En física cuántica, una anomalía o anomalía cuántica es el hecho de que una simetría de la acción clásica de una teoría no sea una simetría de cualquier regularización de la teoría cuántica completa. [1] [2] En física clásica , una anomalía clásica es la imposibilidad de restaurar una simetría en el límite en el que el parámetro de ruptura de simetría llega a cero. Quizás la primera anomalía conocida fue la anomalía disipativa [3] en la turbulencia : la reversibilidad temporal permanece rota (y la tasa de disipación de energía es finita) en el límite de la viscosidad evanescente .
En la teoría cuántica, la primera anomalía descubierta fue la anomalía de Adler-Bell-Jackiw , en la que la corriente vectorial axial se conserva como una simetría clásica de la electrodinámica , pero la teoría cuantificada la rompe. La relación de esta anomalía con el teorema del índice Atiyah-Singer fue uno de los logros célebres de la teoría. Técnicamente, una simetría anómala en una teoría cuántica es una simetría de la acción , pero no de la medida , y por tanto no de la función de partición en su conjunto.
Una anomalía global es la violación cuántica de una conservación actual de simetría global. Una anomalía global también puede significar que una anomalía global no perturbativa no puede ser capturada por un bucle o por ningún cálculo de diagrama de Feynman perturbativo de bucle; los ejemplos incluyen la anomalía de Witten y la anomalía de Wang-Wen-Witten.
La anomalía global más frecuente en física está asociada con la violación de la invariancia de escala por correcciones cuánticas, cuantificadas en renormalización . Dado que los reguladores generalmente introducen una escala de distancia, las teorías clásicas de invariancia de escala están sujetas a un flujo de grupo de renormalización , es decir, cambian el comportamiento con la escala de energía. Por ejemplo, la gran fuerza de la fuerza nuclear fuerte resulta de una teoría que está débilmente acoplada en distancias cortas y que pasa a una teoría fuertemente acoplada en distancias largas, debido a esta anomalía de escala.
Las anomalías en las simetrías globales abelianas no plantean problemas en una teoría cuántica de campos y se encuentran a menudo (ver el ejemplo de la anomalía quiral ). En particular, las simetrías anómalas correspondientes se pueden solucionar fijando las condiciones de contorno de la integral de trayectoria .
Sin embargo, las anomalías globales en simetrías que se acercan a la identidad con suficiente rapidez en el infinito plantean problemas. En ejemplos conocidos, tales simetrías corresponden a componentes desconectados de simetrías de calibre. Tales simetrías y posibles anomalías ocurren, por ejemplo, en teorías con fermiones quirales o formas diferenciales autoduales acopladas a la gravedad en 4 k + 2 dimensiones, y también en la anomalía de Witten en una teoría de calibre SU(2) ordinaria de 4 dimensiones.
Como estas simetrías desaparecen en el infinito, no pueden estar limitadas por condiciones de contorno y, por lo tanto, deben sumarse en la integral de trayectoria. La suma de la órbita calibre de un estado es una suma de fases que forman un subgrupo de U(1). Como hay una anomalía, no todas estas fases son iguales, por lo tanto no es el subgrupo identidad. La suma de las fases en todos los demás subgrupos de U(1) es igual a cero, por lo que todas las integrales de trayectoria son iguales a cero cuando existe tal anomalía y no existe una teoría.
Puede ocurrir una excepción cuando el espacio de configuraciones está en sí mismo desconectado, en cuyo caso uno puede tener la libertad de elegir integrar cualquier subconjunto de los componentes. Si las simetrías de calibre desconectadas mapean el sistema entre configuraciones desconectadas, entonces hay en general un truncamiento consistente de una teoría en la que uno integra solo aquellos componentes conectados que no están relacionados por grandes transformaciones de calibre. En este caso, las transformaciones de gran calibre no actúan sobre el sistema y no hacen que la integral de trayectoria desaparezca.
En la teoría de calibre SU(2) en el espacio de Minkowski de 4 dimensiones , una transformación de calibre corresponde a la elección de un elemento del grupo unitario especial SU(2) en cada punto del espacio-tiempo. El grupo de tales transformaciones de calibre está conectado.
