Distribución de Laplace

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de Laplace es una distribución de probabilidad continua que lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace . A veces también se le llama distribución exponencial doble , porque se puede considerar como dos distribuciones exponenciales (con un parámetro de ubicación adicional) empalmadas a lo largo de la abscisa , aunque el término también se usa a veces para referirse a la distribución de Gumbel . La diferencia entre dos variables aleatorias exponenciales independientes distribuidas idénticamente se rige por una distribución de Laplace, al igual que un movimiento browniano evaluado en un tiempo aleatorio distribuido exponencialmente ^{[ cita necesaria ]} . Los incrementos del movimiento de Laplace o un proceso de varianza gamma evaluados en la escala de tiempo también tienen una distribución de Laplace.

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria tiene una distribución si su función de densidad de probabilidad es ${\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right),}$

eran un parámetro de ubicación y , a veces denominado "diversidad", es un parámetro de escala . Si y , la media línea positiva es exactamente una distribución exponencial escalada a 1/2. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle b=1}$

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace también recuerda a la distribución normal ; sin embargo, mientras que la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado de la media , la densidad de Laplace se expresa en términos de la diferencia absoluta de la media. En consecuencia, la distribución de Laplace tiene colas más gruesas que la distribución normal. Es un caso especial de la distribución normal generalizada y de la distribución hiperbólica . Las distribuciones simétricas continuas que tienen colas exponenciales, como la distribución de Laplace, pero que tienen funciones de densidad de probabilidad que son diferenciables en la moda incluyen la distribución logística , la distribución secante hiperbólica y la distribución de Champernowne . ${\displaystyle \mu }$

Función de distribución acumulativa

La distribución de Laplace es fácil de integrar (si se distinguen dos casos simétricos) debido al uso de la función de valor absoluto . Su función de distribución acumulativa es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}$

La función de distribución acumulativa inversa viene dada por

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$

Propiedades

Momentos

${\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$ ${\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$
• Si entonces ( distribución exponencial ). ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$ ${\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})}$
• Si entonces ( distribución exponencial de potencia ). ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}$
• Si ( distribución normal ) entonces y . ${\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$ ${\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado ). ${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}$
• Si entonces . ( Distribución F ) ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$
• Si ( distribución uniforme ) entonces . ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}$ ${\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si y ( distribución de Bernoulli ) independiente de , entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$
• Si e independiente de , entonces ． ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si tiene distribución Rademacher y entonces . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$
• Si e independiente de , entonces . ${\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$ ${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$
• Si ( distribución geométrica estable ) entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}$
• La distribución de Laplace es un caso límite de la distribución hiperbólica .
• Si con ( distribución de Rayleigh ) entonces . Tenga en cuenta que si , entonces con , lo que a su vez es igual a la distribución exponencial . ${\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$ ${\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}$ ${\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}$ ${\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}$
• Dado un número entero , si ( distribución gamma , usando caracterización), entonces ( divisibilidad infinita ) ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}$ ${\displaystyle k,\theta }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$
• Si X tiene una distribución de Laplace, entonces Y = e ^X tiene una distribución log-Laplace; por el contrario, si X tiene una distribución log-Laplace, entonces su logaritmo tiene una distribución Laplace.

Probabilidad de que un Laplace sea mayor que otro

Sean variables aleatorias independientes de Laplace: y , y queremos calcular . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}$ ${\displaystyle P(X>Y)}$

La probabilidad de se puede reducir (usando las propiedades siguientes) a , donde . Esta probabilidad es igual a ${\displaystyle P(X>Y)}$ ${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$

Cuando , ambas expresiones se reemplazan por su límite como : ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle b\to 1}$

${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$

Para calcular el caso de , tenga en cuenta que ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}$

desde cuando ${\displaystyle Z\sim -Z}$ ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

Relación con la distribución exponencial

Una variable aleatoria de Laplace se puede representar como la diferencia de dos variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas ( iid ). ^[2] Una forma de demostrar esto es utilizando el enfoque de la función característica . Para cualquier conjunto de variables aleatorias continuas independientes, para cualquier combinación lineal de esas variables, su función característica (que determina de forma única la distribución) se puede adquirir multiplicando las funciones características correspondientes.

