Luz de luna monstruosa

Conexión inesperada en la teoría de grupos

En matemáticas , la teoría de la luz de la luna monstruosa , o moonshine , es la conexión inesperada entre el grupo monstruoso M y las funciones modulares , en particular la función j . La observación numérica inicial fue realizada por John McKay en 1978, y la frase fue acuñada por John Conway y Simon P. Norton en 1979. ^{[1] [2] [3]}

Ahora se sabe que la monstruosa luz de luna está sustentada por un álgebra de operadores de vértice llamada módulo de luz de luna (o álgebra de vértice monstruosa) construida por Igor Frenkel , James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, que tiene al grupo de monstruos como su grupo de simetrías . Esta álgebra de operadores de vértice se interpreta comúnmente como una estructura subyacente a una teoría de campos conforme bidimensional , lo que permite a la física formar un puente entre dos áreas matemáticas. Las conjeturas hechas por Conway y Norton fueron probadas por Richard Borcherds para el módulo de luz de luna en 1992 utilizando el teorema de no fantasma de la teoría de cuerdas y la teoría de álgebras de operadores de vértice y álgebras de Kac-Moody generalizadas .

Historia

En 1978, John McKay descubrió que los primeros términos de la expansión de Fourier del invariante J normalizado (secuencia A014708 en la OEIS ) podían expresarse en términos de combinaciones lineales de las dimensiones de las representaciones irreducibles del grupo monstruo M (secuencia A001379 en la OEIS ) con coeficientes pequeños no negativos. El invariante J es con y τ como la razón de semiperiodo , y las expresiones M , siendo = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ..., son ${\displaystyle r_{n}}$ $${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}[phone]{q}^{2}[phone]{q}^{3}[phone]{q}^{4}+\cdots }$$ ${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}}$$

Los LHS son los coeficientes de , mientras que en el RHS los números enteros son las dimensiones de las representaciones irreducibles del grupo monstruo M . (Dado que puede haber varias relaciones lineales entre los tales como , la representación puede ser de más de una manera). ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

McKay consideró esto como evidencia de que existe una representación gradual de dimensión infinita que ocurre naturalmente de M , cuya dimensión gradual está dada por los coeficientes de J , y cuyas piezas de menor peso se descomponen en representaciones irreducibles como las anteriores. Después de informar a John G. Thompson sobre esta observación, Thompson sugirió que debido a que la dimensión gradual es solo la traza graduada del elemento identidad , las trazas graduadas de elementos no triviales g de M en dicha representación también pueden ser interesantes.

Conway y Norton calcularon los términos de orden inferior de dichas trazas graduadas, ahora conocidas como serie McKay-Thompson T _g , y descubrieron que todas ellas parecían ser las expansiones de Hauptmoduln . En otras palabras, si G _g es el subgrupo de SL ₂ ( R ) que fija T _g , entonces el cociente de la mitad superior del plano complejo por G _g es una esfera con un número finito de puntos eliminados y, además, T _g genera el campo de funciones meromórficas en esta esfera.

Basándose en sus cálculos, Conway y Norton produjeron una lista de Hauptmoduln y conjeturaron la existencia de una representación graduada de dimensión infinita de M , cuyas trazas graduadas T _g son las expansiones de precisamente las funciones de su lista.

En 1980, AOL Atkin , Paul Fong y Stephen D. Smith produjeron una fuerte evidencia computacional de que tal representación graduada existe, al descomponer un gran número de coeficientes de J en representaciones de M. Una representación graduada cuya dimensión graduada es J , llamada el módulo Moonshine, fue construida explícitamente por Igor Frenkel , James Lepowsky y Arne Meurman , dando una solución efectiva a la conjetura de McKay-Thompson, y también determinaron las trazas graduadas para todos los elementos en el centralizador de una involución de M , resolviendo parcialmente la conjetura de Conway-Norton. Además, mostraron que el espacio vectorial que construyeron, llamado el Módulo Moonshine , tiene la estructura adicional de un álgebra de operadores de vértices , cuyo grupo de automorfismos es precisamente M. ${\displaystyle V^{\natural }}$

En 1985, un grupo de matemáticos, entre los que se encontraba John Conway , publicó el Atlas de grupos finitos . El Atlas, que enumera todos los grupos esporádicos , incluyó a «Moonshine» como una sección en su lista de propiedades notables del grupo monstruo . ^[4]

Borcherds demostró la conjetura de Conway-Norton para el módulo Moonshine en 1992. Ganó la Medalla Fields en 1998 en parte por su solución de la conjetura.

