Producto interno de Frobenius

Binary operation, takes two matrices and returns a scalar

En matemáticas , el producto interno de Frobenius es una operación binaria que toma dos matrices y devuelve un escalar . A menudo se denota . La operación es un producto interno por componentes de dos matrices como si fueran vectores y satisface los axiomas de un producto interno. Las dos matrices deben tener la misma dimensión (el mismo número de filas y columnas), pero no están restringidas a ser matrices cuadradas . ${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Definición

Dadas dos matrices A y B de n × m con valores de números complejos , escritas explícitamente como

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}},}$

el producto interno de Frobenius se define como

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right),}$

donde la línea superior denota el conjugado complejo y denota el conjugado hermitiano . ^[1] Explícitamente, esta suma es ${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}}$

El cálculo es muy similar al producto escalar , que a su vez es un ejemplo de producto interno. ^{[ cita necesaria ]}

Relación con otros productos

Si A y B son matrices con valores reales , entonces el producto interno de Frobenius es la suma de las entradas del producto de Hadamard . Si las matrices están vectorizadas (es decir, convertidas en vectores de columna, denotados por " "), entonces ${\displaystyle \mathrm {vec} (\cdot )}$

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}$ ${\displaystyle \quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.}$^{[ cita necesaria ]}

Propiedades

Como cualquier producto interno, es una forma sesquilineal , para cuatro matrices de valores complejos A , B , C , D , y dos números complejos a y b :

${\displaystyle \langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle \langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Además, intercambiar las matrices equivale a una conjugación compleja:

${\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}$

Para la misma matriz,

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0}$, ^{[ cita necesaria ]}

y,

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0} }$.

norma de frobenius

El producto interno induce la norma de Frobenius.

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.}$^[1]

Ejemplos

Matrices de valor real

Para dos matrices de valor real, si

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21.\end{aligned}}}$

Matrices de valores complejos

Para dos matrices de valores complejos, si

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i,\end{aligned}}}$

mientras

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i.\end{aligned}}}$

Los productos internos de Frobenius de A consigo mismo y de B consigo mismo son respectivamente

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}$ ${\displaystyle \qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74.}$

Ver también

• Producto Hadamard (matrices)
• Producto interno de Hilbert-Schmidt
• Producto Kronecker
• Análisis matricial
• Multiplicación de matrices
• Norma matricial
• Producto tensorial de los espacios de Hilbert : el producto interno de Frobenius es el caso especial en el que los espacios vectoriales son espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita con el producto interno euclidiano habitual.

Referencias

1. Horn, RA; CR, Johnson (1985). Temas de análisis matricial (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 321.ISBN​ 978-0-521-83940-2.