Distribución multivariada de Laplace

En la teoría matemática de la probabilidad, las distribuciones de Laplace multivariadas son extensiones de la distribución de Laplace y la distribución de Laplace asimétrica a múltiples variables. Las distribuciones marginales de variables de distribución de Laplace multivariadas simétricas son distribuciones de Laplace. Las distribuciones marginales de variables de distribución de Laplace multivariadas asimétricas son distribuciones de Laplace asimétricas. ^[1]

Distribución de Laplace multivariada simétrica

Una caracterización típica de la distribución de Laplace multivariada simétrica tiene la función característica :

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},}$

donde es el vector de medias de cada variable y es la matriz de covarianza . ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

A diferencia de la distribución normal multivariada , incluso si la matriz de covarianza tiene covarianza y correlación cero , las variables no son independientes. ^[1] La distribución de Laplace multivariada simétrica es elíptica . ^[1]

Función de densidad de probabilidad

Si , la función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada de k dimensiones se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$

dónde:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

En el caso bivariado correlacionado, es decir, k  = 2, la función de probabilidad se reduce a: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}K_{0}\left({\sqrt {\frac {2\left({\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {2\rho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)}{1-\rho ^{2}}}}\right),}$

dónde:

${\displaystyle \sigma _{1}}$y son las desviaciones estándar de y , respectivamente, y es el coeficiente de correlación de y . ^[1] ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Para el caso de Laplace bivariado no correlacionado, es decir k  = 2, y , la función de probabilidad se convierte en: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\rho =0}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi }}K_{0}\left({\sqrt {2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}\right).}$^[1]

Distribución de Laplace multivariada asimétrica

Una caracterización típica de la distribución de Laplace multivariada asimétrica tiene la función característica :

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.}$^[1]

Al igual que con la distribución de Laplace multivariada simétrica, la distribución de Laplace multivariada asimétrica tiene media , pero la covarianza se vuelve . ^[3] La distribución de Laplace multivariada asimétrica no es elíptica a menos que , en cuyo caso la distribución se reduce a la distribución de Laplace multivariada simétrica con . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

La función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada asimétrica de k dimensiones es:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{v/2}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )},}$

dónde:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

La distribución asimétrica de Laplace, incluido el caso especial de , es un ejemplo de distribución geométrica estable . ^[3] Representa la distribución límite para una suma de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con varianza y covarianza finitas donde el número de elementos a sumar es en sí mismo una variable aleatoria independiente distribuida según una distribución geométrica . ^[1] Estas sumas geométricas pueden surgir en aplicaciones prácticas dentro de la biología, la economía y los seguros. ^[1] La distribución también puede ser aplicable en situaciones más amplias para modelar datos multivariados con colas más pesadas que una distribución normal pero momentos finitos . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

La relación entre la distribución exponencial y la distribución de Laplace permite un método simple para simular variables de Laplace asimétricas bivariadas (incluso para el caso de ). Simule un vector de variable aleatoria normal bivariado a partir de una distribución con una matriz de covarianza . Simule de forma independiente variables aleatorias exponenciales W a partir de una distribución Exp(1). Se distribuirá (asimétrica) bivariada de Laplace con matriz de media y covarianza . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\sqrt {W}}\mathbf {Y} +W{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Referencias

1. Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y las generalizaciones . Birkhauser. págs. 229–245. ISBN 0817641661.
2. Fragiadakis, Konstantinos & Meintanis, Simos G. (marzo de 2011). "Pruebas de bondad de ajuste para distribuciones de Laplace multivariadas". Modelado Matemático e Informático . 53 (5–6): 769–779. doi : 10.1016/j.mcm.2010.10.014 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). "Distribuciones de Laplace generalizadas multivariadas y campos aleatorios relacionados". Revista de análisis multivariado . 113 . Universidad de Gotemburgo: 59–72. doi : 10.1016/j.jmva.2012.02.010 . S2CID  206252976.