relaciones anteriores para λ , c y τ se utilizan para encontrar el parámetro elíptico m . Esto requiere una solución numérica mediante algún método iterativo . ^[3]

Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony

La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (ecuación BBM), o ecuación de onda larga regularizada (RLW), está en forma dimensional dada por: ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Todas las magnitudes tienen el mismo significado que para la ecuación KdV. La ecuación BBM suele preferirse a la ecuación KdV porque tiene un mejor comportamiento en ondas cortas. ^[21]

  Detalles de la derivación

Derivación

La derivación es análoga a la de la ecuación KdV. ^[22] La ecuación BBM adimensional no está dimensionalizada utilizando la profundidad media del agua h y la aceleración gravitacional g : ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Esto se puede incorporar al formato estándar.

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,}$

A través de la transformación:

${\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x}$  y  ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,}$

pero este formato estándar no se utilizará aquí.

De manera análoga a la derivación de la solución de onda cnoidal para la ecuación KdV, se consideran soluciones de onda periódicas η ( ξ ), con ξ  =  x − ct. Luego, la ecuación BBM se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, que se puede integrar dos veces, para obtener:

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}$  con  ${\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,}$

La cual difiere de la ecuación de KdV únicamente por el factor c delante de ( η ′ ) ² en el lado izquierdo. Mediante una transformación de coordenadas β  =  ξ  /  se puede eliminar el factor c , lo que da como resultado la misma ecuación diferencial ordinaria de primer orden para la ecuación de KdV y la ecuación de BBM. Sin embargo, aquí se utiliza la forma dada en la ecuación anterior. Esto da como resultado una formulación diferente para Δ que la encontrada para la ecuación de KdV: ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}$

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.}$

La relación de la longitud de onda λ , en función de H y m , se ve afectada por este cambio en ${\displaystyle \Delta :}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).}$

Por lo demás, la derivación es análoga a la de la ecuación KdV y no se repetirá aquí.

Reanudar

Los resultados se presentan en forma dimensional, para ondas de agua en una capa de fluido de profundidad h .

La solución de onda cnoidal de la ecuación BBM, junto con las relaciones asociadas para los parámetros es: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}}$

La única diferencia con la solución de onda cnoidal de la ecuación KdV está en la ecuación para la longitud de onda λ . ^[22] Para aplicaciones prácticas, normalmente se proporcionan la profundidad del agua h , la altura de la ola H , la aceleración gravitacional g y la longitud de onda λ , o, más a menudo, el período (física) τ . Luego, el parámetro elíptico m debe determinarse a partir de las relaciones anteriores para λ , c y τ a través de algún método iterativo . ^[3]

Ejemplo

Relaciones de parámetros para soluciones de ondas cnoidales de la ecuación de Korteweg–de Vries. Se muestra −log ₁₀  (1− m ), con m el parámetro elíptico de las integrales elípticas completas , ^[20] como una función del período adimensional τ  √ g / h y la altura relativa de la ola H  /  h . Los valores a lo largo de las líneas de contorno son −log ₁₀  (1− m ), por lo que un valor 1 corresponde a m  = 1 − 10 ⁻¹  = 0,9 y un valor 40 a m  = 1 − 10 ⁻⁴⁰ .

En este ejemplo se considera una onda cnoidal según la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). Se dan los siguientes parámetros de la onda:

• profundidad media del agua h = 5 m (16 pies),
• altura de ola H = 3 m (9,8 pies),
• período de onda τ = 7 s , y
• aceleración gravitacional g = 9,81 m/s ² (32 ft/s ² ).

En lugar del período τ , en otros casos la longitud de onda λ puede aparecer como una cantidad conocida de antemano.

En primer lugar, se calcula el período adimensional:

${\displaystyle \tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,}$

que es mayor que siete, por lo que es lo suficientemente larga para que la teoría cnoidal sea válida. La incógnita principal es el parámetro elíptico m . Este debe determinarse de tal manera que el período de onda τ , calculado a partir de la teoría de ondas cnoidales para la ecuación KdV:

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  y  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

es consistente con el valor dado de τ ; aquí λ es la longitud de onda y c es la velocidad de fase de la onda. Además, K ( m ) y E ( m ) son integrales elípticas completas de primera y segunda clase, respectivamente. La búsqueda del parámetro elíptico m se puede hacer por ensayo y error , o mediante el uso de un algoritmo numérico de búsqueda de raíces . En este caso, a partir de una estimación inicial m _init  = 0,99, por ensayo y error la respuesta

${\displaystyle m=0.9832\,}$

Se ha encontrado que en el proceso se han calculado la longitud de onda λ y la velocidad de fase c :

• longitud de onda λ = 50,8 m (167 pies), y
• velocidad de fase c = 7,26 m/s (23,8 pies/s).