El módulo de luz de luna

La construcción de Frenkel-Lepowsky-Meurman comienza con dos herramientas principales:

1. La construcción de un álgebra de operadores de vértice de red V _L para una red par L de rango n . En términos físicos, esta es el álgebra quiral para una cuerda bosónica compactificada en un toro R ⁿ / L . Puede describirse aproximadamente como el producto tensorial del anillo de grupo de L con la representación del oscilador en n dimensiones (que es en sí mismo isomorfo a un anillo polinomial en una cantidad infinita de generadores numerables ). Para el caso en cuestión, se establece que L sea la red Leech , que tiene rango 24.
2. La construcción orbifold . En términos físicos, describe una cuerda bosónica que se propaga en un orbifold cociente . La construcción de Frenkel–Lepowsky–Meurman fue la primera vez que aparecieron los orbifolds en la teoría de campos conforme . Unido a la involución –1 de la red Leech , hay una involución h de V _L y un módulo V _L retorcido h irreducible , que hereda una elevación de involución h . Para obtener el módulo Moonshine, se toma el subespacio de punto fijo de h en la suma directa de V _L y su módulo retorcido .

Frenkel, Lepowsky y Meurman demostraron que el grupo de automorfismos del módulo Moonshine, como álgebra de operadores de vértices, es M . Además, determinaron que las trazas graduadas de elementos en el subgrupo 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ coinciden con las funciones predichas por Conway y Norton (Frenkel, Lepowsky y Meurman (1988)).

Prueba de Borcherds

La prueba de Richard Borcherds de la conjetura de Conway y Norton se puede dividir en los siguientes pasos principales:

1. Se parte de un álgebra de operadores de vértice V con una forma bilineal invariante, una acción de M por automorfismos y con una descomposición conocida de los espacios homogéneos de los siete grados más bajos en M -representaciones irreducibles. Esto fue proporcionado por la construcción y análisis del Módulo Moonshine de Frenkel–Lepowsky–Meurman.
2. Se construye un álgebra de Lie , llamada álgebra de Lie monstruosa , a partir de V utilizando un funtor de cuantificación. Es un álgebra de Lie de Kac-Moody generalizada con una acción monstruosa por automorfismos. Utilizando el teorema de "no fantasma" de Goddard-Thorn de la teoría de cuerdas , se descubre que las multiplicidades de las raíces son coeficientes de J. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. Se utiliza la identidad de producto infinito de Koike–Norton–Zagier para construir un álgebra de Lie de Kac–Moody generalizada mediante generadores y relaciones. La identidad se demuestra utilizando el hecho de que los operadores de Hecke aplicados a J producen polinomios en J .
4. Al comparar las multiplicidades de raíces, se encuentra que las dos álgebras de Lie son isomorfas y, en particular, la fórmula del denominador de Weyl para es precisamente la identidad de Koike-Norton-Zagier. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. Utilizando la homología del álgebra de Lie y las operaciones de Adams , se obtiene una identidad de denominador torcido para cada elemento. Estas identidades están relacionadas con la serie de McKay–Thompson T _g de la misma manera que la identidad de Koike–Norton–Zagier está relacionada con J .
6. Las identidades de denominador torcido implican relaciones de recursión en los coeficientes de T _g , y el trabajo no publicado de Koike mostró que las funciones candidatas de Conway y Norton satisfacían estas relaciones de recursión. Estas relaciones son lo suficientemente fuertes como para que solo sea necesario verificar que los primeros siete términos concuerden con las funciones dadas por Conway y Norton. Los términos más bajos se dan por la descomposición de los siete espacios homogéneos de grado más bajo dados en el primer paso.

