Distribución asimétrica de Laplace

Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución asimétrica de Laplace (ALD) es una distribución de probabilidad continua que es una generalización de la distribución de Laplace . Así como la distribución de Laplace consiste en dos distribuciones exponenciales de igual escala, una detrás de la otra, alrededor de x  =  m , la distribución asimétrica de Laplace consiste en dos distribuciones exponenciales de escala desigual, una detrás de la otra, alrededor de x  =  m , ajustadas para asegurar la continuidad y la normalización. La diferencia de dos variables distribuidas exponencialmente con diferentes medias y parámetros de velocidad se distribuirá de acuerdo con la ALD. Cuando los dos parámetros de velocidad son iguales, la diferencia se distribuirá de acuerdo con la distribución de Laplace.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria tiene una distribución Laplace ( m , λ , κ ) asimétrica si su función de densidad de probabilidad es ^{[1] [2]}

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )=\left({\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}\right)\,e^{-(x-m)\lambda \,s\kappa ^{s}}}$

donde s = sgn (xm) , o alternativamente:

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}{\begin{cases}\exp \left((\lambda /\kappa )(x-m)\right)&{\text{if }}x<m\\[4pt]\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}}$

Aquí, m es un parámetro de ubicación , λ  > 0 es un parámetro de escala y κ es un parámetro de asimetría . Cuando κ  = 1, (xm)s κ ^s se simplifica a |xm| y la distribución se simplifica a la distribución de Laplace .

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa viene dada por:

${\displaystyle F(x;m,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}{\frac {\kappa ^{2}}{1+\kappa ^{2}}}\exp((\lambda /\kappa )(x-m))&{\text{if }}x\leq m\\[4pt]1-{\frac {1}{1+\kappa ^{2}}}\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{if }}x>m\end{cases}}}$

Función característica

La función característica ALD viene dada por:

${\displaystyle \varphi (t;m,\lambda ,\kappa )={\frac {e^{imt}}{(1+{\frac {it\kappa }{\lambda }})(1-{\frac {it}{\kappa \lambda }})}}}$

Para m  = 0, la ALD es un miembro de la familia de distribuciones geométricas estables con α  = 2. De ello se deduce que si y son dos funciones características de la ALD distintas con m  = 0, entonces ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{1/\varphi _{1}+1/\varphi _{2}-1}}}$

es también una función característica ALD con parámetro de ubicación . El nuevo parámetro de escala λ obedece ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}$

y el nuevo parámetro de asimetría κ obedece:

${\displaystyle {\frac {\kappa ^{2}-1}{\kappa \lambda }}={\frac {\kappa _{1}^{2}-1}{\kappa _{1}\lambda _{1}}}+{\frac {\kappa _{2}^{2}-1}{\kappa _{2}\lambda _{2}}}}$

Momentos, media, varianza, asimetría

El momento n -ésimo del ALD respecto a m está dado por

${\displaystyle E[(x-m)^{n}]={\frac {n!}{\lambda ^{n}(\kappa +1/\kappa )}}\,(\kappa ^{-(n+1)}-(-\kappa )^{n+1})}$

Del teorema binomial , el momento n -ésimo respecto a cero (para m distinto de cero) es entonces:

${\displaystyle E[x^{n}]={\frac {\lambda \,m^{n+1}}{\kappa +1/\kappa }}\,\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{(n-i)!}}\,{\frac {1}{(m\lambda \kappa )^{i+1}}}-\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{(n-i)!}}\,{\frac {1}{(-m\lambda /\kappa )^{i+1}}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {\lambda \,m^{n+1}}{\kappa +1/\kappa }}\left(e^{m\lambda \kappa }E_{-n}(m\lambda \kappa )-e^{-m\lambda /\kappa }E_{-n}(-m\lambda /\kappa )\right)}$

¿Dónde está la función integral exponencial generalizada? ${\displaystyle E_{n}()}$ ${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}$

El primer momento alrededor del cero es la media:

${\displaystyle \mu =E[x]=m-{\frac {\kappa -1/\kappa }{\lambda }}}$

La varianza es:

${\displaystyle \sigma ^{2}=E[x^{2}]-\mu ^{2}={\frac {1+\kappa ^{4}}{\kappa ^{2}\lambda ^{2}}}}$

y la asimetría es:

${\displaystyle {\frac {E[x^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {2\left(1-\kappa ^{6}\right)}{\left(\kappa ^{4}+1\right)^{3/2}}}}$

Generación de variables asimétricas de Laplace

Las variables asimétricas de Laplace ( X ) pueden generarse a partir de una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (-κ,1/κ) mediante:

${\displaystyle X=m-{\frac {1}{\lambda \,s\kappa ^{s}}}\log(1-U\,s\kappa ^{S})}$

donde s=sgn(U).

También pueden generarse como la diferencia de dos distribuciones exponenciales . Si X ₁ se obtiene de una distribución exponencial con media y tasa ( m ₁ ,λ/κ) y X ₂ se obtiene de una distribución exponencial con media y tasa ( m ₂ ,λκ), entonces X ₁  - X ₂ se distribuye de acuerdo con la distribución asimétrica de Laplace con parámetros ( m1-m2 , λ, κ)

Entropía

La entropía diferencial del ALD es

${\displaystyle H=-\int _{-\infty }^{\infty }f_{AL}(x)\log(f_{AL}(x))dx=1-\log \left({\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}\right)}$

La ALD tiene la entropía máxima de todas las distribuciones con un valor fijo (1/λ) de donde . ${\displaystyle (x-m)\,s\kappa ^{s}}$ ${\displaystyle s=\operatorname {sgn}(x-m)}$

Parametrización alternativa

Una parametrización alternativa es posible gracias a la función característica:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,\sigma ,\beta )={\frac {e^{i\mu t}}{1-i\beta \sigma t+\sigma ^{2}t^{2}}}}$

donde es un parámetro de ubicación , es un parámetro de escala , es un parámetro de asimetría . Esto se especifica en la Sección 2.6.1 y la Sección 3.1 de Lihn (2015). ^[3] Su función de densidad de probabilidad es ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\beta )={\frac {1}{2\sigma B_{0}}}{\begin{cases}\exp \left({\frac {x-\mu }{\sigma B^{-}}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[4pt]\exp(-{\frac {x-\mu }{\sigma B^{+}}})&{\text{if }}x\geq \mu \end{cases}}}$

donde y . Se sigue que . ${\displaystyle B_{0}={\sqrt {1+\beta ^{2}/4}}}$ ${\displaystyle B^{\pm }=B_{0}\pm \beta /2}$ ${\displaystyle B^{+}B^{-}=1,\P B^{+}-B^{-}=\beta }$

El momento n -ésimo está dado por ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle E[(x-\mu )^{n}]={\frac {\sigma ^{n}n!}{2B_{0}}}((B^{+})^{n+1}+(-1)^{n}(B^{-})^{n+1})}$

La media alrededor de cero es:

${\displaystyle E[x]=\mu +\sigma \beta }$

La varianza es:

${\displaystyle E[x^{2}]-E[x]^{2}=\sigma ^{2}(2+\beta ^{2})}$

La asimetría es:

${\displaystyle {\frac {2\beta (3+\beta ^{2})}{(2+\beta ^{2})^{3/2}}}}$

El exceso de curtosis es:

${\displaystyle {\frac {6(2+4\beta ^{2}+\beta ^{4})}{(2+\beta ^{2})^{2}}}}$

Para valores pequeños , la asimetría es de aproximadamente . Por lo tanto, representa la asimetría de una manera casi directa. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 3\beta /{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \beta }$

