alimenta la deriva

Velocidad promedio de una parcela de fluido en una onda de gravedad

Una extensión de madera flotante a lo largo de la costa norte del estado de Washington . La deriva de Stokes, junto con la deriva de Ekman y las corrientes geostróficas , es uno de los procesos relevantes en el transporte de desechos marinos . ^[1]

Para un movimiento ondulatorio puro en dinámica de fluidos , la velocidad de deriva de Stokes es la velocidad promedio cuando se sigue una porción de fluido específica mientras viaja con el flujo de fluido . Por ejemplo, una partícula que flota en la superficie libre de las ondas del agua experimenta una velocidad neta de deriva de Stokes en la dirección de propagación de la onda .

De manera más general, la velocidad de deriva de Stokes es la diferencia entre la velocidad de flujo lagrangiana promedio de una parcela de fluido y la velocidad de flujo euleriana promedio del fluido en una posición fija. Este fenómeno no lineal lleva el nombre de George Gabriel Stokes , quien derivó expresiones para esta deriva en su estudio de 1847 sobre las ondas del agua .

La deriva de Stokes es la diferencia en las posiciones finales, después de un período de tiempo predefinido (generalmente un período de onda ), como se deriva de una descripción en las coordenadas lagrangianas y eulerianas . La posición final en la descripción lagrangiana se obtiene siguiendo una porción de fluido específica durante el intervalo de tiempo. La posición final correspondiente en la descripción euleriana se obtiene integrando la velocidad del flujo en una posición fija, igual a la posición inicial en la descripción lagrangiana, durante el mismo intervalo de tiempo.

La velocidad de deriva de Stokes es igual a la deriva de Stokes dividida por el intervalo de tiempo considerado. A menudo, la velocidad de deriva de Stokes se denomina vagamente deriva de Stokes. La deriva de Stokes puede ocurrir en todos los casos de flujo oscilatorio que no son homogéneos en el espacio. Por ejemplo en ondas de agua , mareas y ondas atmosféricas .

En la descripción lagrangiana , las parcelas de fluido pueden alejarse mucho de sus posiciones iniciales. Como resultado, la definición inequívoca de una velocidad lagrangiana promedio y una velocidad de deriva de Stokes, que pueden atribuirse a una determinada posición fija, no es de ninguna manera una tarea trivial. Sin embargo, la teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre en 1978 proporciona una descripción tan inequívoca ^.

La deriva de Stokes es importante para la transferencia de masa de diversos tipos de materiales y organismos mediante flujos oscilatorios. Desempeña un papel crucial en la generación de circulaciones de Langmuir . ^{[3] Para ondas de agua} periódicas y no lineales , se han calculado y tabulado resultados precisos sobre la deriva de Stokes. ^[4]

Descripción matemática

Los círculos rojos son las posiciones actuales de las partículas sin masa que se mueven con la velocidad del flujo . La línea azul claro indica la trayectoria de estas partículas y los círculos azul claro indican la posición de las partículas después de cada período de onda . Los puntos blancos son partículas fluidas, también seguidas en el tiempo. En los casos que se muestran aquí, la velocidad horizontal euleriana media debajo del valle de la onda es cero.
Observe que el período de la onda , experimentado por una partícula fluida cerca de la superficie libre , es diferente del período de la onda en una posición horizontal fija (como lo indican los círculos de color azul claro). Esto se debe al desplazamiento Doppler .

El movimiento lagrangiano de una parcela fluida con vector de posición x = ξ ( α , t) en las coordenadas eulerianas viene dado por ^[5]

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial t}}=\mathbf {u} {\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )},}$

dónde

∂ ξ /∂ t es la derivada parcial de ξ ( α , t ) con respecto a t ,

ξ ( α , t ) es el vector de posición lagrangiano de una parcela fluida,

u ( x , t ) es la velocidad euleriana ,

x es el vector de posición en el sistema de coordenadas eulerianas ,

α es el vector de posición en el sistema de coordenadas lagrangianos ,

Es el momento .

A menudo, las coordenadas lagrangianas α se eligen para que coincidan con las coordenadas eulerianas x en el momento inicial t = t ₀ : ^[5]

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t_{0})={\boldsymbol {\alpha }}.}$

Si el valor promedio de una cantidad se denota mediante una barra superior, entonces el vector de velocidad euleriano promedio ū _E y el vector de velocidad lagrangiano promedio ū _L son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}&={\overline {\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}},\\{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}&={\overline {{\dot {\boldsymbol {\xi }}}({\boldsymbol {\alpha }},t)}}={\overline {\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial t}}\right)}}={\overline {{\boldsymbol {u}}{\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )}}}.\end{aligned}}}$

Se pueden utilizar diferentes definiciones de promedio , dependiendo del tema de estudio (ver teoría ergódica ):

• promedio de tiempo ,
• promedio espacial ,
• promedio del conjunto ,
• promedio de fase .