La velocidad de fase c se puede comparar con su valor según las ecuaciones de aguas poco profundas : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,}$

mostrando un incremento del 3,8% debido al efecto de la dispersión de amplitud no lineal , que gana en este caso por la reducción de la velocidad de fase por dispersión de frecuencia .

Ahora que se conoce la longitud de onda, también se puede calcular el número de Ursell :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,}$

que no es pequeña, por lo que la teoría de ondas lineales no es aplicable, pero sí la teoría de ondas cnoidales. Finalmente, la relación entre la longitud de onda y la profundidad es λ  /  h  = 10,2 > 7, lo que nuevamente indica que esta onda es lo suficientemente larga como para ser considerada como una onda cnoidal.

Límite de onda solitaria

Para ondas no lineales muy largas, con el parámetro m cercano a uno, m  → 1, la función elíptica de Jacobi cn se puede aproximar mediante ^[23]

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),}$  con  ${\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.}$

Aquí sinh, cosh, tanh y sech son funciones hiperbólicas . En el límite m  = 1:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),}$

con sech( z ) = 1 / cosh( z ).

Además, para el mismo límite de m  → 1, la integral elíptica completa de primer tipo K ( m ) tiende a infinito, mientras que la integral elíptica completa de segundo tipo E ( m ) tiende a uno. ^[24] Esto implica que los valores límite de la velocidad de fase c y la elevación mínima η ₂ se convierten en: ^[25]

${\displaystyle c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)}$  y  ${\displaystyle \eta _{2}=0.\,}$

En consecuencia, en términos del parámetro de ancho Δ , la solución de onda solitaria para las ecuaciones de KdV y BBM es: ^[25]

${\displaystyle \eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).}$

El parámetro de ancho, tal como se encontró para las ondas cnoidales y ahora en el límite m  → 1, es diferente para la ecuación KdV y la BBM: ^[25]

Pero la velocidad de fase de la onda solitaria en ambas ecuaciones es la misma, para una cierta combinación de altura H y profundidad h .

Límite de altura de ola infinitesimal

Para una altura de onda infinitesimal, se espera que los resultados de la teoría de ondas cnoidales converjan hacia los de la teoría de ondas de Airy para el límite de ondas largas λ  ≫  h . Primero se examinará la elevación de la superficie y, luego, la velocidad de fase de las ondas cnoidales para una altura de onda infinitesimal.

Elevación de la superficie

  Detalles de la derivación

La función elíptica de Jacobi cn se puede expandir en una serie de Fourier ^[26]

${\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).}$

K ′ ( m ) se conoce como el cuarto período imaginario, mientras que K ( m ) también se denomina el cuarto período real de la función elíptica de Jacobi. Están relacionados a través de: K ′ ( m ) =  K (1− m ) ^[27]

Dado que el interés aquí está en la altura de ola pequeña, correspondiente con un parámetro pequeño m  ≪ 1, es conveniente considerar la serie de Maclaurin para los parámetros relevantes, para comenzar con las integrales elípticas completas K y E : ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}$

Luego, los términos de coseno hiperbólico que aparecen en la serie de Fourier se pueden expandir para m pequeño  ≪ 1 de la siguiente manera: ^[26]

${\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}}$  con el nombre q dado por  ${\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).}$

El nombre q tiene el siguiente comportamiento para m pequeño : ^[30]

${\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .}$

En consecuencia, las amplitudes de los primeros términos de la serie de Fourier son:

Entonces, para m  ≪ 1 la función elíptica de Jacobi tiene los primeros términos de la serie de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}}$  con  ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.}$

Y su cuadrado es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}}$

La superficie libre η ( x , t ) de la onda cnoidal se expresará en su serie de Fourier, para valores pequeños del parámetro elíptico m . En primer lugar, nótese que el argumento de la función cn es ξ / Δ , y que la longitud de onda λ  = 2  Δ  K ( m ), por lo que:

${\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.}$  

Además, la elevación media de la superficie libre es cero. Por lo tanto, la elevación de la superficie de las ondas de pequeña amplitud es

${\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .}$

Además, la longitud de onda λ se puede expandir en una serie de Maclaurin del parámetro elíptico m , de manera diferente para KdV y la ecuación BBM, pero esto no es necesario para el presente propósito.