Parametrización alternativa para la regresión cuantil bayesiana

La distribución asimétrica de Laplace se utiliza comúnmente con una parametrización alternativa para realizar una regresión cuantil en un contexto de inferencia bayesiana . ^[4] Con este enfoque, el parámetro que describe la asimetría se reemplaza con un parámetro que indica el percentil o cuantil deseado. Con esta parametrización, la probabilidad de la distribución asimétrica de Laplace es equivalente a la función de pérdida empleada en la regresión cuantil . Con esta parametrización alternativa, la función de densidad de probabilidad se define como: ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,p)={\frac {p(1-p)}{\lambda }}{\begin{cases}\exp \left(-((p-1)/\lambda )(x-m)\right)&{\text{if }}x\leq m\\[4pt]\exp(-(p/\lambda )(x-m))&{\text{if }}x>m\end{cases}}}$

Donde, m es un parámetro de ubicación , λ  > 0 es un parámetro de escala y 0 < p < 1 es un parámetro de percentil .

La media ( ) y la varianza ( ) se calculan como: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \mu =m+{\frac {1-2p}{p(1-p)}}\lambda }$

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1-2p+2p^{2}}{p^{2}(1-p)^{2}}}\lambda ^{2}}$

La función de distribución acumulativa viene dada ^[5] por:

${\displaystyle F(x;m,\lambda ,p)={\begin{cases}p\exp({\frac {1-p}{\lambda }}(x-m))&{\text{if }}x\leq m\\[4pt]1-(1-p)\exp({\frac {-p}{\lambda }}(x-m))&{\text{if }}x>m\end{cases}}}$

Aplicaciones

La distribución asimétrica de Laplace tiene aplicaciones en finanzas y neurociencia. Para el ejemplo de finanzas, SG Kou desarrolló un modelo para los precios de instrumentos financieros que incorpora una distribución asimétrica de Laplace para abordar problemas de asimetría , curtosis y la sonrisa de volatilidad que a menudo ocurren cuando se utiliza una distribución normal para fijar precios de estos instrumentos. ^[6] Otro ejemplo es en neurociencia, en la que su convolución con la distribución normal se considera como un modelo para los tiempos de reacción de detención del cerebro. ^[7]

Referencias

1. Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof (2000). "Una generalización multivariada y asimétrica de la distribución de Laplace". Computational Statistics . 15 (4): 531. doi :10.1007/PL00022717. S2CID  124839639 . Consultado el 29 de diciembre de 2015 .
2. Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). "Nuevas familias de distribuciones envueltas para modelar datos circulares sesgados" (PDF) . Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 33 (9): 2059–2074. doi :10.1081/STA-200026570. S2CID  17024930 . Consultado el 13 de junio de 2011 .
3. Lihn, Stephen H.-T. (2015). "El modelo especial de fijación de precios de opciones elípticas y la sonrisa de volatilidad". SSRN : 2707810 . Consultado el 5 de septiembre de 2017 .
4. Yu, Keming; Moyeed, Rana A. (2001). "Regresión cuantil bayesiana". Statistics & Probability Letters . 54 (4): 437-447. doi :10.1016/S0167-7152(01)00124-9 . Consultado el 9 de enero de 2022 .
5. Yu, Keming; Zhang, Jin (2005). "Una distribución de Laplace asimétrica de tres parámetros y su extensión". Communications in Statistics - Theory and Methods . 34 (9–10): 1867-1879. doi :10.1080/03610920500199018. S2CID  120827101 . Consultado el 30 de enero de 2022 .
6. Kou, SG (8 de agosto de 2002). "Un modelo de difusión por saltos para la fijación de precios de opciones". Management Science . 48 (8): 1086–1101. doi :10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR  822677 . Consultado el 1 de marzo de 2022 .
7. Soltanifar, M; Escobar, M; Dupuis, A; Chevrier, A; Schachar, R (2022). "La distribución gaussiana asimétrica de Laplace (ALG) como modelo descriptivo para la inhibición proactiva interna en la tarea estándar de señal de parada". Ciencias del cerebro . 12 (6): 730. doi : 10.3390/brainsci12060730 . PMC 9221528 . PMID  35741615.