De esta forma, la prueba está completa (Borcherds (1992)). Más tarde, Borcherds dijo: "Me puse muy contento cuando demostré la conjetura de la luz de la luna" y "A veces me pregunto si esta es la sensación que se tiene cuando se toman ciertas drogas. En realidad, no lo sé, ya que no he probado esta teoría mía" (Roberts 2009, p. 361).

Trabajos más recientes han simplificado y clarificado los últimos pasos de la demostración. Jurisich (Jurisich (1998), Jurisich, Lepowsky y Wilson (1995)) encontró que el cálculo de homología podría acortarse sustancialmente reemplazando la descomposición triangular habitual del álgebra de Lie de Monster con una descomposición en una suma de gl ₂ y dos álgebras de Lie libres. Cummins y Gannon demostraron que las relaciones de recursión implican automáticamente que las series de McKay-Thompson son Hauptmoduln o terminan después de como máximo 3 términos, eliminando así la necesidad de cálculo en el último paso.

Alcoholismo generalizado

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que quizás la luz de la luna no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. ^[a] Si bien las afirmaciones de Conway y Norton no eran muy específicas, los cálculos de Larissa Queen en 1980 sugirieron firmemente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de representaciones irreducibles de grupos esporádicos . En particular, descompuso los coeficientes de la serie de McKay-Thompson en representaciones de subcocientes del Monstruo en los siguientes casos:

• T _2B y T _4A en representaciones del grupo de Conway Co ₀
• T _3B y T _6B en representaciones del grupo de Suzuki 3.2. Suz
• T _3C en representaciones del grupo de Thompson Th = F ₃
• T _5A en representaciones del grupo Harada-Norton HN = F ₅
• T _5B y T _10D en representaciones del grupo Hall-Janko 2. HJ
• T _7A en representaciones del grupo Held He = F ₇
• T _7B y T _14C en representaciones de 2. A ₇
• T _11A en representaciones del grupo Mathieu 2. M ₁₂

Queen descubrió que las trazas de elementos no identidad también producían q -expansiones de Hauptmoduln, algunas de las cuales no eran series de McKay–Thompson del Monstruo. En 1987, Norton combinó los resultados de Queen con sus propios cálculos para formular la conjetura generalizada de Moonshine. Esta conjetura afirma que existe una regla que asigna a cada elemento g del monstruo, un espacio vectorial graduado V ( g ), y a cada par de elementos conmutativos ( g , h ) una función holomorfa f ( g , h , τ) en el semiplano superior , tal que:

1. Cada V ( g ) es una representación proyectiva graduada del centralizador de g en M .
2. Cada f ( g , h , τ) es una función constante o un Hauptmodul.
3. Cada f ( g , h , τ) es invariante bajo la conjugación simultánea de g y h en M , hasta una ambigüedad escalar.
4. Para cada ( g , h ), hay una elevación de h a una transformación lineal en V ( g ), tal que la expansión de f ( g , h , τ) está dada por la traza graduada.
5. Para cualquier , es proporcional a . ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f(g,h,{\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}})}$ ${\displaystyle f(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau )}$
6. f ( g , h , τ ) es proporcional a J si y sólo si g = h = 1.

Esta es una generalización de la conjetura de Conway-Norton, porque el teorema de Borcherds se refiere al caso en el que g se establece en la identidad.

Al igual que la conjetura de Conway-Norton, la Moonshine generalizada también tiene una interpretación en física, propuesta por Dixon-Ginsparg-Harvey en 1988 (Dixon, Ginsparg y Harvey (1989)). Interpretaron los espacios vectoriales V ( g ) como sectores retorcidos de una teoría de campos conforme con simetría monstruosa, e interpretaron las funciones f ( g , h , τ) como funciones de partición de género uno , donde se forma un toro pegando a lo largo de condiciones de contorno retorcidas. En lenguaje matemático, los sectores retorcidos son módulos retorcidos irreducibles, y las funciones de partición se asignan a curvas elípticas con fibrados monstruosos principales, cuyo tipo de isomorfismo se describe por monodromía a lo largo de una base de 1-ciclos , es decir, un par de elementos conmutativos.