Sin embargo, si sólo estamos interesados en el subgrupo de transformaciones de calibre que desaparecen en el infinito, podemos considerar que las 3 esferas en el infinito son un solo punto, ya que las transformaciones de calibre desaparecen allí de todos modos. Si las 3 esferas en el infinito se identifican con un punto, nuestro espacio de Minkowski se identifica con las 4 esferas. Así, vemos que el grupo de transformaciones de calibre que desaparecen en el infinito en el 4-espacio de Minkowski es isomorfo al grupo de todas las transformaciones de calibre en las 4-esferas.
Este es el grupo que consiste en una elección continua de una transformación de calibre en SU(2) para cada punto de las 4 esferas. En otras palabras, las simetrías de calibre están en correspondencia uno a uno con los mapas de la 4 esfera a la 3 esfera, que es la variedad de grupo de SU (2). El espacio de tales mapas no está conexo, sino que los componentes conectados se clasifican por el cuarto grupo de homotopía de las 3 esferas, que es el grupo cíclico de orden dos. En particular, hay dos componentes conectados. Uno contiene la identidad y se llama componente de identidad , el otro se llama componente desconectado .
Cuando una teoría contiene un número impar de tipos de fermiones quirales, las acciones de las simetrías de calibre en el componente de identidad y el componente desconectado del grupo de calibre en un estado físico difieren en un signo. Así, cuando se suman todas las configuraciones físicas en la integral de trayectoria , se encuentra que las contribuciones vienen en pares con signos opuestos. Como resultado, todas las integrales de trayectoria desaparecen y no existe una teoría.
La descripción anterior de una anomalía global es para la teoría del calibre SU(2) acoplada a un número impar de fermión Weyl (iso-)spin-1/2 en 4 dimensiones de espacio-tiempo. Esto se conoce como anomalía de Witten SU(2). [4] En 2018, Wang, Wen y Witten descubrieron que la teoría del calibre SU (2) acoplada a un número impar de fermión Weyl (iso-)spin-3/2 en 4 dimensiones del espacio-tiempo tiene una noción más sutil. "Anomalía global perturbativa detectable en ciertas variedades sin espín y sin estructura de espín" . [5] Esta nueva anomalía se denomina nueva anomalía SU(2). Ambos tipos de anomalías [4] [5] tienen análogos de (1) anomalías de calibre dinámico para teorías de calibre dinámico y (2) las anomalías de 't Hooft de simetrías globales. Además, ambos tipos de anomalías son clases mod 2 (en términos de clasificación, ambos son grupos finitos Z 2 de clases de orden 2) y tienen análogos en 4 y 5 dimensiones del espacio-tiempo. [5] De manera más general, para cualquier entero natural N, se puede demostrar que un número impar de multipletes de fermiones en representaciones de (iso)-espín 2N+1/2 puede tener la anomalía SU(2); un número impar de multipletes de fermiones en representaciones de (iso)-espín 4N+3/2 puede tener la nueva anomalía SU(2). [5] Para los fermiones en la representación de espín semientero, se muestra que sólo existen estos dos tipos de anomalías SU(2) y las combinaciones lineales de estas dos anomalías; estos clasifican todas las anomalías globales de SU (2). [5] Esta nueva anomalía SU(2) también juega una regla importante para confirmar la consistencia de la gran teoría unificada SO(10) , con un grupo calibre Spin(10) y fermiones quirales en las representaciones de espinor de 16 dimensiones, definidas en no -colectores de giro. [5] [6]
El concepto de simetrías globales se puede generalizar a simetrías globales superiores, [7] de modo que el objeto cargado para la simetría ordinaria de forma 0 es una partícula, mientras que el objeto cargado para la simetría de forma n es un operador extendido de n dimensiones. Se descubre que la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones con solo campos de calibre SU (2) con un término theta topológico puede tener una anomalía mixta de 't Hooft superior entre la simetría de inversión de tiempo de forma 0 y el centro Z 2 de forma 1. simetría. [8] La anomalía de 't Hooft de la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones se puede escribir con precisión como una teoría de campo topológico invertible de 5 dimensiones o matemáticamente como una invariante de bordismo de 5 dimensiones, generalizando la imagen de entrada de anomalías a esta clase Z 2 de anomalía global que involucra simetrías superiores. [9] En otras palabras, podemos considerar la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones con un término topológico theta vivo como una condición de frontera de una cierta teoría de campos topológicos invertibles de clase Z 2 , para que coincida con sus anomalías superiores en las 4 dimensiones. Perímetro. [9]
Las anomalías en las simetrías de calibre conducen a una inconsistencia, ya que se requiere una simetría de calibre para cancelar grados de libertad no físicos con una norma negativa (como un fotón polarizado en la dirección del tiempo). Un intento de cancelarlas (es decir, construir teorías consistentes con las simetrías de calibre) a menudo conduce a restricciones adicionales en las teorías (como es el caso de la anomalía de calibre en el modelo estándar de física de partículas). Las anomalías en las teorías de calibre tienen conexiones importantes con la topología y la geometría del grupo de calibre .