Considere dos variables aleatorias iid . Las funciones características para son ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle X,-Y}$

${\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}$

respectivamente. Al multiplicar estas funciones características (equivalentes a la función característica de la suma de las variables aleatorias ), el resultado es ${\displaystyle X+(-Y)}$

${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Esto es lo mismo que la función característica para , que es ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}$

Distribuciones de Sargan

Las distribuciones de Sargan son un sistema de distribuciones del cual la distribución de Laplace es un miembro central. La distribución Sargan de orden ésimo tiene densidad ^{[3] [4]} ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}$

para parámetros . La distribución de Laplace resulta para . ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}$ ${\displaystyle p=0}$

Inferencia estadística

Dadas muestras independientes e idénticamente distribuidas , el estimador de máxima verosimilitud (MLE) es la mediana muestral , ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).}$

El estimador MLE de es la desviación absoluta media de la mediana, ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.}$

revelando un vínculo entre la distribución de Laplace y las desviaciones mínimas absolutas . Se puede aplicar una corrección para muestras pequeñas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\hat {b}}^{*}={\hat {b}}\cdot n/(n-2)}$

(ver: distribución exponencial#Estimación de parámetros ).

Ocurrencia y aplicaciones

La distribución laplaciana se ha utilizado en el reconocimiento de voz para modelar datos previos sobre coeficientes DFT ^[6] y en la compresión de imágenes JPEG para modelar coeficientes AC ^[7] generados por una DCT .

• La adición de ruido extraído de una distribución laplaciana, con un parámetro de escala apropiado para la sensibilidad de una función, al resultado de una consulta de base de datos estadística es el medio más común para proporcionar privacidad diferencial en las bases de datos estadísticas.

Distribución de Laplace ajustada a las precipitaciones máximas de un día ^[8]

• En el análisis de regresión , la estimación de desviaciones mínimas absolutas surge como la estimación de máxima verosimilitud si los errores tienen una distribución de Laplace.
• El Lasso puede considerarse como una regresión bayesiana con un previo laplaciano para los coeficientes. ^[9]
• En hidrología, la distribución de Laplace se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y los caudales de los ríos. La imagen azul, hecha con CumFreq , ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Laplace a las precipitaciones máximas de un día clasificadas anualmente, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
• La distribución de Laplace tiene aplicaciones en finanzas. Por ejemplo, SG Kou desarrolló un modelo para los precios de instrumentos financieros que incorpora una distribución de Laplace (en algunos casos, una distribución de Laplace asimétrica ) para abordar los problemas de asimetría , curtosis y la sonrisa de volatilidad que a menudo ocurren cuando se utiliza una distribución normal para fijar el precio de estos instrumentos. ^{[10] [11]}

La distribución de Laplace, al ser una distribución compuesta o doble , es aplicable en situaciones en las que los valores más bajos se originan en condiciones externas diferentes a las más altas, de modo que siguen un patrón diferente. ^[12]

Generación de variables aleatorias

Dada una variable aleatoria extraída de la distribución uniforme en el intervalo , la variable aleatoria ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(-1/2,1/2\right)}$

${\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}$

tiene una distribución de Laplace con parámetros y . Esto se desprende de la función de distribución acumulativa inversa dada anteriormente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b}$

También se puede generar una variable como la diferencia de dos variables aleatorias iid . De manera equivalente, también se puede generar como el logaritmo de la relación de dos variables aleatorias uniformes iid . ${\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,b)}$ ${\displaystyle {\textrm {Exponential}}(1/b)}$ ${\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