La velocidad de deriva de Stokes ū _S se define como la diferencia entre la velocidad euleriana promedio y la velocidad lagrangiana promedio: ^[6]

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{\text{S}}={\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}-{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}.}$

En muchas situaciones, el mapeo de cantidades promedio desde alguna posición euleriana x a una posición lagrangiana correspondiente α constituye un problema. Dado que una parcela de fluido con etiqueta α atraviesa un camino de muchas posiciones eulerianas diferentes x , no es posible asignar α a una x única . La teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre (1978) proporciona una base matemáticamente sólida para un mapeo inequívoco entre cantidades lagrangianas promedio y eulerianas .

Ejemplo: un flujo compresible unidimensional

Para la velocidad euleriana como onda monocromática de cualquier naturaleza en un medio continuo: se obtiene fácilmente mediante la teoría de la perturbación  –con un pequeño parámetro– para la posición de la partícula : ${\displaystyle u={\hat {u}}\sin(kx-\omega t),}$ ${\displaystyle k{\hat {u}}/\omega }$ ${\displaystyle x=\xi (\xi _{0},t)}$

${\displaystyle {\dot {\xi }}=u(\xi ,t)={\hat {u}}\sin(k\xi -\omega t),}$

${\displaystyle \xi (\xi _{0},t)\approx \xi _{0}+{\frac {\hat {u}}{\omega }}\cos(k\xi _{0}-\omega t)-{\frac {1}{4}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega ^{2}}}\sin 2(k\xi _{0}-\omega t)+{\frac {1}{2}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega }}t.}$

Aquí el último término describe la velocidad de deriva de Stokes ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k{\hat {u}}^{2}/\omega .}$

Ejemplo: olas de aguas profundas

Las cigüeñas se desplazan bajo olas periódicas en aguas profundas, durante un período T  = 5 s y una profundidad media de 25 m. Izquierda : velocidades instantáneas del flujo horizontal . Derecha : velocidades promedio del flujo. Línea continua negra: velocidad euleriana promedio; Línea discontinua roja: velocidad lagrangiana promedio, derivada de la media lagrangiana generalizada (GLM).

La deriva de Stokes fue formulada para ondas de agua por George Gabriel Stokes en 1847. Para simplificar, se considera el caso de agua infinitamente profunda, con propagación lineal de una onda sinusoidal sobre la superficie libre de una capa de fluido: ^[8]

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t),}$

dónde

η es la elevación de la superficie libre en la dirección z (metros),

a es la amplitud de la onda (metros),

k es el número de onda : k = 2 π / λ ( radianes por metro),

ω es la frecuencia angular : ω = 2 π / T ( radianes por segundo ),

x es la coordenada horizontal y la dirección de propagación de la onda (metros),

z es la coordenada vertical , con la dirección z positiva apuntando hacia afuera de la capa de fluido (metros),

λ es la longitud de onda (metros),

T es el período de la onda ( segundos ).

Como se deduce a continuación, la componente horizontal ū _S ( z ) de la velocidad de deriva de Stokes para olas de aguas profundas es aproximadamente: ^[9]

${\displaystyle {\bar {u}}_{\text{S}}\approx \omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}}{\lambda T}}{\text{e}}^{4\pi z/\lambda }.}$

Como puede verse, la velocidad de deriva de Stokes ū _S es una cantidad no lineal en términos de la amplitud de onda a . Además, la velocidad de deriva de Stokes decae exponencialmente con la profundidad: a una profundidad de un cuarto de longitud de onda, z = − λ /4, es aproximadamente el 4% de su valor en la superficie libre media , z  = 0.

Derivación

Se supone que las ondas son de amplitud infinitesimal y la superficie libre oscila alrededor del nivel medio z  = 0. Las ondas se propagan bajo la acción de la gravedad, con un vector de aceleración constante de la gravedad (apuntando hacia abajo en la dirección z negativa ). Además, se supone que el fluido no es viscoso ^[10] e incompresible , con una densidad de masa constante . El flujo de fluido es irrotacional . A una profundidad infinita, se considera que el fluido está en reposo .

Ahora el flujo puede representarse mediante un potencial de velocidad φ , que satisface la ecuación de Laplace y ^[8]

${\displaystyle \varphi ={\frac {\omega }{k}}a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t).}$

Para tener soluciones no triviales para este problema de valores propios , la longitud de onda y el período de onda no pueden elegirse arbitrariamente, sino que deben satisfacer la relación de dispersión en aguas profundas : ^[11]

${\displaystyle \omega ^{2}=gk}$

siendo g la aceleración de la gravedad en (m/s ² ). En el marco de la teoría lineal , las componentes horizontal y vertical, ξ _x y ξ _z respectivamente, de la posición lagrangiana ξ son ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{x}&=x+\int {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\,{\text{d}}t=x-a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t),\\\xi _{z}&=z+\int {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\,{\text{d}}t=z+a{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t).\end{aligned}}}$