Aguardiente modular

A principios de los años 1990, el teórico de grupos AJE Ryba descubrió similitudes notables entre partes de la tabla de caracteres del monstruo y caracteres Brauer de ciertos subgrupos. En particular, para un elemento g de orden primo p en el monstruo, muchos caracteres irreducibles de un elemento de orden kp cuya potencia k es g son combinaciones simples de caracteres Brauer para un elemento de orden k en el centralizador de g . Esto fue evidencia numérica para un fenómeno similar a la monstruosa luz de luna, pero para representaciones en característica positiva. En particular, Ryba conjeturó en 1994 que para cada factor primo p en el orden del monstruo, existe un álgebra de vértices graduado sobre el cuerpo finito F _p con una acción del centralizador de un elemento de orden p g , tal que el carácter Brauer graduado de cualquier automorfismo p -regular h es igual a la serie de McKay-Thompson para gh (Ryba (1996)).

En 1996, Borcherds y Ryba reinterpretaron la conjetura como una afirmación sobre la cohomología de Tate de una forma integral autodual de . No se sabía que esta forma integral existiera, pero construyeron una forma autodual sobre Z [1/2], lo que les permitió trabajar con primos impares p . La cohomología de Tate para un elemento de orden primo tiene naturalmente la estructura de un álgebra de supervértice sobre F _p , y dividieron el problema en un paso fácil que iguala la supertraza graduada de Brauer con la serie de McKay-Thompson, y un paso difícil que muestra que la cohomología de Tate se desvanece en grado impar. Demostraron la afirmación de desaparición para primos impares pequeños, transfiriendo un resultado de desaparición de la red Leech (Borcherds y Ryba (1996)). En 1998, Borcherds demostró que la desaparición se cumple para los restantes primos impares, utilizando una combinación de la teoría de Hodge y un refinamiento integral del teorema de no fantasma (Borcherds (1998), Borcherds (1999)). ${\displaystyle V^{\natural }}$

El caso de orden 2 requiere la existencia de una forma de anillo sobre 2-ádico, es decir, una construcción que no se divida por 2, y en ese momento no se sabía que esto existiera. Quedan muchas preguntas adicionales sin respuesta, como cómo la conjetura de Ryba debería generalizarse a la cohomología de Tate de elementos de orden compuesto y la naturaleza de cualquier conexión con el moonshine generalizado y otros fenómenos relacionados con el moonshine. ${\displaystyle V^{\natural }}$

Relación conjeturada con la gravedad cuántica

En 2007, E. Witten sugirió que la correspondencia AdS/CFT produce una dualidad entre la gravedad cuántica pura en el espacio anti de Sitter (2 + 1)-dimensional y las CFT holomorfas extremas. La gravedad pura en 2 + 1 dimensiones no tiene grados de libertad locales, pero cuando la constante cosmológica es negativa, hay contenido no trivial en la teoría, debido a la existencia de soluciones de agujero negro BTZ . Las CFT extremas, introducidas por G. Höhn, se distinguen por la falta de campos primarios de Virasoro en baja energía, y el módulo Moonshine es un ejemplo.