Las anomalías en las simetrías de calibre se pueden calcular exactamente en el nivel de un bucle. A nivel de árbol (bucles cero), se reproduce la teoría clásica. Los diagramas de Feynman con más de un bucle siempre contienen propagadores de bosones internos . Como a los bosones siempre se les puede dar una masa sin romper la invariancia de calibre, es posible una regularización de Pauli-Villars de tales diagramas preservando la simetría. Siempre que la regularización de un diagrama sea consistente con una simetría dada, ese diagrama no genera una anomalía con respecto a la simetría.
Las anomalías de calibre vectorial son siempre anomalías quirales . Otro tipo de anomalía de calibre es la anomalía gravitacional .
Las anomalías cuánticas se descubrieron mediante el proceso de renormalización , cuando algunas integrales divergentes no pueden regularizarse de tal manera que todas las simetrías se conserven simultáneamente. Esto está relacionado con la física de altas energías. Sin embargo, debido a la condición de coincidencia de anomalías de Gerard 't Hooft , cualquier anomalía quiral puede describirse mediante los grados de libertad UV (aquellos relevantes a altas energías) o mediante los grados de libertad IR (aquellos relevantes a bajas energías). Por lo tanto, no se puede cancelar una anomalía mediante la finalización UV de una teoría; una simetría anómala simplemente no es una simetría de una teoría, aunque clásicamente parezca serlo.
Dado que la cancelación de anomalías es necesaria para la coherencia de las teorías de calibre, dichas cancelaciones son de importancia central para limitar el contenido de fermiones del modelo estándar , que es una teoría de calibre quiral.
Por ejemplo, la desaparición de la anomalía mixta que involucra dos generadores SU(2) y una hipercarga U(1) obliga a que todas las cargas en una generación de fermiones sumen cero, [10] [11] y, por lo tanto, dicta que la suma de las protón más la suma del electrón desaparecen: las cargas de quarks y leptones deben ser proporcionales . Específicamente, para dos campos de calibre externos W a , W b y una hipercarga B en los vértices del diagrama triangular, la cancelación del triángulo requiere
entonces, para cada generación, las cargas de los leptones y quarks están equilibradas, de donde Q p + Q e = 0 [ cita necesaria ] .
La cancelación de anomalías en SM también se utilizó para predecir un quark de tercera generación, el quark top . [12]
Otros mecanismos de este tipo incluyen:
En la descripción moderna de anomalías clasificadas por la teoría del cobordismo , [13] los gráficos de Feynman-Dyson solo capturan las anomalías locales perturbativas clasificadas por clases enteras Z , también conocidas como parte libre. Existen anomalías globales no perturbativas clasificadas por grupos cíclicos Z / n clases Z , también conocidas como parte de torsión.
Es ampliamente conocido y comprobado a finales del siglo XX que el modelo estándar y las teorías de calibre quiral están libres de anomalías locales perturbativas (captadas por diagramas de Feynman ). Sin embargo, no está del todo claro si existen anomalías globales no perturbativas para el modelo estándar y las teorías de calibre quiral. Desarrollos recientes [14] [15] [16] basados en la teoría del cobordismo examinan este problema, y varias anomalías globales no triviales adicionales encontradas pueden limitar aún más estas teorías de calibre. También existe una formulación de descripción perturbativa local y no perturbativa global del flujo de anomalías en términos de la invariante eta de Atiyah , Patodi y Singer [17] [18] en una dimensión superior. Esta invariante eta es una invariante de cobordismo siempre que las anomalías locales perturbativas desaparecen. [19]
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