Historia

Esta distribución a menudo se denomina "primera ley de errores de Laplace". Lo publicó en 1774, modelando la frecuencia de un error como una función exponencial de su magnitud una vez que se ignoraba su signo. Laplace sustituiría posteriormente este modelo por su "segunda ley de los errores", basada en la distribución normal, tras el descubrimiento del teorema del límite central . ^{[13] [14]}

Keynes publicó un artículo en 1911 basado en su tesis anterior en el que demostraba que la distribución de Laplace minimizaba la desviación absoluta de la mediana. ^[15]

Ver también

• Distribución normal generalizada # Versión simétrica
• Distribución multivariada de Laplace
• Medida de Besov , una generalización de la distribución de Laplace a espacios funcionales
• Distribución de Cauchy , también llamada "distribución de Lorentz", es decir, la transformada de Fourier de Laplace
• Función característica (teoría de la probabilidad)

Referencias

1. Norton, Mateo; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de cartera y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . Saltador. 299 (1–2): 1281–1315. doi :10.1007/s10479-019-03373-1 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
2. Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y sus generalizaciones: una revisión con aplicaciones a Comunicaciones, Economía, Ingeniería y Finanzas. Birkhauser. págs. 23 (Proposición 2.2.2, Ecuación 2.2.8). ISBN 9780817641665.
3. Everitt, BS (2002) Diccionario de estadística de Cambridge , CUP. ISBN 0-521-81099-X 
4. Johnson, NL, Kotz S., Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas , Wiley. ISBN 0-471-58495-9 . pag. 60 
5. Robert M. Norton (mayo de 1984). "La distribución exponencial doble: uso del cálculo para encontrar un estimador de máxima verosimilitud". El estadístico estadounidense . Asociación Estadounidense de Estadística. 38 (2): 135-136. doi :10.2307/2683252. JSTOR  2683252.
6. Eltoft, T.; Taesu Kim; Te Won Lee (2006). "Sobre la distribución multivariada de Laplace" (PDF) . Cartas de procesamiento de señales IEEE . 13 (5): 300–303. doi :10.1109/LSP.2006.870353. S2CID  1011487. Archivado desde el original (PDF) el 6 de junio de 2013 . Consultado el 4 de julio de 2012 .
7. Minguillón, J.; Pujol, J. (2001). "Modelado de errores de cuantificación uniforme estándar JPEG con aplicaciones a modos de operación secuencial y progresivo" (PDF) . Revista de imágenes electrónicas . 10 (2): 475–485. doi :10.1117/1.1344592. hdl : 10609/6263 .
8. CumFreq para ajuste de distribución de probabilidad
9. Pardo, Scott (2020). Análisis estadístico de métodos de datos empíricos para ciencias aplicadas. Saltador. pag. 58.ISBN​ 978-3-030-43327-7.
10. Kou, SG (8 de agosto de 2002). "Un modelo de difusión de salto para la fijación de precios de opciones". Ciencias de la gestión . 48 (8): 1086-1101. doi :10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR  822677 . Consultado el 1 de marzo de 2022 .
11. Chen, Jian (2018). Método de valoración de opciones de equilibrio general: estudio teórico y empírico . Saltador. pag. 70.ISBN​ 9789811074288.
12. Una colección de distribuciones compuestas.
13. Laplace, PD. (1774). Mémoire sur la probabilité des cause par les évènements. Mémoires de l'Academie Royale des Sciences Presentés par Divers Savan, 6, 621–656
14. Wilson, Edwin Bidwell (1923). "Primera y Segunda Leyes del Error". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . Informa Reino Unido Limited. 18 (143): 841–851. doi :10.1080/01621459.1923.10502116. ISSN  0162-1459. Este artículo incorpora texto de esta fuente, que se encuentra en el dominio público .
15. Keynes, JM (1911). "Los principales promedios y las leyes del error que conducen a ellos". Revista de la Real Sociedad de Estadística . JSTOR. 74 (3): 322–331. doi :10.2307/2340444. ISSN  0952-8385. JSTOR  2340444.

enlaces externos

• "Distribución de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]