Para una altura de ola infinitesimal , en el límite m  → 0, la elevación de la superficie libre se convierte en:

${\displaystyle \eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,}$  con  ${\displaystyle \theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.}$

Entonces la amplitud de la onda es1/2⁠ H , la mitad de la altura de la ola . Esta es la misma forma que se estudia en la teoría de ondas de Airy , pero tenga en cuenta que la teoría de ondas cnoidales solo es válida para olas largas con su longitud de onda mucho mayor que la profundidad promedio del agua.

Velocidad de fase

  Detalles de la derivación

La velocidad de fase de una onda cnoidal, tanto para la ecuación KdV como para la BBM, viene dada por: ^{[7] [22]}

${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}$

En esta formulación, la velocidad de fase es una función de la altura de la ola H y del parámetro m . Sin embargo, para determinar la propagación de las olas de altura infinitesimal, es necesario determinar el comportamiento de la velocidad de fase a una longitud de onda constante λ en el límite en el que el parámetro m se acerca a cero. Esto se puede hacer utilizando la ecuación para la longitud de onda, que es diferente para la ecuación de KdV y BBM: ^{[7] [22]}

Introduciendo el número de onda relativo κh :

${\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,}$

y utilizando las ecuaciones anteriores para la velocidad de fase y la longitud de onda, el factor H  /  m en la velocidad de fase se puede reemplazar por κh y m . Las velocidades de fase resultantes son:

El comportamiento límite para m pequeños se puede analizar mediante el uso de la serie de Maclaurin para K ( m ) y E ( m ), ^[28] dando como resultado la siguiente expresión para el factor común en ambas fórmulas para c :

${\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,}$

Así que en el límite m  → 0, el factor γ  → − ⁠1/6⁠ . El valor límite de la velocidad de fase para m  ≪ 1 resulta directamente.

Las velocidades de fase para alturas de onda infinitesimales, según las teorías de ondas cnoidales para la ecuación KdV y la ecuación BBM, son ^[32]

donde κ  = 2 π  /  λ es el número de onda y κh es el número de onda relativo. Estas velocidades de fase concuerdan plenamente con el resultado obtenido al buscar directamente soluciones sinusoidales de las ecuaciones linealizadas KdV y BBM. Como es evidente a partir de estas ecuaciones, la ecuación linealizada BBM tiene una velocidad de fase positiva para todos los κh . Por otro lado, la velocidad de fase de la ecuación linealizada KdV cambia de signo para ondas cortas con κh  >  . Esto está en conflicto con la derivación de la ecuación KdV como una ecuación de onda unidireccional. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}$

Derivación directa de las ecuaciones completas de flujo no viscoso

Barrena ondulada y crías cerca de la desembocadura del río Araguari, en el noreste de Brasil. Vista oblicua hacia la desembocadura desde un avión a aproximadamente 30 m de altitud. ^[33]

Las ondas cnoidales pueden derivarse directamente de las ecuaciones de flujo no viscoso , irrotacional e incompresible , y expresarse en términos de tres invariantes del flujo, como lo demostraron Benjamin y Lighthill (1954) en su investigación sobre perforaciones onduladas . En un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase , en cuyo marco de referencia el flujo se convierte en un flujo constante , las soluciones de ondas cnoidales pueden relacionarse directamente con el flujo de masa , el flujo de momento y la carga de energía del flujo. Siguiendo a Benjamin y Lighthill (1954)—usando una descripción de función de corriente de este flujo incompresible—los componentes horizontal y vertical de la velocidad del flujo son las derivadas espaciales de la función de corriente Ψ ( ξ , z ): + ∂ _z Ψ y − ∂ _ξ Ψ , en la dirección ξ y z respectivamente ( ξ  =  x − ct ). La coordenada vertical z es positiva en la dirección ascendente, opuesta a la dirección de la aceleración gravitacional, y el nivel cero de z está en el límite inferior impermeable del dominio del fluido. Mientras que la superficie libre está en z  =  ζ ( ξ ); tenga en cuenta que ζ es la profundidad del agua local, relacionada con la elevación de la superficie η ( ξ ) como ζ  =  h  +  η con h la profundidad media del agua.

