Distribución de Champernowne

En estadística , la distribución de Champernowne es una distribución de probabilidad continua y simétrica que describe variables aleatorias que toman valores tanto positivos como negativos. Se trata de una generalización de la distribución logística introducida por el DG Champernowne . ^{[1] [2] [3]} Champernowne desarrolló la distribución para describir el logaritmo del ingreso. ^[2]

Definición

La distribución de Champernowne tiene una función de densidad de probabilidad dada por

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

donde son los parámetros positivos y n es la constante de normalización, que depende de los parámetros. La densidad se puede reescribir como ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{1/2e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +1/2e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

utilizando el hecho de que ${\displaystyle \cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2.}$

Propiedades

La densidad f ( y ) define una distribución simétrica con mediana y ₀ , que tiene colas algo más pesadas que una distribución normal.

Casos especiales

En el caso especial se trata de la densidad Burr Type XII . ${\displaystyle \lambda =1}$

Cuando , ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},}$

que es la densidad de la distribución logística estándar .

Distribución de los ingresos

Si la distribución de Y , el logaritmo del ingreso, tiene una distribución de Champernowne, entonces la función de densidad del ingreso X  = exp( Y ) es ^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

donde x ₀ = exp( y ₀ ) es el ingreso mediano. Si λ = 1, esta distribución a menudo se denomina distribución de Fisk , ^[4] que tiene densidad

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

Ver también

• Distribución logística generalizada

Referencias

1. C. Kleiber y S. Kotz (2003). Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencias actuariales . Nueva York: Wiley.Sección 7.3 "Distribución de Champernowne".
2. Champernowne, DG (1952). "La graduación de las distribuciones del ingreso". Econométrica . 20 (4): 591–614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
3. Champernowne, DG (1953). "Un modelo de distribución del ingreso". La Revista Económica . 63 (250): 318–351. doi :10.2307/2227127. JSTOR  2227127.
4. Fisk, PR (1961). "La graduación de las distribuciones del ingreso". Econométrica . 29 (2): 171–185. doi :10.2307/1909287. JSTOR  1909287.