Según la propuesta de Witten (Witten (2007)), la gravedad en el espacio AdS con una constante cosmológica máximamente negativa es dual AdS/CFT a una CFT holomorfa con carga central c=24 , y la función de partición de la CFT es precisamente j -744, es decir, el carácter graduado del módulo de la luz de la luna. Al asumir la conjetura de Frenkel-Lepowsky-Meurman de que el módulo de la luz de la luna es el único VOA holomorfo con carga central 24 y carácter j -744, Witten concluyó que la gravedad pura con una constante cosmológica máximamente negativa es dual a la monstruosa CFT. Parte de la propuesta de Witten es que los campos primarios de Virasoro son duales a los operadores creadores de agujeros negros, y como verificación de consistencia, encontró que en el límite de masa grande, la estimación de entropía semiclásica de Bekenstein-Hawking para una masa de agujero negro dada concuerda con el logaritmo de la multiplicidad primaria de Virasoro correspondiente en el módulo de la luz de la luna. En el régimen de baja masa, hay una pequeña corrección cuántica de la entropía, por ejemplo, los campos primarios de menor energía producen ln(196883) ~ 12,19, mientras que la estimación de Bekenstein-Hawking da 4 π  ~ 12,57.

Trabajos posteriores han refinado la propuesta de Witten. Witten había especulado que las CFT extremales con una constante cosmológica mayor pueden tener una simetría monstruosa muy similar al caso mínimo, pero esto fue rápidamente descartado por el trabajo independiente de Gaiotto y Höhn. El trabajo de Witten y Maloney (Maloney & Witten (2007)) sugirió que la gravedad cuántica pura puede no satisfacer algunas comprobaciones de consistencia relacionadas con su función de partición, a menos que algunas propiedades sutiles de las sillas complejas funcionen favorablemente. Sin embargo, Li–Song–Strominger (Li, Song & Strominger (2008)) han sugerido que una teoría de gravedad cuántica quiral propuesta por Manschot en 2007 puede tener mejores propiedades de estabilidad, al mismo tiempo que es dual con la parte quiral de la CFT monstruosa, es decir, el álgebra de vértices monstruosa. Duncan-Frenkel (Duncan & Frenkel (2009)) produjo evidencia adicional para esta dualidad al usar sumas de Rademacher para producir la serie McKay-Thompson como funciones de partición de gravedad de (2 + 1) dimensiones mediante una suma regularizada sobre geometrías de isogenia de toro global. Además, conjeturaron la existencia de una familia de teorías de gravedad quirales retorcidas parametrizadas por elementos del monstruo, lo que sugiere una conexión con la luz de la luna generalizada y las sumas de instantones gravitacionales. En la actualidad, todas estas ideas aún son bastante especulativas, en parte porque la gravedad cuántica 3D no tiene una base matemática rigurosa.

Mathieu aguardiente

En 2010, Tohru Eguchi , Hirosi Ooguri y Yuji Tachikawa observaron que el género elíptico de una superficie K3 se puede descomponer en caracteres del álgebra superconforme N = (4,4) , de modo que las multiplicidades de estados masivos parecen ser combinaciones simples de representaciones irreducibles del grupo de Mathieu M24 . ^[5] Esto sugiere que existe una teoría de campos conforme de modelo sigma con objetivo K3 que lleva simetría M24. Sin embargo, por la clasificación de Mukai-Kondo, no hay una acción fiel de este grupo en ninguna superficie K3 por automorfismos simplécticos , y por el trabajo de Gaberdiel–Hohenegger–Volpato, ^[6] no hay una acción fiel en ninguna teoría de campos conforme de modelo sigma K3, por lo que la aparición de una acción en el espacio de Hilbert subyacente sigue siendo un misterio.

Por analogía con la serie McKay–Thompson, Cheng sugirió que tanto las funciones de multiplicidad como las trazas graduadas de elementos no triviales de M24 forman formas modulares simuladas . En 2012, Gannon demostró que todas menos la primera de las multiplicidades son combinaciones integrales no negativas de representaciones de M24, y Gaberdiel–Persson–Ronellenfitsch–Volpato calcularon todos los análogos de las funciones moonshine generalizadas, ^[7] sugiriendo firmemente que algún análogo de una teoría de campo conforme holomorfa se encuentra detrás de la moonshine de Mathieu. También en 2012, Cheng, Duncan y Harvey acumularon evidencia numérica de un fenómeno de moonshine umbral donde las familias de formas modulares simuladas parecen estar unidas a redes de Niemeier . El caso especial de la A²⁴
₁La red produce Mathieu Moonshine, pero en general el fenómeno aún no tiene una interpretación en términos de geometría.

