Grupo de cohomología de Tate

En matemáticas , los grupos de cohomología de Tate son una forma ligeramente modificada de los grupos de cohomología habituales de un grupo finito que combinan grupos de homología y cohomología en una secuencia. Fueron introducidos por John Tate  (1952, p. 297) y se utilizan en la teoría de cuerpos de clases .

Definición

Si G es un grupo finito y A un G -módulo , entonces existe una función natural N de a que toma un representante a a (la suma de todos los G -conjugados de a ). Los grupos de cohomología de Tate se definen por ${\displaystyle H_{0}(G,A)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,A)}$ ${\displaystyle \sum _{g\in G}ga}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)}$para , ${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=}$cociente de por normas de elementos de A , ${\displaystyle H^{0}(G,A)}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=}$cociente de los elementos de norma 0 de A por los elementos principales de A ,
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)}$para . ${\displaystyle n\leq -2}$

Propiedades

• Si

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

es una secuencia exacta corta de G -módulos, entonces obtenemos la secuencia exacta larga habitual de grupos de cohomología de Tate:

${\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }$

• Si A es un módulo G inducido (es decir, inducido a partir de un módulo para el grupo trivial), entonces todos los grupos de cohomología de Tate de A se desvanecen.
• El grupo de cohomología de Tate cero de A es

(Puntos fijos de G sobre A )/(Puntos fijos obvios de G que actúan sobre A )

donde por punto fijo "obvio" nos referimos a aquellos de la forma . En otras palabras, el grupo de cohomología cero describe en cierto sentido los puntos fijos no obvios de G que actúan sobre A . ${\displaystyle \sum ga}$

Los grupos de cohomología de Tate se caracterizan por las tres propiedades anteriores.

Teorema de Tate

El teorema de Tate (Tate 1952) establece las condiciones para que la multiplicación por una clase de cohomología sea un isomorfismo entre grupos de cohomología. Existen varias versiones ligeramente diferentes de este teorema; una versión que resulta especialmente conveniente para la teoría de cuerpos de clases es la siguiente:

Supóngase que A es un módulo sobre un grupo finito G y a es un elemento de , tal que para cada subgrupo E de G ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

• ${\displaystyle H^{1}(E,A)}$es trivial, y
• ${\displaystyle H^{2}(E,A)}$es generado por , que tiene orden E . ${\displaystyle \operatorname {Res} (a)}$

Entonces el producto de taza con a es un isomorfismo:

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}$

para todo n ; en otras palabras, la cohomología de Tate graduada de A es isomorfa a la cohomología de Tate con coeficientes integrales, con el grado desplazado en 2.

Cohomología de Tate-Farrell

F. Thomas Farrell extendió los grupos de cohomología de Tate al caso de todos los grupos G de dimensión cohomológica virtual finita. En la teoría de Farrell, los grupos son isomorfos a los grupos de cohomología usuales siempre que n sea mayor que la dimensión cohomológica virtual del grupo G . Los grupos finitos tienen dimensión cohomológica virtual 0, y en este caso los grupos de cohomología de Farrell son los mismos que los de Tate. ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$

Véase también

• Cociente de Herbrand
• Formación de clases

Referencias

• MF Atiyah y CTC Wall , "Cohomología de grupos", en Teoría de números algebraicos de JWS Cassels, A. Frohlich ISBN  0-12-163251-2 , Capítulo IV. Véase la sección 6.
• Brown, Kenneth S. (1982). Cohomología de grupos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 87. Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90688-6.Sr. 0672956  .
• Farrell, F. Thomas (1977). "Una extensión de la cohomología de Tate a una clase de grupos infinitos". Journal of Pure and Applied Algebra . 10 (2): 153–161. doi :10.1016/0022-4049(77)90018-4. MR  0470103.
• Tate, John (1952), "Los grupos de cohomología de dimensiones superiores de la teoría de campos de clases", Annals of Mathematics , 2, 56 : 294–297, doi :10.2307/1969801, JSTOR  1969801, MR  0049950