En este flujo constante, la descarga Q a través de cada sección transversal vertical es una constante independiente de ξ y, debido al lecho horizontal, también se conserva el flujo de momento horizontal S , dividido por la densidad ρ , a través de cada sección transversal vertical. Además, para este flujo no viscoso e irrotacional, se puede aplicar el principio de Bernoulli y tiene la misma constante de Bernoulli R en todas partes en el dominio del flujo. Se definen como: ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}}$

Para olas bastante largas, suponiendo que la profundidad del agua ζ es pequeña en comparación con la longitud de onda λ , se obtiene la siguiente relación entre la profundidad del agua ζ ( ξ ) y los tres invariantes Q , R y S : ^[34]

Esta ecuación diferencial ordinaria no lineal y de primer orden tiene soluciones de ondas cnoidales.

Para ondas muy largas de amplitud infinitesimal en un fluido de profundidad h y con una velocidad de flujo uniforme v , las constantes de flujo son de acuerdo con las ecuaciones de aguas someras : ^[34]

${\displaystyle Q_{0}=v\,h,}$   ${\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h}$  y  ${\displaystyle S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.}$

La ecuación ( E ) se puede llevar a una forma adimensional mediante el uso de la descarga Q y la aceleración gravitacional g , y definiendo la profundidad crítica h _c :

${\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},}$

relacionado con la demarcación crítica del flujo entre flujo subcrítico y flujo supercrítico (véase también el número de Froude ). En consecuencia, la forma adimensional de la ecuación es

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,}$

con

${\displaystyle {\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},}$  y  ${\displaystyle {\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.}$

Derivación

Primero elimine la presión p del flujo de momento S mediante el uso de la ecuación de Bernoulli:

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.}$

La función de corriente Ψ se expande como una serie de Maclaurin alrededor del lecho en z  = 0, y usando que el lecho impermeable es una línea de corriente y la irrotacionalidad del flujo: Ψ  = 0 y ∂ _z ² Ψ  = 0 en z  = 0: ^[34]

${\displaystyle \Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,}$

con u _b la velocidad horizontal en el lecho z  = 0. Debido a que las ondas son largas, h  ≫  λ , solo los términos hasta z ³ y ζ ³ se conservan en las aproximaciones a Q y S . El flujo de momento S se convierte entonces en: ^[34]

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .}$

La descarga Q se convierte, ya que es el valor de la función de corriente Ψ en la superficie libre z  =  ζ :

${\displaystyle Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .}$

Como se puede observar, la descarga Q es una cantidad O( ζ ). A partir de esto, se ve que la velocidad del lecho es ^[34]

${\displaystyle u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .}$

Nótese que Q  /  ζ es una cantidad de orden uno. Esta relación se utilizará para reemplazar la velocidad del lecho u _b por Q y ζ en el flujo de momento S . De ella se pueden derivar los siguientes términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}}$

En consecuencia, el flujo de momento S se convierte, nuevamente conservando solo términos hasta proporcional a ζ ³ : ^[34]

${\displaystyle S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.}$

Lo cual puede reformularse directamente en forma de ecuación ( E ).

Energía potencial

La densidad de energía potencial

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x}$

con ρ la densidad del fluido , es uno de los infinitos invariantes de la ecuación KdV. ^[35] Esto se puede ver multiplicando la ecuación KdV por la elevación de la superficie η ( x , t ); después del uso repetido de la regla de la cadena, el resultado es:

${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,}$

que está en forma de conservación y es invariante después de la integración en el intervalo de periodicidad (la longitud de onda de una onda cnoidal). La energía potencial no es un invariante de la ecuación de BBM, pero ⁠1/2⁠ ρg  [ η ²  +  ⁠1/6⁠  h ²  ( ∂ _x  η ) ² ] es. ^[36]

Primero se calcula la varianza de la elevación de la superficie en una onda cnoidal. Tenga en cuenta que η ₂  = −(1/ λ )  ₀ ∫ ^λ  H  cn ² ( ξ / Δ |m) d x , cn( ξ / Δ |m) = cos  ψ ( ξ ) y λ  = 2  Δ  K ( m ) , entonces ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Posteriormente se descubre que la energía potencial, tanto para la ecuación KdV como para la BBM, es ^[37]

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].}$

El límite infinitesimal de altura de onda ( m  → 0) de la energía potencial es E _pot  =  ⁠1/16⁠  ρ  g  H ² , lo que concuerda con la teoría de ondas de Airy . ^[37] La ​​altura de la ola es el doble de la amplitud, H  = 2 a , en el límite de onda infinitesimal.