Origen del término

El término "monstruoso alambique" fue acuñado por Conway, quien, cuando John McKay le dijo a fines de la década de 1970 que el coeficiente de (a saber, 196884) era precisamente uno más que el grado de la representación compleja fiel más pequeña del grupo monstruoso (a saber, 196883), respondió que esto era "alambique monstruoso" (en el sentido de ser una idea loca o tonta). ^[b] Por lo tanto, el término no solo se refiere al grupo monstruoso M ; también se refiere a la locura percibida de la intrincada relación entre M y la teoría de funciones modulares. ${\displaystyle {q}}$

Observaciones relacionadas

El grupo monstruo fue investigado en la década de 1970 por los matemáticos Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson ; estudiaron el cociente del plano hiperbólico por subgrupos de SL ₂ ( R ), particularmente, el normalizador Γ ₀ ( p ) ⁺ del subgrupo de congruencia de Hecke Γ ₀ ( p ) en SL(2, R ). Encontraron que la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por Γ ₀ ( p ) ⁺ tiene género cero exactamente para p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71. Cuando Ogg oyó hablar del grupo monstruo más tarde, y se dio cuenta de que estos eran precisamente los factores primos del tamaño de M , publicó un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho (Ogg (1974)). Estos 15 primos se conocen como los primos supersingulares , que no deben confundirse con el uso de la misma frase con un significado diferente en la teoría de números algebraicos.

Notas

1. Conway, J. y Norton, S. "Monstrous Moonshine", Tabla 2a, pág. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf
2. Palabras de todo el mundo: Moonshine

Referencias

1. Una breve introducción a Monstrous Moonshine Valdo Tatitscheff 24 de enero de 2019
2. J. Conway y S. Norton. Monstrous Moonshine. Bull. Londres. Math. Soc., 11:308–339, 1979
3. Los matemáticos persiguen la sombra de Moonshine Erica Klarreich 12 de marzo de 2015 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/
4. Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. John H. Conway. Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press. 1985. ISBN 0-19-853199-0.OCLC 12106933  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
5. T. Eguchi, H. Ooguri, Y. Tachikawa: Notas sobre la superficie K3 y el grupo de Mathieu M24. Exper. Math. 20 91–96 (2011)
6. Gaberdiel, Matthias R.; Hohenegger, Stefan; Volpato, Roberto (2012). "Simetrías de modelos sigma K3". Comunicaciones en teoría de números y física . 6 (1): 1–50. arXiv : 1106.4315 . doi :10.4310/CNTP.2012.v6.n1.a1.
7. Gaberdiel, Matthias R.; Persson, Daniel; Ronellenfitsch, Henrik; Volpato, Roberto (2013). "Mathieu Moonshine generalizado". Comunicaciones en teoría de números y física . 7 (1): 145–223. doi : 10.4310/CNTP.2013.v7.n1.a5 . hdl : 11858/00-001M-0000-0010-2478-A .

Fuentes

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• Borcherds, RE (1999), "El grupo formal del monstruo falso", Duke Mathematical Journal , 100 (1): 139–165, arXiv : math/9805123 , doi :10.1215/S0012-7094-99-10005-6, S2CID  14404234.
• Borcherds, RE; Ryba, AJE (1996), "Modular Moonshine II", Duke Mathematical Journal , 83 (2): 435–459, doi :10.1215/S0012-7094-96-08315-5, S2CID  119593942.
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• Cummins, CJ; Gannon, T (1997), "Ecuaciones modulares y la propiedad de género cero de las funciones de luz de luna", Invent. Math. , 129 (3): 413–443, Bibcode :1997InMat.129..413C, doi :10.1007/s002220050167, S2CID  123073432.
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Enlaces externos

• Bibliografía de Moonshine en Wayback Machine (archivada el 5 de diciembre de 2006)
• Los matemáticos persiguen la sombra de la luz de la luna