La componente horizontal ū _S de la velocidad de deriva de Stokes se estima utilizando una expansión de Taylor alrededor de x de la componente de velocidad horizontal euleriana u _x = ∂ ξ _x / ∂ t en la posición ξ : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}_{\text{S}}&={\overline {u_{x}({\boldsymbol {\xi }},t)}}-{\overline {u_{x}(\mathbf {x} ,t)}}\\&={\overline {\left[u_{x}(\mathbf {x} ,t)+(\xi _{x}-x){\frac {\partial u_{x}(\mathbf {x} ,t)}{\partial x}}+(\xi _{z}-z){\frac {\partial u_{x}(\mathbf {x} ,t)}{\partial z}}+\cdots \right]}}-{\overline {u_{x}(\mathbf {x} ,t)}}\\&\approx {\overline {(\xi _{x}-x){\frac {\partial ^{2}\xi _{x}}{\partial x\,\partial t}}}}+{\overline {(\xi _{z}-z){\frac {\partial ^{2}\xi _{x}}{\partial z\,\partial t}}}}\\&={\overline {\left[-a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t)\right]\left[-\omega ka{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t)\right]}}\\&+{\overline {\left[a{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t)\right]\left[\omega ka{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t)\right]}}\\&={\overline {\omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}\left[\sin ^{2}(kx-\omega t)+\cos ^{2}(kx-\omega t)\right]}}\\&=\omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}.\end{aligned}}}$

Ver también

• Fuerza de Coriolis-Stokes
• Deriva de Darwin
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas
• Derivado de material

Referencias

Histórico

• AÑADIR Craik (2005). "George Gabriel Stokes sobre la teoría de las ondas de agua". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 37 (1): 23–42. Código Bib : 2005AnRFM..37...23C. doi : 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175836.
• GG Stokes (1847). "Sobre la teoría de las ondas oscilatorias". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 8 : 441–455.
  Reimpreso en: GG Stokes (1880). Artículos de física y matemáticas, volumen I. Cambridge University Press. págs. 197-229.

Otro

• DG Andrews y ME McIntyre (1978). "Una teoría exacta de ondas no lineales en un flujo medio lagrangiano". Revista de mecánica de fluidos . 89 (4): 609–646. Código bibliográfico : 1978JFM....89..609A. doi :10.1017/S0022112078002773. S2CID  4988274.
• AÑADIR Craik (1985). Interacciones de ondas y flujos de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-36829-2.
• MS Longuet-Higgins (1953). "Transporte masivo en ondas de agua". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 245 (903): 535–581. Código Bib : 1953RSPTA.245..535L. doi :10.1098/rsta.1953.0006. S2CID  120420719.
• Phillips, OM (1977). La dinámica de la capa superior del océano (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-29801-8.
• G. Falkovich (2011). Mecánica de Fluidos (Un curso corto para físicos) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-00575-4.
• Kubota, M. (1994). "Un mecanismo para la acumulación de desechos marinos flotantes al norte de Hawaii". Revista de Oceanografía Física . 24 (5): 1059–1064. Código Bib : 1994JPO....24.1059K. doi :10.1175/1520-0485(1994)024<1059:AMFTAO>2.0.CO;2.

Notas

1. Véase Kubota (1994).
2. Véase Craik (1985), páginas 105-113.
3. Véase , por ejemplo, Craik (1985), página 120.
4. Las soluciones de las trayectorias de las partículas en ondas periódicas totalmente no lineales y el período de onda lagrangiana que experimentan se pueden encontrar, por ejemplo, en: JM Williams (1981). "Limitar las ondas de gravedad en agua de profundidad finita". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 302 (1466): 139–188. Código Bib : 1981RSPTA.302..139W. doi :10.1098/rsta.1981.0159. S2CID  122673867.
   
   JM Williams (1985). Tablas de ondas de gravedad progresivas . Minero. ISBN 978-0-273-08733-5.
5. Véase Phillips (1977), página 43.
6. Véase, por ejemplo, Craik (1985), página 84.
7. Véase Falkovich (2011), páginas 71–72. Hay un error tipográfico en el coeficiente del término superarmónico en la ecuación. (2.20) en la página 71, es decir, en lugar de ${\displaystyle -{\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}.}$
8. Véase, por ejemplo, Phillips (1977), página 37.
9. Véase Phillips (1977), página 44. O Craik (1985), página 110.
10. La viscosidad tiene un efecto pronunciado sobre la velocidad media euleriana y la velocidad media lagrangiana (o transporte de masa), pero mucho menos sobre su diferencia: los Stokes se desplazan fuera de las capas límite cerca del lecho y la superficie libre, ver, por ejemplo, Longuet-Higgins (1953) . O Phillips (1977), páginas 53–58.
11. Véase , por ejemplo, Phillips (1977), página 38.