Véase también

• Solitón
• Olas y aguas poco profundas

Notas y referencias

Notas

1. Nezlin, MV (1993), Física de haces intensos en plasmas , CRC Press, pág. 205, ISBN 978-0-7503-0186-2
2. Le Méhauté, B. (1976), Introducción a la hidrodinámica y las ondas de agua , Springer, ISBN 978-0-387-07232-6
3. Dingemans (1997) págs. 718–721.
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9. Debido a la forma en que se ha normalizado, el parámetro de Ursell indica que la teoría lineal es aplicable cuando U  ≪ ​​32  π ²  / 3 ≈ 100.
10. Sorensen, RM (1993), Mecánica básica de las olas: para ingenieros costeros y oceánicos , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-55165-2, pág. 61.
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17. Dingemans (1997) págs.
18. Dingemans (1997) pág. 701.
19. Abramowitz y Stegun (1965) pág. 590.
20. El parámetro elíptico m es distinto del módulo elíptico k : m  =  k ² . Véase Abramowitz y Stegun (1965) pág. 590.
21. Dingemans (1997) págs. 694–696.
22. Dingemans (1997) pág. 715.
23. Abramowitz y Stegun (1965) Ecuación 16.15.2, pág. 574.
24. Abramowitz y Stegun (1965) Figuras 17.1 y 17.2, pág. 592.
25. Dingemans (1997) págs. 702–704.
26. Abramowitz y Stegun (1965) Ec. 16.23.2, pág. 575.
27. Abramowitz y Stegun (1965) Ecuación 17.3.5, pág. 590.
28. Dingemans (1997) pág. 784.
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30. Abramowitz y Stegun (1965) 17.3.21, pág. 591.
31. Abramowitz y Stegun (1965) Ecuación 16.13.2, pág. 573.
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33. Figura 5 en: Susan Bartsch-Winkler; David K. Lynch (1988), Catálogo de ocurrencias y características de mareas en todo el mundo (Circular 1022) , Servicio Geológico de Estados Unidos
34. Benjamín y Lighthill (1954)
35. Dingemans (1997) págs. 730–733.
36. Benjamín, Bona y Mahony (1972)
37. Dingemans (1997) págs. 791–794.

Referencias

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• Benjamin, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Ecuaciones modelo para ondas largas en sistemas dispersivos no lineales", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 272 (1220): 47–78, Bibcode :1972RSPTA.272...47B, doi :10.1098/rsta.1972.0032, JSTOR  74079, S2CID  120673596
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• Korteweg, DJ ; de Vries, G. (1895), "Sobre el cambio de forma de las ondas largas que avanzan en un canal rectangular, y sobre un nuevo tipo de ondas largas estacionarias", Philosophical Magazine , 39 (240): 422–443, doi :10.1080/14786449508620739

Lectura adicional

• Benjamin, TB ; Lighthill, MJ (1954), "On cnoidal waves and bores", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 224 (1159): 448–460, Bibcode :1954RSPSA.224..448B, doi :10.1098/rspa.1954.0172, S2CID  119869484
• de Jager, EM (2006). "Sobre el origen de la ecuación de Korteweg–de Vries". arXiv : math/0602661v1 .
• Drazin, PG ; Johnson, RS (1996), Solitones: una introducción , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33655-0
• Fenton, JD (1979), "Una teoría de ondas cnoidales de orden superior", Journal of Fluid Mechanics , 94 (1): 129–161, Bibcode :1979JFM....94..129F, doi :10.1017/S0022112079000975, S2CID  123177506
• Keulegan, GH; Patterson, GW (1940), "Teoría matemática de las ondas de traslación irrotacionales", Journal of Research of the National Bureau of Standards , 24 (enero): 47–101, doi : 10.6028/jres.024.027
• Miles, JW (1981), "La ecuación de Korteweg-de Vries: un ensayo histórico", Journal of Fluid Mechanics , 106 : 131-147, Bibcode :1981JFM...106..131M, doi :10.1017/S0022112081001559, S2CID  122811526
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Ondas superficiales", en Flügge, S. ; Truesdell, C. (eds.), Encyclopedia of Physics, vol. IX, Springer Verlag, pp. 446–778, archivado desde el original el 2009-01-05 , consultado el 2009-04-18, véanse las páginas 702–714 para las ondas cnoidales
• Wiegel, RL (1960), "Una presentación de la teoría de ondas cnoidales para aplicación práctica", Journal of Fluid Mechanics , 7 (2): 273–286, Bibcode :1960JFM.....7..273W, doi :10.1017/S0022112060001481, S2CID  30587200